Chapitre 1 | Seconde générale et technologique | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
Un ensemble est une collection d'objets, appelés ses éléments. On décrit un ensemble :
Si \(x\) est un élément de \(E\), on écrit \(x \in E\) (« \(x\) appartient à \(E\) »). Sinon, on écrit \(x \notin E\).
L'ensemble vide, noté \(\varnothing\), est l'ensemble qui ne contient aucun élément.
Avec \(E = \{1,\,3,\,5,\,7\}\) : on a \(3 \in E\), mais \(4 \notin E\).
L'ensemble des réels \(x\) tels que \(x^2 = -1\) est l'ensemble vide \(\varnothing\).
Un ensemble est entièrement déterminé par ses éléments : l'ordre et les répétitions ne comptent pas.
Ainsi \(\{1,\,2\} = \{2,\,1\} = \{1,\,1,\,2\}\).
Un ensemble est fini s'il possède un nombre fini d'éléments. Ce nombre est appelé le cardinal de l'ensemble, noté \(\text{Card}(A)\).
Si \(A = \{a,\,e,\,i,\,o,\,u,\,y\}\), alors \(\text{Card}(A) = 6\).
Par convention, \(\text{Card}(\varnothing) = 0\).
\(6 \in E\) ; \(5 \notin E\) ; \(10 \in E\). Enfin \(\text{Card}(E) = 5\).
On dispose d'une chaîne d'ensembles de nombres emboîtés :
\[\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}.\]| Notation | Nom | Exemples |
|---|---|---|
| \(\mathbb{N}\) | entiers naturels | \(0,\,1,\,2,\,3,\dots\) |
| \(\mathbb{Z}\) | entiers relatifs | \(\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\) |
| \(\mathbb{D}\) | nombres décimaux | \(1{,}5\ ;\ -3{,}72\ ;\ 4\) |
| \(\mathbb{Q}\) | nombres rationnels | \(\tfrac{2}{3}\ ;\ -\tfrac{7}{5}\ ;\ 0{,}25\) |
| \(\mathbb{R}\) | nombres réels | tous les précédents, plus \(\sqrt{2},\,\pi,\dots\) |
Ces ensembles seront étudiés en détail dans le chapitre « Nombres réels et intervalles ».
On dit que \(A\) est inclus dans \(B\), et on note \(A \subset B\), lorsque tout élément de \(A\) est aussi un élément de \(B\). On dit alors que \(A\) est un sous-ensemble (ou une partie) de \(B\).
\(\{1,\,3\} \subset \{1,\,2,\,3\}\). De plus, l'ensemble des multiples de \(4\) est inclus dans l'ensemble des multiples de \(2\).
Le symbole \(\in\) relie un élément à un ensemble ; le symbole \(\subset\) relie deux ensembles.
Ainsi \(3 \in \{1,\,3\}\) (élément), mais \(\{3\} \subset \{1,\,3\}\) (ensemble à un élément).
Soit \(A\) et \(B\) deux sous-ensembles d'un ensemble de référence \(E\).
La réunion de \(A\) et \(B\), notée \(A \cup B\), est l'ensemble des éléments qui appartiennent à \(A\) ou à \(B\) (au moins l'un des deux) :
\[x \in A \cup B \quad\text{signifie}\quad x \in A \ \text{ou}\ x \in B.\]L'intersection de \(A\) et \(B\), notée \(A \cap B\), est l'ensemble des éléments qui appartiennent à \(A\) et à \(B\) (aux deux à la fois) :
\[x \in A \cap B \quad\text{signifie}\quad x \in A \ \text{et}\ x \in B.\]Lorsque \(A \cap B = \varnothing\), on dit que \(A\) et \(B\) sont disjoints.
Le complémentaire de \(A\) dans \(E\) est l'ensemble des éléments de \(E\) qui n'appartiennent pas à \(A\). On le note \(\overline{A}\) (notation des probabilités) ou \(E \setminus A\) :
\[x \in \overline{A} \quad\text{signifie}\quad x \in E \ \text{et}\ x \notin A.\]Diagrammes de Venn (partie coloriée en indigo) : la réunion \(A\cup B\) (au moins l'un), l'intersection \(A\cap B\) (les deux à la fois), le complémentaire \(\overline{A}\) (tout \(E\) sauf \(A\)).
