Exercices – Chapitre 5

Équations et inéquations | Seconde générale et technologique | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026, 18:15

Rappels utiles :

\(ax + b = 0\) (\(a \neq 0\)) a l'unique solution \(x = -\dfrac{b}{a}\).
On inverse le sens d'une inégalité en multipliant/divisant par un négatif.
Produit nul : \(AB = 0 \iff A = 0\) ou \(B = 0\).
\(x^2 = a\) : \(\varnothing\) si \(a \lt 0\), \(\{0\}\) si \(a = 0\), \(\{-\sqrt a\,;\,\sqrt a\}\) si \(a \gt 0\).
Tableau de signes : chaque facteur affine est du signe de \(a\) après sa racine ; double barre aux valeurs interdites.

Exercice 1 — Équations du premier degré

Résoudre chacune des équations et donner l'ensemble \(S\).

1. \(7x - 4 = 3x + 8\).

2. \(2(x - 1) = 3 - (x + 4)\).

3. \(\dfrac{x}{3} + 1 = 2x - 4\).

1. \(7x - 3x = 8 + 4 \iff 4x = 12 \iff x = 3\). Donc \(S = \{3\}\).

2. \(2x - 2 = -x - 1 \iff 3x = 1 \iff x = \tfrac{1}{3}\). Donc \(S = \left\{\tfrac{1}{3}\right\}\).

3. On multiplie par \(3\) : \(x + 3 = 6x - 12 \iff -5x = -15 \iff x = 3\). Donc \(S = \{3\}\).

Exercice 2 — Inéquations du premier degré

Résoudre et donner \(S\) sous forme d'intervalle.

1. \(5 - 3x \geqslant 2x - 5\).

2. \(4 - 2x \lt 10\).

3. \(-2(x - 3) \leqslant x + 9\).

1. \(5 - 3x \geqslant 2x - 5 \iff -5x \geqslant -10 \iff x \leqslant 2\) (division par \(-5\), sens inversé). \(S = \left]-\infty\,;\,2\right]\).

2. \(4 - 2x \lt 10 \iff -2x \lt 6 \iff x \gt -3\) (division par \(-2\), sens inversé). \(S = \left]-3\,;\,+\infty\right[\).

3. \(-2x + 6 \leqslant x + 9 \iff -3x \leqslant 3 \iff x \geqslant -1\) (division par \(-3\), sens inversé). \(S = \left[-1\,;\,+\infty\right[\).

Exercice 3 — Équations produit nul

Résoudre.

1. \((3x + 9)(2x - 1) = 0\).

2. \(x^2 = 5x\) (factoriser d'abord ; ne pas diviser par \(x\)).

3. \((x - 3)^2 - 4 = 0\).

1. \(3x + 9 = 0\) ou \(2x - 1 = 0\), soit \(x = -3\) ou \(x = \tfrac{1}{2}\). \(S = \left\{-3\,;\,\tfrac{1}{2}\right\}\).

2. \(x^2 - 5x = 0 \iff x(x - 5) = 0\), donc \(x = 0\) ou \(x = 5\). \(S = \{0\,;\,5\}\).

3. \((x-3)^2 - 2^2 = 0 \iff (x - 3 - 2)(x - 3 + 2) = 0 \iff (x - 5)(x - 1) = 0\), donc \(x = 5\) ou \(x = 1\). \(S = \{1\,;\,5\}\).

Exercice 4 — Équation \(x^2 = a\)

Résoudre chacune des équations.

1. \(x^2 = 49\).

2. \(x^2 + 5 = 0\).

3. \(3x^2 - 12 = 0\).

4. \(x^2 = 7\).

1. \(49 \gt 0\) : \(S = \{-7\,;\,7\}\).

2. \(x^2 = -5 \lt 0\) : \(S = \varnothing\).

3. \(3x^2 = 12 \iff x^2 = 4\), donc \(S = \{-2\,;\,2\}\).

4. \(7 \gt 0\) : \(S = \{-\sqrt 7\,;\,\sqrt 7\}\).

