Chapitre 3 – Arithmétique

Chapitre 3 | Seconde générale et technologique | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

Objectifs du chapitre

Connaître et utiliser les notations \(\mathbb{N}\) (entiers naturels) et \(\mathbb{Z}\) (entiers relatifs)
Maîtriser les définitions de multiple, diviseur, nombre pair, nombre impair
Modéliser et résoudre des problèmes mobilisant ces notions
Démontrer que la somme de deux multiples d'un entier est un multiple de cet entier
Démontrer que le carré d'un nombre impair est impair
Présenter une fraction sous forme irréductible

I. Les ensembles \(\mathbb{N}\) et \(\mathbb{Z}\)

Définition — Entiers naturels et entiers relatifs

L'ensemble des entiers naturels est \(\mathbb{N} = \{0,\,1,\,2,\,3,\,4,\,\dots\}\).
L'ensemble des entiers relatifs est \(\mathbb{Z} = \{\dots,\,-3,\,-2,\,-1,\,0,\,1,\,2,\,3,\,\dots\}\).

Tout entier naturel est un entier relatif, donc \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}\). On note \(\mathbb{Z}^*\) l'ensemble des entiers relatifs non nuls et \(\mathbb{N}^*\) celui des entiers naturels non nuls.

Exemple

\(0 \in \mathbb{N}\) ; \(\;-5 \in \mathbb{Z}\) mais \(-5 \notin \mathbb{N}\) ; \(\;\tfrac{3}{2} \notin \mathbb{Z}\) (ce n'est pas un entier).

Ces ensembles s'emboîtent avec ceux vus au chapitre « Vocabulaire ensembliste » :

\[\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}.\]

II. Multiples et diviseurs

Définition — Multiple, diviseur

Soit \(a\) et \(b\) deux entiers. On dit que \(a\) est un multiple de \(b\) s'il existe un entier \(k\) tel que

\[a = k \times b.\]

Dans ce cas, on dit aussi que \(b\) est un diviseur de \(a\), ou que \(b\) divise \(a\). Les deux formulations décrivent la même situation, vue de deux côtés :

\[a \text{ est un multiple de } b \quad\Longleftrightarrow\quad b \text{ est un diviseur de } a.\]

Exemple

\(12 = 3 \times 4\), donc \(12\) est un multiple de \(4\) (et de \(3\)), et \(4\) est un diviseur de \(12\) (et \(3\) aussi).

Les diviseurs de \(12\) (dans \(\mathbb{N}\)) sont : \(1,\,2,\,3,\,4,\,6,\,12\).

Les premiers multiples de \(4\) (dans \(\mathbb{N}\)) sont : \(0,\,4,\,8,\,12,\,16,\,20,\dots\)

Les multiples de \(4\) sont espacés régulièrement de \(4\) en \(4\) sur la droite des entiers.

Propriété — Cas particuliers utiles

Pour tout entier \(a\) :

\(a = 1 \times a\), donc \(1\) divise tout entier et tout entier est multiple de lui-même ;
\(0 = 0 \times a\), donc \(0\) est multiple de tout entier ;
il n'existe pas d'entier \(k\) tel que \(a = k \times 0\) (sauf \(a=0\)) : on ne divise pas par \(0\).

Méthode — Montrer qu'un entier est multiple d'un autre

Poser la définition : « \(a\) est multiple de \(b\) » signifie « il existe un entier \(k\) tel que \(a = kb\) ».
Trouver explicitement l'entier \(k\) (ou l'exprimer à partir des données).
Conclure.

Exemple résolu. Montrer que \(n^2 + n\) est pair pour tout entier \(n\). On écrit \(n^2 + n = n(n+1)\), produit de deux entiers consécutifs ; l'un des deux est pair, donc le produit est un multiple de \(2\). Ainsi \(n^2+n = 2k\) pour un certain entier \(k\) : \(n^2+n\) est pair.

Exercice d'application 1. Compléter par « multiple » ou « diviseur » : (a) \(35\) est un … de \(5\). (b) \(7\) est un … de \(35\). (c) Donner tous les diviseurs de \(30\) dans \(\mathbb{N}\).

