Fiche – Variables aléatoires et loi de Bernoulli

Chapitre 6 | Première technologique (enseignement commun) | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

L'essentiel :

Une variable aléatoire \(X\) associe un nombre au résultat d'une expérience ; sa loi donne les valeurs \(x_i\) et probabilités \(p_i\) (\(\sum p_i=1\)).
Espérance \(E(X)=\sum x_i p_i\) : valeur moyenne sur le long terme (gain moyen).
Loi de Bernoulli\((p)\) : \(P(X=1)=p\), \(P(X=0)=1-p\), \(E(X)=p\).
Arbre (\(n\leqslant 4\)) : on multiplie le long d'un chemin, on additionne entre chemins.
Fluctuation : les fréquences observées fluctuent autour de \(p\) ; \(s\) de l'ordre de \(\dfrac{1}{\sqrt{n}}\).

Définitions clés

Définition

Variable aléatoire : grandeur numérique dont la valeur dépend du résultat d'une expérience aléatoire. \(\{X=a\}\) est l'événement « \(X\) vaut \(a\) », de probabilité \(P(X=a)\).

Définition

Loi de probabilité : toutes les valeurs \(x_i\) de \(X\) et leurs probabilités \(p_i=P(X=x_i)\), avec \(\sum p_i=1\). \(P(X\leqslant a)\) = somme des \(p_i\) des valeurs \(\leqslant a\).

Définition

Épreuve de Bernoulli : expérience à deux issues (succès, proba \(p\) / échec, proba \(1-p\)). On code succès \(=1\), échec \(=0\) : \(X\) suit la loi de Bernoulli de paramètre \(p\).

Définition

Échantillon de taille \(n\) : liste de \(n\) résultats (\(0\) ou \(1\)) indépendants. Fréquence des \(1\) : \(f=\dfrac{\text{nombre de }1}{n}\).

À connaître par cœur

Espérance \[E(X)=x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n = \sum_i x_i\,p_i\]

Loi de Bernoulli de paramètre \(p\) \[P(X=1)=p,\quad P(X=0)=1-p,\quad E(X)=p\]

Répétition de \(n\) épreuves (arbre) \[\text{un chemin à } k \text{ succès}\ :\ p^k(1-p)^{\,n-k}\] \[P(\text{au moins un succès})=1-P(\text{aucun succès})\]

Jeu et fluctuation

Jeu équitable si \(E(G)=0\) ; favorable si \(E(G)\gt 0\) ; défavorable si \(E(G)\lt 0\).
Fréquences observées : elles fluctuent autour de \(p\), d'autant plus resserrées que \(n\) est grand.
Écart-type \(s\approx\dfrac{1}{\sqrt{n}}\) : pour diviser la dispersion par \(k\), multiplier \(n\) par \(k^2\).

Méthode — Établir une loi de probabilité

Méthode

Repérer toutes les valeurs \(x_i\) que peut prendre \(X\).
Pour chaque valeur, calculer la probabilité \(p_i=P(X=x_i)\).
Présenter dans un tableau (ligne des \(x_i\), ligne des \(p_i\)).
Vérifier que \(\sum p_i=1\).

Méthode — Calculer une probabilité avec un arbre

Tracer l'arbre à \(n\) niveaux (branches \(p\) et \(1-p\)).
Un chemin : multiplier les probabilités des branches.
Un événement : additionner les probabilités des chemins qui le réalisent.
« Au moins un succès » : calculer \(1-P(\text{aucun})\).

Erreurs fréquentes

Attention

❌ Confondre valeur et probabilité dans \(E(X)=\sum x_i p_i\).

✅ On multiplie la valeur \(x_i\) par sa probabilité \(p_i\).

❌ Oublier des chemins dans un arbre.

✅ « Exactement \(1\) succès » sur \(n=3\) : \(3\) chemins (\(SEE\), \(ESE\), \(EES\)).

❌ Multiplier au lieu d'additionner (ou l'inverse).

✅ On multiplie le long d'un chemin, on additionne entre chemins.

❌ Croire que la fréquence est toujours égale à \(p\).

✅ Elle fluctue autour de \(p\) et s'en rapproche quand \(n\) grandit.

Exemple rapide

Exemple — 3 lancers d'une pièce truquée (\(p=0{,}7\))

Une pièce truquée tombe sur pile (succès) avec \(p=0{,}7\). On la lance \(3\) fois.

Aucune pile : \(0{,}3^3=0{,}027\).
Au moins une pile : \(1-0{,}027=0{,}973\).
Exactement \(2\) piles : \(3\times 0{,}7^2\times 0{,}3=3\times 0{,}147=0{,}441\).