Chapitre 6 | Première technologique (enseignement commun) | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026, 09:42
On lance un dé équilibré à six faces. Un jeu attribue à chaque résultat un nombre de points : on gagne \(2\) points si le résultat est \(6\), \(0\) point sinon. À chaque issue de l'expérience (le résultat du dé) on associe donc un nombre (le nombre de points). C'est l'idée d'une variable aléatoire : une grandeur numérique dont la valeur dépend du hasard.
Une variable aléatoire est une grandeur numérique dont la valeur dépend du résultat d'une expérience aléatoire. On la note en général par une lettre majuscule : \(X\), \(Y\), … Les valeurs que peut prendre \(X\) sont notées \(x_1, x_2, \ldots, x_n\).
L'écriture \(\{X=a\}\) désigne l'événement « la variable aléatoire \(X\) prend la valeur \(a\) ». Sa probabilité se note \(P(X=a)\).
Donner la loi de probabilité d'une variable aléatoire \(X\), c'est indiquer :
On présente souvent cette loi dans un tableau.
La somme de toutes les probabilités d'une loi de probabilité est égale à \(1\) :
\[p_1 + p_2 + \cdots + p_n = 1.\]On lance un dé équilibré. On gagne \(2\) points si l'on obtient un \(6\), \(0\) point sinon. On note \(X\) le nombre de points.
| Valeur \(x_i\) | \(0\) | \(2\) |
|---|---|---|
| \(P(X=x_i)\) | \(\dfrac{5}{6}\) | \(\dfrac{1}{6}\) |
Vérification : \(\dfrac{5}{6}+\dfrac{1}{6}=1\). ✔
L'écriture \(\{X\leqslant a\}\) désigne l'événement « \(X\) prend une valeur inférieure ou égale à \(a\) ». Sa probabilité \(P(X\leqslant a)\) s'obtient en additionnant les probabilités de toutes les valeurs \(x_i\) inférieures ou égales à \(a\).
Une variable aléatoire \(Y\) a pour loi :
| \(y_i\) | \(-1\) | \(0\) | \(3\) | \(5\) |
|---|---|---|---|---|
| \(P(Y=y_i)\) | \(0{,}2\) | \(0{,}3\) | \(0{,}4\) | \(0{,}1\) |
Diagramme en bâtons de la loi de \(Y\) : la hauteur de chaque bâton représente la probabilité \(P(Y=y_i)\). La somme des hauteurs vaut \(1\).
\(P(Z\leqslant 2)=P(Z=1)+P(Z=2)=0{,}5+0{,}3=0{,}8\). Somme : \(0{,}5+0{,}3+0{,}2=1\). ✔
Reprenons le jeu du dé : \(2\) points sur un \(6\), \(0\) point sinon. Si l'on joue un très grand nombre de fois, quelle sera en moyenne la valeur par partie ? Environ une partie sur six rapporte \(2\) points, les cinq autres \(0\). La moyenne par partie tend vers :
\[2\times\frac{1}{6}+0\times\frac{5}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\approx 0{,}33.\]Cette moyenne pondérée des valeurs par leurs probabilités s'appelle l'espérance.
Soit \(X\) une variable aléatoire prenant les valeurs \(x_1,\ldots,x_n\) avec les probabilités \(p_1,\ldots,p_n\). L'espérance de \(X\) est le nombre :
\[E(X)=x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n = \sum_i x_i\,p_i.\]C'est la moyenne des valeurs \(x_i\) pondérées par leurs probabilités \(p_i\).
L'espérance \(E(X)\) est la valeur moyenne que prend \(X\) sur un très grand nombre de répétitions de l'expérience. Dans un jeu d'argent, c'est le gain moyen par partie sur le long terme.
À une fête, un jeu coûte \(2\) € la partie. On lance un dé équilibré : on remporte \(10\) € sur un \(6\), rien sinon. On note \(G\) le gain algébrique (ce qu'on gagne moins la mise).
| \(g_i\) | \(-2\) | \(8\) |
|---|---|---|
| \(P(G=g_i)\) | \(\dfrac{5}{6}\) | \(\dfrac{1}{6}\) |
Interprétation : sur un grand nombre de parties, le joueur perd en moyenne environ \(0{,}33\) € par partie. Le jeu est défavorable au joueur.
Un jeu est dit équitable lorsque \(E(G)=0\) : sur le long terme, le joueur ne gagne ni ne perd en moyenne. L'espérance n'est pas une valeur obtenue à chaque partie : c'est une moyenne sur le long terme.
\(E(X)=0\times 0{,}5+1\times 0{,}2+3\times 0{,}3=0+0{,}2+0{,}9=1{,}1\).
Dans une usine, on contrôle une pièce prise au hasard : elle est soit conforme, soit défectueuse. Il n'y a que deux issues : c'est une épreuve de Bernoulli. Pour la modéliser par des nombres, on code le succès par \(1\) et l'échec par \(0\).
