Chapitre 4 | Première technologique (enseignement commun) | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
Un gestionnaire d'immeuble relève, pour huit jours d'hiver, la température moyenne extérieure (en °C) et la consommation de gaz de la chaufferie (en m³). Ce tableau nous servira d'exemple tout au long du chapitre.
| Jour | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Température \(x_i\) (°C) | 2 | 4 | 5 | 7 | 8 | 10 | 12 | 14 |
| Consommation \(y_i\) (m³) | 118 | 105 | 102 | 88 | 85 | 72 | 63 | 50 |
On devine que « quand il fait plus froid, on consomme plus », mais un tableau de chiffres reste difficile à interpréter : on va donc représenter ces données.
Une série statistique à deux variables quantitatives est la donnée, pour chaque individu \(i\) (avec \(i\) allant de \(1\) à \(n\)), d'un couple de nombres \((x_i\,;y_i)\), où \(x_i\) est la valeur d'un premier caractère et \(y_i\) celle d'un second.
Dans un repère du plan, le nuage de points de la série est l'ensemble des \(n\) points \(M_i\) de coordonnées \((x_i\,;y_i)\).
La variable portée en abscisse (\(x\)) est appelée variable explicative, celle portée en ordonnée (\(y\)) variable expliquée : ici on cherche à expliquer la consommation à partir de la température.
Nuage de points de l'exemple fil rouge : les points sont presque alignés et la tendance est décroissante.
Lorsqu'un nuage a une allure allongée, proche d'une droite, on dit qu'un ajustement affine (résumer le nuage par une droite) est envisageable. Si les points forment une courbe, un nuage informe ou deux amas séparés, tracer une droite serait trompeur.
Quand l'âge augmente, le sommeil diminue : la tendance est décroissante. Les points suivent une allure à peu près rectiligne : un ajustement affine paraît pertinent.
Avant de tracer une droite, on cherche un point qui représente le centre du nuage.
Le point moyen d'une série à deux variables est le point \(G\) de coordonnées :
\[G\left(\bar{x}\,;\bar{y}\right)\quad\text{où}\quad \bar{x}=\frac{x_1+\dots+x_n}{n}\quad\text{et}\quad \bar{y}=\frac{y_1+\dots+y_n}{n}.\]Son abscisse est la moyenne des abscisses, son ordonnée la moyenne des ordonnées.
Il y a \(n=8\) points.
\[\bar{x}=\frac{2+4+5+7+8+10+12+14}{8}=\frac{62}{8}=7{,}75.\] \[\bar{y}=\frac{118+105+102+88+85+72+63+50}{8}=\frac{683}{8}=85{,}375.\]Le point moyen est donc \(G(7{,}75\,;85{,}375)\), placé au « milieu » du nuage.
Le point moyen \(G\) appartient à toute droite d'ajustement obtenue par la méthode de Mayer et par la méthode des moindres carrés : toute bonne droite de tendance passe par le centre du nuage.
\(n=5\). \(\bar{x}=\dfrac{150+155+160+165+170}{5}=\dfrac{800}{5}=160\) et \(\bar{y}=\dfrac{42+47+52+58+61}{5}=\dfrac{260}{5}=52\). Donc \(G(160\,;52)\).
Réaliser un ajustement affine d'un nuage, c'est déterminer une droite \(\mathcal{D}\) d'équation \(y=ax+b\) qui résume au mieux la tendance du nuage. On l'appelle droite d'ajustement (ou droite de tendance).
Une fois la droite obtenue, on remplace le nuage réel par une relation simple : pour une valeur de \(x\) donnée, la droite fournit une valeur approchée de \(y\). Le programme propose trois méthodes : au jugé, droite de Mayer, moindres carrés. Aucune n'est « la vraie » ; ce sont des outils plus ou moins précis.
Un ajustement affine n'a de sens que si le nuage a une allure allongée. Toujours regarder le nuage d'abord avant de tracer une droite.
On trace, à la règle, une droite qui passe au plus près de l'ensemble des points, en laissant à peu près autant de points au-dessus qu'en dessous. On lit ensuite son ordonnée à l'origine et on calcule sa pente pour obtenir \(y=ax+b\).
C'est rapide mais peu précis : deux personnes obtiennent des droites légèrement différentes. Bonne pratique : faire passer la droite par \(G\) pour la recentrer.
La méthode de Mayer rend l'ajustement reproductible : deux personnes trouvent exactement la même droite.
La droite de Mayer passe par \(G_1\), par \(G_2\), et aussi par le point moyen global \(G\) du nuage.
Il y a \(8\) points : on forme deux groupes de \(4\).
Groupe 1 (jours 1 à 4) : \(x_{G_1}=\dfrac{2+4+5+7}{4}=4{,}5\) et \(y_{G_1}=\dfrac{118+105+102+88}{4}=103{,}25\), donc \(G_1(4{,}5\,;103{,}25)\).
Groupe 2 (jours 5 à 8) : \(x_{G_2}=\dfrac{8+10+12+14}{4}=11\) et \(y_{G_2}=\dfrac{85+72+63+50}{4}=67{,}5\), donc \(G_2(11\,;67{,}5)\).
