Fiche – Vocabulaire ensembliste et logique

Chapitre 1 | Seconde générale et technologique | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

L'essentiel :

Symboles : \(\in\) (appartient), \(\notin\), \(\subset\) (inclus), \(\cup\) (réunion), \(\cap\) (intersection), \(\overline{A}\) (complémentaire), \(\varnothing\) (ensemble vide), \(\text{Card}\) (cardinal).
\(\in\) relie un élément à un ensemble ; \(\subset\) relie deux ensembles.
Le « ou » mathématique est inclusif. La négation échange « et » et « ou » (De Morgan).
Une implication et sa contraposée ont la même valeur ; l'implication et sa réciproque, non.
Un contre-exemple suffit pour prouver qu'un énoncé « pour tout … » est faux.

Définitions clés

Définition

Ensemble : collection d'éléments, décrit entre accolades \(\{\dots\}\). L'ordre et les répétitions ne comptent pas : \(\{1,2\}=\{2,1\}\).

Définition

Cardinal : nombre d'éléments d'un ensemble fini \(A\), noté \(\text{Card}(A)\). \(\text{Card}(\varnothing)=0\).

Définition

Inclusion : \(A\subset B\) signifie que tout élément de \(A\) est dans \(B\). \(A\) est alors un sous-ensemble (une partie) de \(B\).

Définition

Couple : \((a,b)\), donnée ordonnée. \((a,b)\neq(b,a)\) en général. Produit cartésien : \(A\times B=\{(a,b)\mid a\in A \text{ et } b\in B\}\).

À connaître par cœur

Opérations sur les ensembles \[x \in A \cup B \iff x\in A \ \text{ou}\ x\in B\] \[x \in A \cap B \iff x\in A \ \text{et}\ x\in B\] \[x \in \overline{A} \iff x\in E \ \text{et}\ x\notin A\]

Cardinal et produit cartésien \[\text{Card}(A \cup B) = \text{Card}(A) + \text{Card}(B) - \text{Card}(A \cap B)\] \[\text{Card}(A \times B) = \text{Card}(A) \times \text{Card}(B)\]

Ensembles de nombres emboîtés \[\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\]

Négations à connaître

Négation de « \(x = a\) » : « \(x \neq a\) ».
Négation de « \(x \gt a\) » : « \(x \leqslant a\) » ; négation de « \(x \geqslant a\) » : « \(x \lt a\) ».
Négation de « \(P\) et \(Q\) » : « (non \(P\)) ou (non \(Q\)) ».
Négation de « \(P\) ou \(Q\) » : « (non \(P\)) et (non \(Q\)) ».

Implication et ses variantes

Implication : \(P\Rightarrow Q\) (« si \(P\) alors \(Q\) »). \(P\) suffisante, \(Q\) nécessaire.
Réciproque : \(Q\Rightarrow P\) (pas forcément vraie).
Contraposée : (non \(Q\))\(\Rightarrow\)(non \(P\)), toujours vraie en même temps que l'implication.
Équivalence : \(P\Leftrightarrow Q\) = les deux implications \(P\Rightarrow Q\) et \(Q\Rightarrow P\).

Méthode — Réunion, intersection, complémentaire

Méthode

Repérer l'ensemble de référence \(E\).
\(A\cap B\) : éléments présents dans les deux listes.
\(A\cup B\) : toutes les listes réunies, sans répéter.
\(\overline{A}\) : éléments de \(E\) absents de \(A\).

Méthode — Prouver ou réfuter

Réfuter un « pour tout … » → un seul contre-exemple.
Prouver \(P\Rightarrow Q\) difficile → prouver sa contraposée.
Couvrir toutes les possibilités → disjonction des cas.
Nier ce qu'on veut prouver mène à une absurdité → raisonnement par l'absurde.

Erreurs fréquentes

Attention

❌ Confondre \(\in\) et \(\subset\).

✅ \(2 \in \{2,3\}\) (élément) ; \(\{2\} \subset \{2,3\}\) (ensemble).

❌ Croire que le « ou » est exclusif.

✅ Le « ou » mathématique autorise les deux à la fois.

❌ Oublier d'échanger « et » et « ou » dans une négation.

✅ Lois de De Morgan.

❌ Confondre implication et réciproque, ou oublier l'ordre dans un couple.

✅ \(P\Rightarrow Q \neq Q\Rightarrow P\) ; \((1,2)\neq(2,1)\).

Exemple rapide

Exemple — un énoncé, plusieurs réponses

\(E=\{1,2,3,4,5,6\}\), \(A=\{1,2,3\}\), \(B=\{2,4,6\}\).

\(A\cap B=\{2\}\) (éléments communs).
\(A\cup B=\{1,2,3,4,6\}\) (tous, sans répéter).
\(\overline{A}=\{4,5,6\}\) (le reste de \(E\)).
\(\text{Card}(A\cup B)=5=3+3-1\).