Une expérience aléatoire n'ayant que deux issues, succès (probabilité \(p\)) et échec (probabilité \(1-p\)), est une épreuve de Bernoulli. On lui associe la variable aléatoire \(X\) qui vaut :
On dit alors que \(X\) suit la loi de Bernoulli de paramètre \(p\).
| Valeur \(x_i\) | \(0\) | \(1\) |
|---|---|---|
| \(P(X=x_i)\) | \(1-p\) | \(p\) |
Si \(X\) suit la loi de Bernoulli de paramètre \(p\), alors :
\[E(X)=0\times(1-p)+1\times p = p.\]L'espérance d'une loi de Bernoulli de paramètre \(p\) est égale à \(p\). Puisque \(X\) ne vaut que \(0\) ou \(1\), \(E(X)=p\) représente la proportion moyenne de succès sur un grand nombre de répétitions.
Une machine produit des pièces dont \(3\,\%\) sont défectueuses. On prélève une pièce au hasard et on pose \(X=1\) si elle est défectueuse, \(X=0\) sinon. Alors \(X\) suit la loi de Bernoulli de paramètre \(p=0{,}03\), et \(E(X)=0{,}03\) : sur un grand nombre de prélèvements, on obtient en moyenne \(3\,\%\) de pièces défectueuses.
Une situation est modélisée par une loi de Bernoulli lorsqu'on peut la ramener à une seule épreuve à deux issues (succès / échec), et que l'on code le succès par \(1\) et l'échec par \(0\).
Exemples : pile ou face, réussite/échec d'un tir, présence/absence d'un défaut, réponse « oui »/« non » à une question.
Deux issues (correct / faux) : \(X\) suit une loi de Bernoulli de paramètre \(p=\dfrac{1}{4}=0{,}25\). Donc \(P(X=1)=0{,}25\), \(P(X=0)=0{,}75\), et \(E(X)=p=0{,}25\).
On répète plusieurs fois la même épreuve de Bernoulli, dans des conditions identiques et indépendantes (chaque répétition ne dépend pas des précédentes). On veut calculer des probabilités comme « obtenir exactement \(2\) succès » ou « obtenir au moins un succès ». L'outil adapté est l'arbre de probabilités.
On répète \(n\) fois (\(n\leqslant 4\)) une même épreuve de Bernoulli de paramètre \(p\), de façon identique et indépendante. On note \(S\) le succès (probabilité \(p\)) et \(E\) l'échec (probabilité \(1-p\)). On la représente par un arbre de probabilités à \(n\) niveaux :
On répète deux fois l'épreuve. L'arbre a deux niveaux et \(2\times 2=4\) chemins.
Arbre à deux niveaux (\(n=2\)) : à chaque nœud, une branche succès \(S\) (proba \(p\)) et une branche échec \(E\) (proba \(1-p\)). La probabilité de chaque chemin est le produit des branches.
Probabilité de chaque chemin :
\[P(S,S)=p^2,\quad P(S,E)=p(1-p),\quad P(E,S)=(1-p)p,\quad P(E,E)=(1-p)^2.\]Une pièce truquée tombe sur pile (succès) avec probabilité \(p=0{,}6\), donc face (échec) avec \(1-p=0{,}4\). On la lance deux fois.
Vérification : \(0{,}36+0{,}48+0{,}16=1\). ✔
On répète trois fois l'épreuve : l'arbre a trois niveaux et \(2\times 2\times 2=8\) chemins. On peut compter le nombre de chemins menant à un nombre donné de succès :
| Nombre de succès \(k\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|
| Nombre de chemins | \(1\) | \(3\) | \(3\) | \(1\) |
Chaque chemin menant à \(k\) succès (donc \(3-k\) échecs) a pour probabilité \(p^k(1-p)^{3-k}\). La probabilité d'obtenir exactement \(k\) succès s'obtient en multipliant cette probabilité par le nombre de chemins.
Un basketteur réussit un lancer franc (succès) avec \(p=0{,}7\) ; il en tente trois de façon indépendante (\(1-p=0{,}3\)).
On procède de même avec un arbre à quatre niveaux (\(2^4=16\) chemins). Le nombre de chemins menant à \(k\) succès se lit en dénombrant les feuilles :
| Nombre de succès \(k\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) |
|---|---|---|---|---|---|
| Nombre de chemins | \(1\) | \(4\) | \(6\) | \(4\) | \(1\) |
La probabilité d'obtenir exactement \(k\) succès vaut alors \((\text{nombre de chemins})\times p^k(1-p)^{4-k}\). On se limite au dénombrement des chemins de l'arbre : on n'introduit aucune formule générale.
Exactement \(2\) succès : \(3\) chemins, chacun \(0{,}4^2\times 0{,}6=0{,}096\), total \(3\times 0{,}096=0{,}288\).
Au moins un succès : \(1-0{,}6^3=1-0{,}216=0{,}784\).
