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Fiche – Statistiques à deux variables
Chapitre 4 | Première technologique (enseignement commun) | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
L'essentiel :
- Une série à deux variables associe à chaque individu un couple \((x_i\,;y_i)\), visualisé par un nuage de points.
- Le point moyen \(G(\bar{x}\,;\bar{y})\) est le centre du nuage ; toutes les droites d'ajustement passent par lui.
- Un ajustement affine résume un nuage allongé par une droite \(y=ax+b\) : au jugé, Mayer, moindres carrés.
- Interpoler = prévoir dedans (fiable) ; extrapoler = prévoir dehors (prudence).
- Toujours regarder le nuage d'abord : pas d'ajustement affine sur un nuage non aligné.
Définitions clés
Définition
Série à deux variables : pour chaque individu \(i\), un couple \((x_i\,;y_i)\). Le nuage de points est l'ensemble des points \(M_i(x_i\,;y_i)\).
Définition
Point moyen : \(G(\bar{x}\,;\bar{y})\), abscisse = moyenne des \(x\), ordonnée = moyenne des \(y\).
Définition
Ajustement affine : droite \(y=ax+b\) résumant la tendance d'un nuage allongé.
Définition
Interpoler : prévoir \(y\) pour \(x\) à l'intérieur de \([x_{\min}\,;x_{\max}]\). Extrapoler : prévoir pour \(x\) à l'extérieur.
À connaître par cœur
Point moyen
\[\bar{x}=\frac{x_1+\dots+x_n}{n}\qquad \bar{y}=\frac{y_1+\dots+y_n}{n}\qquad G(\bar{x}\,;\bar{y})\]
Droite de Mayer
\[a=\frac{y_{G_2}-y_{G_1}}{x_{G_2}-x_{G_1}}\qquad b \text{ tel que } G_1 \text{ (ou } G_2\text{) soit sur } y=ax+b\]
Propriétés à retenir
- La droite de Mayer passe par \(G_1\), \(G_2\) et le point moyen global \(G\).
- La droite des moindres carrés minimise \(\sum (y_i-(ax_i+b))^2\) et passe par \(G\).
- On obtient \(a\) et \(b\) des moindres carrés à la machine (jamais à la main).
Méthode — Ajuster et prévoir
Méthode — Droite de Mayer
- Ranger les points par abscisses croissantes ; deux groupes de même effectif.
- Calculer \(G_1\) (petites abscisses) et \(G_2\) (grandes abscisses).
- Pente \(a=\dfrac{y_{G_2}-y_{G_1}}{x_{G_2}-x_{G_1}}\), puis \(b\) en reportant \(G_1\).
- Écrire \(y=ax+b\) ; vérifier qu'elle passe par \(G\).
Méthode — Moindres carrés (machine) et prévision
- Saisir les couples \((x_i\,;y_i)\), lancer la régression linéaire, relever \(a\) et \(b\).
- Tableur :
=PENTE(y;x) et =ORDONNEE.ORIGINE(y;x) — les \(y\) d'abord.
- Prévoir : remplacer \(x\) par la valeur voulue dans \(y=ax+b\).
- Préciser interpolation ou extrapolation et commenter la fiabilité.
Erreurs fréquentes
Attention
❌ Intervertir les coordonnées de \(G\).
✅ \(G(\bar{x}\,;\bar{y})\) : moyenne des \(x\) en abscisse, moyenne des \(y\) en ordonnée.
❌ Inverser l'ordre des arguments au tableur.
✅ PENTE et ORDONNEE.ORIGINE attendent les \(y\) d'abord, puis les \(x\).
❌ Tracer une droite sur un nuage non aligné.
✅ Un ajustement affine n'a de sens que si le nuage est allongé.
❌ Extrapoler trop loin et accepter une valeur absurde.
✅ Se méfier des résultats impossibles (consommation ou effectif négatifs).
Exemple rapide
Exemple — température / consommation de gaz
Huit jours, \(G(7{,}75\,;85{,}375)\), droite des moindres carrés \(y\approx -5{,}59\,x+128{,}7\) (plage \([2\,;14]\) °C).
- À \(9\) °C (interpolation) : \(y\approx -5{,}59\times 9+128{,}7\approx 78\) m³, fiable.
- À \(18\) °C (extrapolation) : \(y\approx 28\) m³, à prendre avec prudence.
- Trop loin : \(x=25\) °C donne \(y\approx -11\) m³, valeur absurde ⇒ modèle non valable.