Exercice 5 — Tableau de signes

On considère \(Q(x) = (x - 4)(x + 2)\).

1. Dresser le tableau de signes de \(Q(x)\).

2. En déduire les \(x\) pour lesquels \(Q(x) \leqslant 0\).

3. Résoudre l'inéquation \(Q(x) \gt 0\).

1. \(Q\) s'annule en \(x = -2\) et \(x = 4\). Le facteur \(x-4\) est \(-\) avant \(4\) puis \(+\) ; le facteur \(x+2\) est \(-\) avant \(-2\) puis \(+\). Par la règle des signes : \(Q(x)\) est \(+\) sur \(\left]-\infty\,;\,-2\right[\), \(-\) sur \(\left]-2\,;\,4\right[\), \(+\) sur \(\left]4\,;\,+\infty\right[\), et nul en \(-2\) et \(4\).

2. \(Q(x) \leqslant 0\) sur \(\left[-2\,;\,4\right]\).

3. \(Q(x) \gt 0\) sur \(\left]-\infty\,;\,-2\right[ \cup \left]4\,;\,+\infty\right[\).

Exercice 6 — Équation quotient

Résoudre en précisant la ou les valeurs interdites.

1. \(\dfrac{2x - 1}{x + 3} = 1\).

2. \(\dfrac{x + 1}{x - 2} = 3\).

1. Valeur interdite : \(x = -3\). Pour \(x \neq -3\) : \(2x - 1 = x + 3 \iff x = 4\). Comme \(4 \neq -3\), \(S = \{4\}\).

2. Valeur interdite : \(x = 2\). Pour \(x \neq 2\) : \(x + 1 = 3(x - 2) \iff x + 1 = 3x - 6 \iff -2x = -7 \iff x = \tfrac{7}{2}\). Comme \(\tfrac{7}{2} \neq 2\), \(S = \left\{\tfrac{7}{2}\right\}\).

Exercice 7 — Isoler une variable

Exprimer la variable demandée en fonction des autres.

1. \(U = RI\) : exprimer \(R\) (avec \(I \neq 0\)).

2. \(V = \pi r^2 h\) : exprimer \(h\) (avec \(r \neq 0\)).

3. \(3x + 2y = 12\) : exprimer \(y\) en fonction de \(x\).

1. \(R = \dfrac{U}{I}\).

2. \(h = \dfrac{V}{\pi r^2}\).

3. \(2y = 12 - 3x \iff y = \dfrac{12 - 3x}{2}\), soit \(y = 6 - \tfrac{3}{2}x\).

Exercice 8 — Problème type : mise en équation

Cet exercice combine plusieurs capacités du chapitre.

1. Un livreur facture \(15\) € de forfait plus \(0{,}80\) € par kilomètre. À partir de combien de kilomètres le prix dépasse-t-il \(35\) € ? (Poser \(k\) = nombre de kilomètres et résoudre une inéquation.)

2. Un rectangle a un périmètre de \(40\) cm ; sa longueur est le triple de sa largeur. Déterminer ses dimensions (poser \(\ell\) = largeur et résoudre une équation).

3. Le prix d'un article a augmenté de \(4\) € puis a été divisé par \(2\) ; on obtient \(11\) €. Retrouver le prix initial (poser \(x\) et résoudre une équation).

1. On note \(k\) le nombre de kilomètres. \(15 + 0{,}80\,k \gt 35 \iff 0{,}80\,k \gt 20 \iff k \gt 25\). Le prix dépasse \(35\) € à partir de \(26\) km (au-delà de \(25\) km).

2. Largeur \(\ell\), longueur \(3\ell\). Périmètre : \(2(\ell + 3\ell) = 40 \iff 8\ell = 40 \iff \ell = 5\). La largeur vaut \(5\) cm et la longueur \(15\) cm.

3. \(\dfrac{x + 4}{2} = 11 \iff x + 4 = 22 \iff x = 18\). Le prix initial était de \(18\) €.