On sait qu'une pièce truquée tombe sur pile avec \(p=0{,}6\). Si on la lance \(n=100\) fois, on n'obtient pas exactement \(60\) piles à chaque fois : une série donne \(58\), une autre \(63\), une autre \(55\)… La fréquence observée des piles varie d'un échantillon à l'autre : c'est la fluctuation d'échantillonnage, qu'on observe par simulation.
Comme random() renvoie un nombre au hasard dans \([0\,;1[\), le test random() < p réussit avec probabilité \(p\) : c'est ainsi qu'on simule une épreuve de Bernoulli. Un échantillon de taille \(n\) est alors une liste de \(0\) et de \(1\) :
from random import random
def bernoulli(p):
return 1 if random() < p else 0 # succès (1) avec probabilité p
# Un échantillon de taille n = 100, paramètre p = 0.6
echantillon = [bernoulli(0.6) for _ in range(100)]
f = sum(echantillon) / 100 # fréquence observée des 1
print(f) # proche de 0,6... mais fluctue !En relançant ce programme, on obtient à chaque fois une fréquence différente : c'est la fluctuation d'échantillonnage. La simulation complète (générer \(N\) échantillons, représenter les fréquences par un histogramme ou un nuage de points, compter celles situées dans \([\,p-ks\,;\,p+ks\,]\) pour \(k=1,2,3\)) est détaillée au chapitre 7 (section VII et méthode 5).
On représente les \(N\) fréquences par un histogramme ou un nuage de points. On constate que : les fréquences se regroupent autour de \(p\) ; elles fluctuent (au-dessus ou en dessous de \(p\)) ; plus \(n\) est grand, plus elles sont resserrées autour de \(p\).
Fréquences observées des \(1\) sur \(40\) échantillons de taille \(n=100\) (\(p=0{,}6\)). Elles fluctuent autour de \(p\) (ligne rouge) ; la quasi-totalité tombe dans la bande \([\,p-2s\,;\,p+2s\,]\) (vert). Une valeur hors de cette bande est rare.
On calcule la moyenne de la série des fréquences (proche de \(p\)) et son écart-type, noté \(s\), qui mesure la dispersion des fréquences autour de \(p\).
Pour chaque échantillon, on regarde la distance \(|f-p|\) entre sa fréquence et \(p\). On compte le pourcentage d'échantillons dont la fréquence est dans \([\,p-s\,;\,p+s\,]\), \([\,p-2s\,;\,p+2s\,]\), \([\,p-3s\,;\,p+3s\,]\). Sur les simulations, la très grande majorité des échantillons ont une fréquence à distance au plus \(2s\) ou \(3s\) de \(p\) : une fréquence à distance supérieure à \(3s\) correspond à une situation rare, une fréquence proche de \(p\) à une situation fréquente.
En refaisant les simulations pour plusieurs valeurs de \(n\) (\(n=25,100,400,900,\ldots\)), on constate que l'écart-type \(s\) de la série des fréquences est de l'ordre de \(\dfrac{1}{\sqrt{n}}\). Si l'on place \(\dfrac{1}{\sqrt{n}}\) en abscisse et \(s\) en ordonnée, les points sont presque alignés avec l'origine : \(s\) est proportionnel à \(\dfrac{1}{\sqrt{n}}\).
Puisque \(s\) est de l'ordre de \(\dfrac{1}{\sqrt{n}}\) : pour diviser la dispersion des fréquences par \(k\), il faut multiplier la taille \(n\) par \(k^2\). Ainsi, pour rendre la dispersion deux fois plus petite (\(k=2\)), il faut un échantillon quatre fois plus grand (\(k^2=4\)). Gagner en précision coûte cher en taille d'échantillon. Ce résultat est un constat empirique issu des simulations : on ne le démontre pas.
Pour diviser \(s\) par \(2\), on multiplie \(n\) par \(2^2=4\), soit \(n=400\).
\(p=0{,}05\), \(1-p=0{,}95\). Au moins une défectueuse : \(1-P(\text{aucune})=1-0{,}95^2=1-0{,}9025=0{,}0975\), soit environ \(9{,}75\,\%\).
❌ Confondre valeur et probabilité dans \(E(X)=\sum x_i p_i\).
✅ On multiplie la valeur \(x_i\) par sa probabilité \(p_i\), sans les inverser.
❌ Oublier des chemins dans un arbre.
✅ « Exactement \(1\) succès » sur \(n=3\) correspond à \(3\) chemins (\(SEE\), \(ESE\), \(EES\)), pas un seul.
❌ Additionner au lieu de multiplier (ou l'inverse) dans un arbre.
✅ On multiplie le long d'un chemin, on additionne entre chemins.
❌ Croire que la fréquence observée est toujours égale à \(p\).
✅ Elle fluctue autour de \(p\) et ne s'en rapproche que lorsque \(n\) grandit.
❌ Se tromper sur le sens de la règle du \(k^2\).
✅ Pour diviser la dispersion par \(k\), on multiplie \(n\) par \(k^2\) (et non par \(k\)).