Variables aléatoires et loi de Bernoulli | Première technologique (enseignement commun) | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
On lance un dé équilibré à six faces. On note \(X\) le résultat obtenu.
1. Donner la loi de probabilité de \(X\).
2. Calculer \(P(X\leqslant 2)\).
3. Calculer \(E(X)\) et interpréter.
1. \(X\) prend les valeurs \(1,2,3,4,5,6\), chacune avec probabilité \(\dfrac{1}{6}\).
2. \(P(X\leqslant 2)=\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}\).
3. \(E(X)=(1+2+3+4+5+6)\times\dfrac{1}{6}=\dfrac{21}{6}=3{,}5\) : sur un grand nombre de lancers, la moyenne des résultats est \(3{,}5\).
Une variable aléatoire \(Y\) a pour loi :
| \(y_i\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(5\) |
|---|---|---|---|---|
| \(P(Y=y_i)\) | \(0{,}3\) | \(0{,}25\) | \(?\) | \(0{,}15\) |
1. Déterminer \(P(Y=2)\).
2. Calculer \(P(Y\leqslant 1)\).
3. Calculer \(E(Y)\).
1. La somme des probabilités vaut \(1\) : \(P(Y=2)=1-(0{,}3+0{,}25+0{,}15)=1-0{,}7=0{,}3\).
2. \(P(Y\leqslant 1)=0{,}3+0{,}25=0{,}55\).
3. \(E(Y)=0\times 0{,}3+1\times 0{,}25+2\times 0{,}3+5\times 0{,}15=0+0{,}25+0{,}6+0{,}75=1{,}6\).
Un jeu coûte \(3\) € la partie. On tire une carte dans un jeu de \(32\) cartes. On gagne \(12\) € si l'on tire un roi (\(4\) rois), rien sinon. On note \(G\) le gain algébrique.
1. Donner la loi de \(G\).
2. Calculer \(E(G)\). Le jeu est-il favorable au joueur ?
1. \(P(\text{roi})=\dfrac{4}{32}=\dfrac{1}{8}\), sinon \(\dfrac{7}{8}\). Gain sur un roi : \(12-3=9\) € ; sinon : \(-3\) €. Loi : \(P(G=9)=\dfrac{1}{8}\), \(P(G=-3)=\dfrac{7}{8}\).
2. \(E(G)=9\times\dfrac{1}{8}+(-3)\times\dfrac{7}{8}=\dfrac{9-21}{8}=-\dfrac{12}{8}=-1{,}5\) €. Le jeu est défavorable : on perd en moyenne \(1{,}5\) € par partie.
Dans un lot, \(8\,\%\) des composants sont défectueux. On en prélève un au hasard et on pose \(X=1\) s'il est défectueux, \(X=0\) sinon.
1. Justifier que \(X\) suit une loi de Bernoulli et donner son paramètre.
2. Donner \(E(X)\) et l'interpréter.
1. Deux issues seulement (défectueux / non défectueux) : \(X\) suit la loi de Bernoulli de paramètre \(p=0{,}08\).
2. \(E(X)=p=0{,}08\) : sur un grand nombre de prélèvements, on obtient en moyenne \(8\,\%\) de composants défectueux.
Une pièce truquée tombe sur pile (succès) avec probabilité \(p=0{,}3\). On la lance \(2\) fois de façon indépendante.
1. Représenter la situation par un arbre (branches \(S\) et \(E\) avec leurs probabilités).
2. Calculer la probabilité d'obtenir exactement \(1\) pile.
3. Calculer la probabilité d'obtenir au moins un pile.
1. Deux niveaux, branches \(S\) (\(0{,}3\)) et \(E\) (\(0{,}7\)) à chaque nœud.
2. Deux chemins \((S,E)\) et \((E,S)\) : \(P=0{,}3\times 0{,}7+0{,}7\times 0{,}3=0{,}21+0{,}21=0{,}42\).
3. \(P(\text{au moins 1})=1-P(E,E)=1-0{,}7^2=1-0{,}49=0{,}51\).
Un joueur de fléchettes atteint le centre (succès) avec probabilité \(p=0{,}4\). Il tire \(3\) fléchettes de façon indépendante.
1. Combien de chemins de l'arbre mènent à exactement \(2\) succès ?
2. Calculer la probabilité d'obtenir exactement \(2\) succès.
3. Calculer la probabilité d'obtenir au moins un succès.
1. \(3\) chemins (\(SSE\), \(SES\), \(ESS\)).
2. Chaque chemin : \(0{,}4^2\times 0{,}6=0{,}096\) ; total \(3\times 0{,}096=0{,}288\).
3. \(P(\text{au moins 1})=1-0{,}6^3=1-0{,}216=0{,}784\).
On simule \(N=500\) échantillons d'une loi de Bernoulli de paramètre \(p=0{,}5\). Pour \(n=100\), l'écart-type observé des fréquences est \(s\approx 0{,}05\).
1. Que vaut environ \(\dfrac{1}{\sqrt{n}}\) pour \(n=100\) ?
2. On veut diviser par \(2\) la dispersion des fréquences. Quelle taille d'échantillon faut-il prendre ?
3. Environ \(95\,\%\) des échantillons ont une fréquence dans \([0{,}4\,;\,0{,}6]=[p-2s\,;\,p+2s]\). Situation fréquente ou rare ?
1. \(\dfrac{1}{\sqrt{100}}=\dfrac{1}{10}=0{,}1\). On retient surtout que \(s\) décroît comme \(\dfrac{1}{\sqrt{n}}\).
2. Pour diviser \(s\) par \(2\), on multiplie \(n\) par \(2^2=4\), soit \(n=400\).
3. La très grande majorité des échantillons : c'est une situation fréquente. Une fréquence hors de \([p-3s\,;\,p+3s]\) serait, elle, rare.
Une chaîne de production fabrique des ampoules dont \(10\,\%\) sont défectueuses. On prélève au hasard \(3\) ampoules de façon indépendante. On note \(S\) « ampoule défectueuse » (succès, \(p=0{,}1\)) et \(E\) « ampoule bonne ».
1. Justifier que le prélèvement d'une ampoule est une épreuve de Bernoulli et donner son paramètre.
2. Calculer la probabilité qu'aucune des \(3\) ampoules ne soit défectueuse.
3. En déduire la probabilité qu'au moins une ampoule soit défectueuse.
4. Calculer la probabilité qu'exactement une ampoule soit défectueuse.
1. Deux issues (défectueuse / bonne) : épreuve de Bernoulli de paramètre \(p=0{,}1\) ; \(1-p=0{,}9\).
2. Un seul chemin \((E,E,E)\) : \(P(\text{aucune})=0{,}9^3=0{,}729\).
3. \(P(\text{au moins une})=1-0{,}729=0{,}271\), soit environ \(27{,}1\,\%\).
4. \(3\) chemins (\(SEE\), \(ESE\), \(EES\)), chacun \(0{,}1\times 0{,}9^2=0{,}081\) : \(P(\text{exactement 1})=3\times 0{,}081=0{,}243\).