(a) multiple. (b) diviseur. (c) \(1,\,2,\,3,\,5,\,6,\,10,\,15,\,30\).

III. Nombres pairs, nombres impairs

Définition — Pair, impair

Un entier est pair s'il est un multiple de \(2\), c'est-à-dire s'il s'écrit \(n = 2k\) avec \(k\) entier.
Un entier est impair s'il n'est pas pair ; il s'écrit alors \(n = 2k+1\) avec \(k\) entier.

Propriété — Tout entier est pair ou impair

Tout entier relatif est soit pair, soit impair (jamais les deux). C'est ce qui permet de raisonner par disjonction des cas « \(n\) pair / \(n\) impair ».

Exemple

\(14 = 2 \times 7\) est pair ; \(\;-6 = 2 \times (-3)\) est pair.
\(9 = 2 \times 4 + 1\) est impair ; \(\;-3 = 2\times(-2)+1\) est impair.

Reconnaître à vue

Un entier écrit en base \(10\) est pair si, et seulement si, son chiffre des unités est \(0,\,2,\,4,\,6\) ou \(8\).

Le signe n'a rien à voir avec la parité : \(-4\) est pair, \(-3\) est impair.

Pairs et impairs alternent : un entier sur deux est pair.

Exercice d'application 2. Indiquer si chaque entier est pair ou impair, en l'écrivant sous la forme \(2k\) ou \(2k+1\) : \(\;-8\), \(\;21\), \(\;0\), \(\;-15\).

\(-8 = 2\times(-4)\) pair ; \(21 = 2\times10+1\) impair ; \(0 = 2\times0\) pair ; \(-15 = 2\times(-8)+1\) impair.

IV. Deux démonstrations

1. Somme de deux multiples d'un même entier

Propriété

La somme de deux multiples de \(7\) est un multiple de \(7\). (La démarche est la même pour tout autre entier \(a\).)

Démonstration

Soit \(M\) et \(N\) deux multiples de \(7\). Par définition, il existe deux entiers \(k\) et \(k'\) tels que

\[M = 7k \qquad\text{et}\qquad N = 7k'.\]

Alors, en factorisant par \(7\) :

\[M + N = 7k + 7k' = 7\,(k + k').\]

Comme \(k + k'\) est un entier, le nombre \(M+N\) s'écrit \(7 \times (\text{entier})\) : c'est donc un multiple de \(7\). \(\qquad\blacksquare\)

Généralisation (même preuve)

Pour un entier \(a\) quelconque : si \(M = a k\) et \(N = a k'\), alors \(M+N = a(k+k')\) est multiple de \(a\). On montre de même que la différence \(M - N = a(k-k')\) est multiple de \(a\).

2. Le carré d'un nombre impair est impair

Propriété

Si un entier \(n\) est impair, alors \(n^2\) est impair.

Démonstration

Supposons \(n\) impair. Alors il existe un entier \(k\) tel que \(n = 2k + 1\). Élevons au carré, en développant \((2k+1)^2\) :

\[n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2\,\underbrace{(2k^2 + 2k)}_{\text{entier}} + 1.\]

Le nombre \(n^2\) s'écrit sous la forme \(2 \times (\text{entier}) + 1\) : c'est donc un nombre impair. \(\qquad\blacksquare\)

Conséquence (par contraposée)

La contraposée de cette implication est : si \(n^2\) est pair, alors \(n\) est pair. Ce résultat sert notamment à démontrer que \(\sqrt{2}\) est irrationnel (chapitre « Nombres réels »).

Complément (même méthode). Le carré d'un nombre pair est pair : si \(n = 2k\), alors \(n^2 = 4k^2 = 2(2k^2)\) est pair. On a donc l'équivalence : \(n\) est pair \(\iff\) \(n^2\) est pair.

V. Fractions et diviseurs communs

Définition — Diviseur commun

Un entier \(d\) est un diviseur commun à deux entiers \(p\) et \(q\) s'il divise à la fois \(p\) et \(q\).

