Arithmétique | Seconde générale et technologique | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
1. Compléter par « multiple » ou « diviseur » : (a) \(35\) est un … de \(5\). (b) \(7\) est un … de \(35\). (c) \(0\) est un … de \(6\).
2. Donner tous les diviseurs de \(30\) dans \(\mathbb{N}\).
3. Donner les six premiers multiples de \(6\) dans \(\mathbb{N}\).
1. (a) multiple ; (b) diviseur ; (c) multiple (\(0 = 0\times 6\)).
2. Diviseurs de \(30\) : \(1,\,2,\,3,\,5,\,6,\,10,\,15,\,30\).
3. Multiples de \(6\) : \(0,\,6,\,12,\,18,\,24,\,30\).
Indiquer si chaque entier est pair ou impair, en l'écrivant sous la forme \(2k\) ou \(2k+1\).
1. \(-8\) ; \(\;21\) ; \(\;0\) ; \(\;-15\).
2. Sans calcul, dire si \(3\,214\) et \(9\,057\) sont pairs ou impairs, et expliquer comment on le sait.
1. \(-8 = 2\times(-4)\) pair ; \(21 = 2\times10+1\) impair ; \(0 = 2\times0\) pair ; \(-15 = 2\times(-8)+1\) impair.
2. On regarde le chiffre des unités : \(3\,214\) finit par \(4\) donc il est pair ; \(9\,057\) finit par \(7\) donc il est impair.
1. Donner tous les diviseurs de \(18\), puis tous ceux de \(24\).
2. En déduire les diviseurs communs de \(18\) et \(24\).
3. Quel est le plus grand d'entre eux ?
1. Diviseurs de \(18\) : \(1,2,3,6,9,18\). Diviseurs de \(24\) : \(1,2,3,4,6,8,12,24\).
2. Diviseurs communs : \(1,\,2,\,3,\,6\).
3. Le plus grand diviseur commun est \(6\).
Rendre chaque fraction irréductible, en indiquant les divisions successives.
1. \(\dfrac{60}{72}\) 2. \(\dfrac{45}{75}\) 3. \(\dfrac{84}{126}\)
1. \(\dfrac{60}{72} = \dfrac{30}{36} = \dfrac{15}{18} = \dfrac{5}{6}\) (division par \(2\), \(2\), puis \(3\)).
2. \(\dfrac{45}{75} = \dfrac{9}{15} = \dfrac{3}{5}\) (division par \(5\), puis \(3\)).
3. \(\dfrac{84}{126} = \dfrac{42}{63} = \dfrac{14}{21} = \dfrac{2}{3}\) (division par \(2\), \(3\), puis \(7\)).
1. Démontrer que la somme de deux multiples de \(5\) est un multiple de \(5\).
2. Sur le même modèle, démontrer que la différence de deux multiples de \(5\) est un multiple de \(5\).
1. Soit \(M = 5k\) et \(N = 5k'\) (\(k,k'\) entiers). Alors \(M+N = 5k+5k' = 5(k+k')\), avec \(k+k'\) entier : c'est un multiple de \(5\).
2. \(M-N = 5k-5k' = 5(k-k')\), et \(k-k'\) est entier : c'est aussi un multiple de \(5\).
1. Démontrer que si \(n\) est impair, alors \(n^2\) est impair (poser \(n = 2k+1\)).
2. Démontrer que, pour tout entier \(n\), l'entier \(n^2 + 3\) est pair si et seulement si \(n\) est impair.
1. Si \(n = 2k+1\), alors \(n^2 = 4k^2+4k+1 = 2(2k^2+2k)+1\) : c'est un impair.
2. Si \(n\) est impair, \(n^2\) est impair (question 1), donc \(n^2+3 = (\text{impair}) + (\text{impair})\) est pair. Si \(n\) est pair, \(n^2\) est pair, donc \(n^2+3 = (\text{pair}) + (\text{impair})\) est impair. Ainsi \(n^2+3\) est pair exactement lorsque \(n\) est impair.
Un professeur veut ranger \(48\) élèves en équipes de même effectif, chaque équipe comptant entre \(4\) et \(8\) élèves.
1. Quelle condition doit vérifier l'effectif d'une équipe ?
2. Quels effectifs sont possibles ? Pour chacun, donner le nombre d'équipes.
1. L'effectif d'une équipe doit être un diviseur de \(48\) (pour que la répartition soit exacte).
2. Diviseurs de \(48\) entre \(4\) et \(8\) : \(4\), \(6\) et \(8\). Équipes de \(4\) \(\to\) \(12\) équipes ; équipes de \(6\) \(\to\) \(8\) équipes ; équipes de \(8\) \(\to\) \(6\) équipes.
Un fleuriste dispose de \(54\) roses et \(36\) tulipes. Il veut composer des bouquets identiques utilisant toutes les fleurs (même nombre de roses et même nombre de tulipes par bouquet).
1. Quelle condition le nombre de bouquets doit-il vérifier ?
2. Donner tous les nombres de bouquets possibles.
3. Le fleuriste veut le plus grand nombre de bouquets possible. Combien en fait-il ? Combien de roses et de tulipes chaque bouquet contient-il alors ?
1. Le nombre de bouquets doit diviser à la fois \(54\) et \(36\) : c'est un diviseur commun de \(54\) et \(36\).
2. Diviseurs de \(54\) : \(1,2,3,6,9,18,27,54\) ; diviseurs de \(36\) : \(1,2,3,4,6,9,12,18,36\). Diviseurs communs : \(1,\,2,\,3,\,6,\,9,\,18\). Nombres de bouquets possibles : \(1, 2, 3, 6, 9\) ou \(18\).
3. Le plus grand est \(18\) bouquets. Chaque bouquet contient alors \(54 \div 18 = 3\) roses et \(36 \div 18 = 2\) tulipes.