Dans \(E = \{1,2,3,4,5,6\}\), avec \(A = \{1,2,3\}\) et \(B = \{2,4,6\}\) :
\[A \cup B = \{1,2,3,4,6\}, \qquad A \cap B = \{2\}, \qquad \overline{A} = \{4,5,6\}.\]Pour deux ensembles finis \(A\) et \(B\) :
\[\text{Card}(A \cup B) = \text{Card}(A) + \text{Card}(B) - \text{Card}(A \cap B).\]En particulier, si \(A\) et \(B\) sont disjoints : \(\text{Card}(A \cup B) = \text{Card}(A) + \text{Card}(B)\).
Exemple résolu. \(E = \{0,1,2,\dots,9\}\), \(A = \{0,2,4,6,8\}\), \(B = \{0,3,6,9\}\) :
\[A \cap B = \{0,6\}, \quad A \cup B = \{0,2,3,4,6,8,9\}, \quad \overline{B} = \{1,2,4,5,7,8\}.\]\(A\cap B=\{2\}\) ; \(A\cup B=\{1,2,3,4,5,7,8\}\) ; \(\overline{A}=\{3,5,6,7\}\).
\(\text{Card}(A\cup B)=7\) (vérification : \(4+4-1=7\)).
Un couple est la donnée de deux objets \(a\) et \(b\) dans un ordre précis ; on le note \((a,\,b)\).
Contrairement à un ensemble, l'ordre compte : en général \((a,\,b) \neq (b,\,a)\), et \((1,\,1)\) est un couple valide.
Le produit cartésien de deux ensembles \(A\) et \(B\), noté \(A \times B\), est l'ensemble de tous les couples \((a,\,b)\) où \(a \in A\) et \(b \in B\) :
\[A \times B = \{(a,\,b) \mid a \in A \ \text{et}\ b \in B\}.\]Si \(A = \{1,\,2\}\) et \(B = \{x,\,y\}\), alors \(A \times B = \{(1,x),\,(1,y),\,(2,x),\,(2,y)\}\).
On a \(\text{Card}(A \times B) = \text{Card}(A) \times \text{Card}(B) = 2 \times 2 = 4\).
Ne pas oublier que l'ordre compte dans un couple : \((1,2) \neq (2,1)\), alors que \(\{1,2\} = \{2,1\}\).
L'ensemble \(\mathbb{R} \times \mathbb{R}\), noté \(\mathbb{R}^2\), est l'ensemble des couples de réels : ce sont les coordonnées des points du plan repéré.
Une proposition (ou assertion) est un énoncé mathématique qui est soit vrai, soit faux (jamais les deux).
Soit \(P\) et \(Q\) deux propositions.
| \(P\) | \(Q\) | \(P\) et \(Q\) | \(P\) ou \(Q\) |
|---|---|---|---|
| V | V | V | V |
| V | F | F | V |
| F | V | F | V |
| F | F | F | F |
Tables de vérité des connecteurs « et » et « ou » (V = vrai, F = faux).
« \(2\) est pair et \(2\) est premier » est vraie. « \(9\) est pair ou \(9\) est un multiple de \(3\) » est vraie (grâce au second membre).
La négation d'une proposition \(P\), notée « non \(P\) », est la proposition qui est vraie exactement quand \(P\) est fausse.
| Proposition \(P\) | Négation « non \(P\) » |
|---|---|
| \(x = a\) | \(x \neq a\) |
| \(x \gt a\) | \(x \leqslant a\) |
| \(x \geqslant a\) | \(x \lt a\) |
| \(x \in A\) | \(x \notin A\) |
| \(P\) et \(Q\) | (non \(P\)) ou (non \(Q\)) |
| \(P\) ou \(Q\) | (non \(P\)) et (non \(Q\)) |
Les deux dernières lignes sont les lois de De Morgan. À retenir : la négation échange « et » et « ou ».
La négation de « \(x \geqslant 0\) et \(x \leqslant 5\) » est « \(x \lt 0\) ou \(x \gt 5\) ».
En Seconde, on se limite à la négation de propositions simples, sans implication ni quantificateurs.
(a) « \(x \leqslant 3\) ».
(b) « \(x \lt -2\) ou \(x \gt 5\) » (De Morgan : on échange « et » et « ou », et on nie chaque inégalité).
Pour montrer qu'une proposition de la forme « pour tout … , la propriété \(P\) est vraie » est fausse, il suffit d'exhiber un seul cas où elle est en défaut : c'est un contre-exemple.
La proposition « tout nombre premier est impair » est fausse : \(2\) est premier et pair. Le nombre \(2\) est un contre-exemple.
Un contre-exemple prouve qu'une proposition est fausse. Il ne peut jamais prouver qu'une proposition est vraie : un ou plusieurs exemples favorables ne suffisent pas à démontrer un énoncé général.