Pente : \(a=\dfrac{y_{G_2}-y_{G_1}}{x_{G_2}-x_{G_1}}=\dfrac{67{,}5-103{,}25}{11-4{,}5}=\dfrac{-35{,}75}{6{,}5}=-5{,}5.\)
Ordonnée à l'origine : \(103{,}25=-5{,}5\times 4{,}5+b\Rightarrow b=128\).
\[\boxed{y=-5{,}5\,x+128.}\]Vérification : pour \(x=7{,}75\), \(-5{,}5\times 7{,}75+128=85{,}375=\bar{y}\) : la droite passe bien par \(G\).
Droite de Mayer \(y=-5{,}5x+128\) : les points moyens \(G_1\) et \(G_2\) (vert) la définissent, et elle passe aussi par le point moyen global \(G\) (rouge).
Deux groupes de \(3\). \(G_1\big(2\,;\tfrac{58}{3}\big)\approx(2\,;19{,}33)\) et \(G_2(5\,;24)\). Pente : \(a=\dfrac{24-19{,}33}{5-2}\approx 1{,}56\). Puis \(24=1{,}56\times 5+b\Rightarrow b=16{,}2\). Droite : \(y\approx 1{,}56\,x+16{,}2\).
C'est la méthode d'ajustement de référence, celle qu'on obtient avec la machine.
Pour chaque point \(M_i(x_i\,;y_i)\) et une droite \(y=ax+b\), on considère l'écart vertical \(y_i-(ax_i+b)\). La droite des moindres carrés est celle qui rend minimale la somme des carrés de ces écarts :
\[S(a,b)=\sum_{i=1}^{n}\big(y_i-(ax_i+b)\big)^2.\]Élever au carré permet de compter positivement les écarts, qu'un point soit au-dessus ou en dessous de la droite.
En saisissant les huit couples dans la calculatrice, on obtient la droite des moindres carrés :
\[\boxed{y\approx -5{,}59\,x+128{,}7.}\]Sur cet exemple, elle est très proche de la droite de Mayer, ce qui confirme la pertinence de l'ajustement affine. Contrôle : pour \(x=7{,}75\), \(-5{,}59\times 7{,}75+128{,}7\approx 85{,}4\approx\bar{y}\).
Droite des moindres carrés : elle minimise la somme des carrés des écarts verticaux (traits verts) et passe par le point moyen \(G\).
Calculatrice : entrer les \(x\) dans une liste (par ex. \(L_1\)), les \(y\) dans \(L_2\), choisir le menu statistiques à deux variables puis la régression linéaire de type \(y=ax+b\) (parfois notée LinReg). La machine affiche \(a\) et \(b\).
Tableur : =PENTE(plage_y;plage_x) donne \(a\), =ORDONNEE.ORIGINE(plage_y;plage_x) donne \(b\). Attention à l'ordre : les \(y\) d'abord, puis les \(x\).
Python : avec numpy, a, b = np.polyfit(x, y, 1).
\(y\approx 0{,}135\times 35+0{,}45\approx 5{,}2\) mg/L.
Une fois une droite d'ajustement obtenue, par exemple \(y\approx -5{,}59\,x+128{,}7\), on l'utilise pour prévoir une valeur inconnue.
Quelle consommation prévoir à \(9\) °C ? Comme \(2\le 9\le 14\), c'est une interpolation :
\[y\approx -5{,}59\times 9+128{,}7\approx 78{,}4\ \text{m}^3.\]On prévoit environ \(78\) m³. Comme \(9\) °C est bien encadré par des données réelles, l'estimation est assez fiable.
Quelle consommation à \(18\) °C ? Comme \(18\gt 14\), c'est une extrapolation :
\[y\approx -5{,}59\times 18+128{,}7\approx 28{,}1\ \text{m}^3.\]Le modèle annonce environ \(28\) m³, mais cette valeur doit être prise avec prudence : rien ne garantit que la relation reste affine loin des données.
Plus on s'éloigne de la plage observée, moins la prévision est fiable. Poussée à l'extrême, la droite \(y=-5{,}59\,x+128{,}7\) finit par donner des consommations négatives (pour \(x=25\) °C : \(y\approx -11\) m³), ce qui est impossible physiquement. Un ajustement affine décrit bien le nuage dans la zone des données, mais n'autorise pas à prévoir n'importe quoi en dehors.
Pour \(x=6\) (entre \(2\) et \(14\), interpolation) : \(y\approx -5{,}59\times 6+128{,}7\approx 95{,}2\) m³, estimation fiable. Pour \(x=0\) (\(0\lt 2\), extrapolation) : \(y\approx 128{,}7\) m³, à prendre avec prudence.
\(y\approx 7{,}7\times 50+12{,}5\approx 397\) adhérents. Cette extrapolation lointaine n'a guère de sens : rien ne garantit une croissance linéaire aussi longtemps (locaux limités, saturation du public…).
❌ Intervertir les coordonnées de \(G\).
✅ \(G(\bar{x}\,;\bar{y})\) : abscisse = moyenne des \(x\), ordonnée = moyenne des \(y\), dans cet ordre.
❌ Inverser l'ordre des arguments au tableur.
✅ PENTE, ORDONNEE.ORIGINE attendent les \(y\) d'abord, puis les \(x\).
❌ Tracer une droite sur un nuage qui n'est pas aligné.
✅ Un ajustement affine n'a de sens que si les points suivent une tendance rectiligne.
❌ Extrapoler trop loin et accepter un résultat absurde.
✅ Se méfier des valeurs impossibles (consommation ou effectif négatifs).
❌ Confondre interpolation et extrapolation.
✅ Vérifier si \(x\) est à l'intérieur ou à l'extérieur de \([x_{\min}\,;x_{\max}]\).