Vocabulaire ensembliste et logique | Seconde générale et technologique | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
On pose \(E = \{0,\,1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6\}\).
1. Compléter par \(\in\) ou \(\notin\) : \(3 \;\square\; E\) ; \(7 \;\square\; E\) ; \(0 \;\square\; E\).
2. Donner \(\text{Card}(E)\).
3. L'ensemble des réels \(x\) tels que \(x^2 = -4\) : que vaut-il ?
1. \(3 \in E\) ; \(7 \notin E\) ; \(0 \in E\).
2. \(\text{Card}(E) = 7\).
3. Aucun réel n'a un carré négatif : c'est l'ensemble vide \(\varnothing\).
On considère \(A = \{1,\,2,\,3,\,4\}\).
1. Compléter par \(\in\) ou \(\subset\) : \(2 \;\square\; A\) ; \(\{2\} \;\square\; A\) ; \(\{1,\,3\} \;\square\; A\) ; \(5 \;\square\; A\).
2. Vrai ou faux : \(\varnothing \subset A\) ? \(A \subset A\) ?
1. \(2 \in A\) (élément) ; \(\{2\} \subset A\) (ensemble) ; \(\{1,\,3\} \subset A\) ; \(5 \notin A\).
2. \(\varnothing \subset A\) : vrai (l'ensemble vide est inclus dans tout ensemble). \(A \subset A\) : vrai.
On pose \(E = \{1,2,3,4,5,6,7,8\}\), \(A = \{1,2,4,8\}\) et \(B = \{2,3,5,7\}\).
1. Déterminer \(A\cap B\) et \(A\cup B\).
2. Déterminer \(\overline{A}\) et \(\overline{B}\).
3. Calculer \(\text{Card}(A\cup B)\) et vérifier la formule \(\text{Card}(A)+\text{Card}(B)-\text{Card}(A\cap B)\).
1. \(A\cap B=\{2\}\) ; \(A\cup B=\{1,2,3,4,5,7,8\}\).
2. \(\overline{A}=\{3,5,6,7\}\) ; \(\overline{B}=\{1,4,6,8\}\).
3. \(\text{Card}(A\cup B)=7\). Vérification : \(4+4-1=7\). ✓
Écrire la négation de chacune des propositions suivantes.
1. « \(x \gt 3\) ».
2. « \(x \geqslant -2\) et \(x \leqslant 5\) ».
3. « \(x \in A\) ou \(x \gt 10\) ».
1. « \(x \leqslant 3\) ».
2. « \(x \lt -2\) ou \(x \gt 5\) » (De Morgan + négation de chaque inégalité).
3. « \(x \notin A\) et \(x \leqslant 10\) » (négation d'un « ou » : on obtient un « et »).
Chacune des propositions suivantes est fausse. Donner un contre-exemple.
1. « Tout nombre premier est impair. »
2. « Pour tout réel \(x\), \(\sqrt{x^2} = x\). »
3. « Pour tout réel \(x\), \(x^2 \gt x\). »
1. \(2\) est premier et pair : contre-exemple \(x=2\).
2. Prendre \(x=-3\) : \(\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3 \neq -3\).
3. Prendre \(x=0{,}5\) : \(x^2=0{,}25 \lt 0{,}5\). (Ou \(x=0\), \(x=1\).)
On considère l'implication : « si un quadrilatère est un carré, alors c'est un rectangle ».
1. Énoncer sa réciproque. Est-elle vraie ?
2. Énoncer sa contraposée. Est-elle vraie ?
3. Même travail avec : « si \(n\) est un multiple de \(6\), alors \(n\) est un multiple de \(3\) ».
1. Réciproque : « si un quadrilatère est un rectangle, alors c'est un carré » — fausse (un rectangle non carré est un contre-exemple).
2. Contraposée : « si un quadrilatère n'est pas un rectangle, alors ce n'est pas un carré » — vraie (elle a la même valeur que l'implication de départ, qui est vraie).
3. Réciproque : « si \(n\) est multiple de \(3\), alors \(n\) est multiple de \(6\) » — fausse (\(9\) est multiple de \(3\) mais pas de \(6\)). Contraposée : « si \(n\) n'est pas multiple de \(3\), alors \(n\) n'est pas multiple de \(6\) » — vraie.
On pose \(A = \{1,\,2\}\) et \(B = \{3,\,4,\,5\}\).
1. Écrire tous les éléments de \(A\times B\).
2. Donner \(\text{Card}(A\times B)\) et vérifier avec la formule.
3. A-t-on \((1,3) = (3,1)\) ? Justifier.
1. \(A\times B=\{(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5)\}\).
2. \(\text{Card}(A\times B)=2\times 3=6\). ✓
3. Non : dans un couple, l'ordre compte, donc \((1,3) \neq (3,1)\).
Cet exercice mobilise plusieurs types de raisonnement du chapitre.
1. Démontrer par disjonction des cas que, pour tout entier \(n\), le nombre \(n(n+1)\) est pair.
2. On veut montrer : « si \(n^2\) est pair, alors \(n\) est pair ». Écrire la contraposée et la démontrer.
3. Démontrer par l'absurde qu'il n'existe pas de plus grand entier naturel.
1. Si \(n\) est pair, \(n\) est multiple de \(2\), donc \(n(n+1)\) aussi. Si \(n\) est impair, alors \(n+1\) est pair, donc \(n(n+1)\) est multiple de \(2\). Dans tous les cas, \(n(n+1)\) est pair.
2. Contraposée : « si \(n\) est impair, alors \(n^2\) est impair ». Si \(n\) est impair, \(n = 2k+1\), donc \(n^2 = 4k^2+4k+1 = 2(2k^2+2k)+1\) est impair. La contraposée est vraie, donc l'implication de départ aussi.
3. Supposons le contraire : il existerait un plus grand entier naturel \(N\). Alors \(N+1\) est aussi un entier naturel et \(N+1 \gt N\) : \(N\) n'était donc pas le plus grand. Contradiction. Il n'existe pas de plus grand entier naturel.