Exemple

Les diviseurs de \(18\) sont \(1,2,3,6,9,18\) ; ceux de \(24\) sont \(1,2,3,4,6,8,12,24\). Leurs diviseurs communs sont donc \(1,\,2,\,3,\,6\).

Définition — Fraction irréductible

Une fraction \(\dfrac{p}{q}\) (avec \(q \neq 0\)) est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur n'ont pas d'autre diviseur commun que \(1\) : on ne peut plus la simplifier.

Méthode — Rendre une fraction irréductible

Chercher un diviseur commun au numérateur et au dénominateur (par exemple \(2\) si les deux sont pairs).
Diviser haut et bas par ce diviseur.
Recommencer tant qu'il reste un diviseur commun autre que \(1\).

Exemple résolu. Simplifier \(\dfrac{84}{126}\). Les deux sont pairs : \(\dfrac{84}{126} = \dfrac{42}{63}\). Puis \(42\) et \(63\) sont divisibles par \(3\) : \(\dfrac{42}{63} = \dfrac{14}{21}\). Enfin par \(7\) : \(\dfrac{14}{21} = \dfrac{2}{3}\), irréductible.

Exemple \[\frac{18}{24} = \frac{18 \div 6}{24 \div 6} = \frac{3}{4}.\]

La fraction \(\dfrac{3}{4}\) est irréductible car \(3\) et \(4\) n'ont que \(1\) comme diviseur commun.

Culture — Nombres premiers

Un nombre premier est un entier \(\geqslant 2\) qui n'admet que deux diviseurs : \(1\) et lui-même (\(2, 3, 5, 7, 11, 13,\dots\)). Décomposer numérateur et dénominateur en facteurs premiers est une façon commode de repérer tous les diviseurs communs, mais reste ici un simple outil de calcul — aucune théorie n'est exigible.

Arbre de décomposition en facteurs premiers (les nombres premiers apparaissent en indigo plein aux extrémités).

Exercice d'application 3. Rendre irréductibles les fractions \(\dfrac{60}{72}\) et \(\dfrac{45}{75}\).

\(\dfrac{60}{72} = \dfrac{30}{36} = \dfrac{15}{18} = \dfrac{5}{6}\) (division par \(2\), \(2\), puis \(3\)).

\(\dfrac{45}{75} = \dfrac{9}{15} = \dfrac{3}{5}\) (division par \(5\), puis \(3\)).

Méthode — Modéliser un problème avec multiples/diviseurs

Traduire l'énoncé : « se répartit en paquets de \(b\) » \(\to\) multiple de \(b\) ; « peut être partagé également » \(\to\) divisibilité.
Poser l'égalité \(a = k\,b\) correspondante.
Résoudre et interpréter dans le contexte.

Exemple résolu. On veut ranger \(48\) élèves en équipes de même effectif, chaque équipe comptant entre \(4\) et \(8\) élèves. Les effectifs possibles sont les diviseurs de \(48\) compris entre \(4\) et \(8\) : ce sont \(4\), \(6\) et \(8\) (car \(48 = 12\times4 = 8\times6 = 6\times8\)). On peut donc former des équipes de \(4\), de \(6\) ou de \(8\) élèves.

Exercice d'application 4. Un fleuriste dispose de \(54\) roses et \(36\) tulipes. Il veut composer des bouquets identiques utilisant toutes les fleurs, chaque bouquet ayant le même nombre de roses et le même nombre de tulipes. Quels nombres de bouquets sont possibles ?

Le nombre de bouquets doit diviser à la fois \(54\) et \(36\) : c'est un diviseur commun. Diviseurs communs de \(54\) et \(36\) : \(1,\,2,\,3,\,6,\,9,\,18\).

On peut donc faire \(1, 2, 3, 6, 9\) ou \(18\) bouquets (par exemple \(18\) bouquets de \(3\) roses et \(2\) tulipes chacun).