Prendre \(x = 0{,}5\) : \(x^2 = 0{,}25 \lt 0{,}5 = x\). (On peut aussi prendre \(x=0\) ou \(x=1\).) L'énoncé est donc faux.
L'implication « \(P \Rightarrow Q\) » (« si \(P\) alors \(Q\) ») signifie : chaque fois que \(P\) est vraie, \(Q\) est vraie aussi.
On dit que \(P\) est une condition suffisante pour \(Q\), et que \(Q\) est une condition nécessaire pour \(P\).
« Si un entier est un multiple de \(4\), alors il est pair » : \(n\) multiple de \(4\) \(\Rightarrow\) \(n\) pair.
La réciproque de « \(P \Rightarrow Q\) » est l'implication « \(Q \Rightarrow P\) ».
Une implication peut être vraie sans que sa réciproque le soit. Dans l'exemple précédent, la réciproque « si \(n\) est pair, alors \(n\) est multiple de \(4\) » est fausse (\(6\) est pair mais pas multiple de \(4\)).
La contraposée de « \(P \Rightarrow Q\) » est l'implication « (non \(Q\)) \(\Rightarrow\) (non \(P\)) ».
Une implication et sa contraposée sont toujours vraies en même temps (elles sont équivalentes). Cela fournit une méthode de démonstration : pour prouver \(P \Rightarrow Q\), on peut prouver sa contraposée.
Exemple résolu. Montrer : si \(n^2\) est impair, alors \(n\) est impair.
L'équivalence « \(P \Leftrightarrow Q\) » (« \(P\) si et seulement si \(Q\) ») signifie que \(P\) et \(Q\) sont vraies exactement dans les mêmes cas. Cela revient à avoir à la fois \(P \Rightarrow Q\) et \(Q \Rightarrow P\).
Pour un entier \(n\) : « \(n\) est pair \(\Leftrightarrow\) \(n^2\) est pair ». On dit que « \(n\) pair » est une condition nécessaire et suffisante pour « \(n^2\) pair ».
Réciproque : « si un quadrilatère est un rectangle, alors c'est un carré » — fausse (un rectangle non carré est un contre-exemple).
Contraposée : « si un quadrilatère n'est pas un rectangle, alors ce n'est pas un carré » — vraie (équivalente à l'implication de départ, elle-même vraie).
En français mathématique, on emploie souvent :
En Seconde, les symboles \(\forall\) (« pour tout ») et \(\exists\) (« il existe ») sont hors programme : on les écrit en toutes lettres en français. La négation de propositions contenant ces quantifications n'est pas exigible.
Pour démontrer une propriété, on partage la situation en plusieurs cas qui couvrent toutes les possibilités, puis on prouve la propriété dans chacun.
Exemple. Montrons que, pour tout entier \(n\), le produit \(n(n+1)\) est pair.
Dans tous les cas, \(n(n+1)\) est pair.
Pour démontrer une proposition \(P\), on suppose que \(P\) est fausse (on suppose « non \(P\) ») et on aboutit à une contradiction ; on en conclut que \(P\) est vraie.
Exemple. Montrons qu'il n'existe pas de plus grand entier naturel. Supposons le contraire : il existerait un plus grand entier naturel \(N\). Alors \(N+1\) est aussi un entier naturel, et \(N+1 \gt N\) : c'est absurde, car \(N\) était censé être le plus grand. Donc un tel \(N\) n'existe pas.
On factorise : \(n^2+n=n(n+1)\).
Si \(n\) est pair, \(n(n+1)\) est un multiple de \(2\). Si \(n\) est impair, \(n+1\) est pair donc \(n(n+1)\) est un multiple de \(2\).
Dans tous les cas, \(n^2+n\) est pair.
❌ Confondre \(\in\) et \(\subset\).
✅ \(2 \in \{2,3\}\) (élément) ; \(\{2\} \subset \{2,3\}\) (ensemble).
❌ Croire que le « ou » mathématique est exclusif.
✅ Le « ou » est inclusif : « \(x \in A\) ou \(x \in B\) » n'exclut pas d'être dans les deux.
❌ Oublier d'échanger les connecteurs dans une négation.
✅ De Morgan : la négation de « et » est « ou », et réciproquement.
❌ Confondre une implication et sa réciproque.
✅ \(P \Rightarrow Q\) ne donne pas \(Q \Rightarrow P\).
❌ Croire qu'un exemple prouve un énoncé général.
✅ Seul un contre-exemple peut réfuter ; prouver « pour tout » demande une démonstration.
❌ Oublier l'ordre dans un couple.
✅ \((1,2) \neq (2,1)\), alors que \(\{1,2\} = \{2,1\}\).