Fiche – Arithmétique

Chapitre 3 | Seconde générale et technologique | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

L'essentiel :

\(\mathbb{N} = \{0,1,2,\dots\}\) ; \(\mathbb{Z} = \{\dots,-1,0,1,\dots\}\) ; \(\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\).
\(a\) multiple de \(b\) \(\iff\) \(a = kb\) pour un entier \(k\) \(\iff\) \(b\) divise \(a\).
Pair : \(n=2k\) ; impair : \(n=2k+1\). Tout entier est pair ou impair.
Somme (ou différence) de deux multiples de \(a\) : encore un multiple de \(a\).
Une fraction est irréductible quand haut et bas n'ont plus de diviseur commun autre que \(1\).

Définitions clés

Définition

Multiple / diviseur : \(a\) est un multiple de \(b\) s'il existe un entier \(k\) tel que \(a = k\times b\). On dit alors aussi que \(b\) divise \(a\) (ou que \(b\) est un diviseur de \(a\)).

Définition

Pair / impair : un entier est pair s'il s'écrit \(n = 2k\) ; il est impair s'il s'écrit \(n = 2k+1\) (avec \(k\) entier). En base \(10\), il est pair si son chiffre des unités est \(0,2,4,6\) ou \(8\).

Définition

Diviseur commun : un entier \(d\) divise à la fois \(p\) et \(q\). Fraction irréductible : \(\dfrac{p}{q}\) n'a plus de diviseur commun (autre que \(1\)) entre numérateur et dénominateur.

À connaître par cœur

Multiple, pair, impair \[a \text{ multiple de } b \iff a = k\,b \quad (k \text{ entier})\] \[n \text{ pair} : n = 2k \qquad n \text{ impair} : n = 2k+1\]

Somme / différence de multiples de \(a\) \[a k + a k' = a\,(k+k') \qquad a k - a k' = a\,(k-k')\]

Simplifier une fraction \[\frac{p}{q} = \frac{p \div d}{q \div d} \quad (d \text{ diviseur commun de } p \text{ et } q)\]

Résultats à retenir

\(1\) divise tout entier ; tout entier est multiple de lui-même.
\(0\) est pair et multiple de tout entier ; on ne divise pas par \(0\).
Carré d'un impair : impair. Carré d'un pair : pair. Donc \(n^2\) pair \(\iff\) \(n\) pair.

Méthode — Rendre une fraction irréductible

Méthode

Chercher un diviseur commun (par ex. \(2\) si les deux sont pairs).
Diviser haut et bas par ce diviseur.
Recommencer tant qu'il reste un diviseur commun autre que \(1\).

Méthode — Démontrer un énoncé « pour tout entier »

Multiple de \(a\) → poser \(M = a k\), \(N = a k'\), factoriser par \(a\).
Parité → poser \(n = 2k\) (pair) ou \(n = 2k+1\) (impair), puis calculer.
Réfuter un « pour tout … » → un seul contre-exemple suffit.

Erreurs fréquentes

Attention

❌ Confondre multiple et diviseur.

✅ \(12\) est un multiple de \(4\) ; \(4\) est un diviseur de \(12\).

❌ Croire qu'« impair » veut dire « négatif ».

✅ \(-4\) est pair, \(-3\) est impair : le signe n'a rien à voir avec la parité.

❌ « Barrer » des termes d'une somme pour simplifier une fraction.

✅ On divise numérateur ET dénominateur par le même diviseur commun.

❌ Croire qu'un exemple prouve un énoncé général.

✅ Il faut poser \(n=2k\) ou \(n=2k+1\) et démontrer.

Exemple rapide

Exemple — trois savoir-faire

Diviseurs de \(12\) : \(1,2,3,4,6,12\) ; multiples de \(4\) : \(0,4,8,12,\dots\)
\(9 = 2\times 4 + 1\) est impair ; son carré \(81 = 2\times 40 + 1\) est impair.
\(\dfrac{18}{24} = \dfrac{3}{4}\) (division par \(6\)), irréductible.