VI. Algorithmique / Python

1. Tester si \(a\) est multiple de \(b\)

On utilise l'opérateur modulo %, qui donne le reste de la division euclidienne. L'entier \(a\) est multiple de \(b\) exactement lorsque ce reste est nul.

def est_multiple(a, b):
    """Renvoie True si a est un multiple de b (b non nul), False sinon."""
    return a % b == 0

# Exemples
print(est_multiple(12, 4))   # True  (12 = 3 x 4)
print(est_multiple(13, 4))   # False (reste 1)
print(est_multiple(30, 5))   # True

Idée. a % b est le reste de la division de \(a\) par \(b\). Si ce reste vaut \(0\), alors \(a = k \times b\) : \(a\) est bien un multiple de \(b\).

2. Plus grand multiple de \(a\) inférieur ou égal à \(b\)

Pour des entiers \(a \geqslant 1\) et \(b \geqslant 0\), on cherche le plus grand multiple de \(a\) qui ne dépasse pas \(b\). On peut le construire par balayage en partant de \(0\) et en avançant de \(a\) en \(a\) tant que l'on reste \(\leqslant b\).

def plus_grand_multiple(a, b):
    """Plus grand multiple de a (a >= 1) inferieur ou egal a b (b >= 0)."""
    m = 0
    while m + a <= b:
        m = m + a
    return m

# Exemples
print(plus_grand_multiple(7, 50))   # 49  (7 x 7)
print(plus_grand_multiple(5, 32))   # 30  (5 x 6)
print(plus_grand_multiple(4, 4))    # 4

Idée. À la sortie de la boucle, m est un multiple de \(a\) vérifiant \(m \leqslant b\), et le multiple suivant m + a dépasse \(b\) : m est donc bien le plus grand multiple de \(a\) inférieur ou égal à \(b\).

Remarque (hors programme)

Ce plus grand multiple s'obtient directement par (b // a) * a, où // est la division entière. Le balayage ci-dessus en illustre le fonctionnement pas à pas.

Erreurs fréquentes / points de vigilance

Les pièges du chapitre

❌ Confondre multiple et diviseur.

✅ \(12\) est un multiple de \(4\) ; \(4\) est un diviseur de \(12\). Repère : le multiple est le plus grand.

❌ Oublier \(0\), ou vouloir diviser par \(0\).

✅ \(0\) est pair et multiple de tout entier ; on ne divise jamais par \(0\).

❌ Croire qu'« impair » signifie « négatif ».

✅ Le signe n'a rien à voir avec la parité : \(-4\) est pair, \(-3\) est impair.

❌ Écrire un impair « qui finit par \(1\) » ou uniquement « \(2k-1\) ».

✅ Un impair s'écrit \(n = 2k+1\) avec \(k\) entier.

❌ « Barrer » des termes d'une somme pour simplifier une fraction.

✅ On divise numérateur et dénominateur par le même diviseur commun.

❌ S'arrêter trop tôt en simplifiant une fraction.

✅ Une fraction est irréductible quand il ne reste aucun diviseur commun autre que \(1\).

❌ Croire qu'un exemple prouve un énoncé « pour tout entier … ».

✅ Il faut une démonstration : poser \(n=2k\) ou \(n=2k+1\).

L'essentiel à retenir

À retenir :

\(\mathbb{N} = \{0,1,2,\dots\}\) ; \(\ \mathbb{Z} = \{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\}\) ; \(\ \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\).
\(a\) multiple de \(b\) \(\iff\) il existe un entier \(k\) tel que \(a = kb\) \(\iff\) \(b\) divise \(a\).
Pair : \(n = 2k\) ; impair : \(n = 2k+1\). Tout entier est pair ou impair.
Somme de deux multiples de \(a\) : encore un multiple de \(a\) (\(ak + ak' = a(k+k')\)).
Carré d'un impair : impair ; par contraposée, \(n^2\) pair \(\Rightarrow\) \(n\) pair.
Fraction irréductible : plus aucun diviseur commun (autre que \(1\)) entre haut et bas ; on simplifie en divisant les deux par un diviseur commun.
Python : a % b == 0 teste la divisibilité ; (b // a) * a donne le plus grand multiple de \(a\) au plus égal à \(b\).