Statistiques à deux variables | Première technologique (enseignement commun) | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
Une infirmière scolaire relève l'âge \(x\) (années) et le nombre \(y\) d'heures de sommeil de six élèves : \((12\,;9)\), \((13\,;9)\), \((14\,;8)\), \((15\,;8)\), \((16\,;7)\), \((18\,;7)\).
1. Calculer \(\bar{x}\) et \(\bar{y}\).
2. En déduire les coordonnées du point moyen \(G\).
1. \(n=6\). \(\bar{x}=\dfrac{12+13+14+15+16+18}{6}=\dfrac{88}{6}\approx 14{,}67\) et \(\bar{y}=\dfrac{9+9+8+8+7+7}{6}=\dfrac{48}{6}=8\).
2. \(G(14{,}67\,;8)\).
On donne la série « nombre de publicités vues \(x\) / ventes en milliers \(y\) » : \((1\,;12)\), \((2\,;15)\), \((3\,;17)\), \((4\,;20)\), \((5\,;22)\).
1. Le nuage est-il compatible avec un ajustement affine ?
2. Sans calcul, en traçant au jugé une droite de tendance, estimer les ventes pour \(x=6\).
1. Les points sont presque alignés et croissants : un ajustement affine est pertinent.
2. Une droite au jugé passant au milieu du nuage donne, pour \(x=6\), une estimation de l'ordre de \(24\) à \(25\) milliers (toute valeur proche est acceptable, l'ajustement au jugé n'étant pas unique).
Reprendre la série de l'exercice 2 : \((1\,;12)\), \((2\,;15)\), \((3\,;17)\), \((4\,;20)\), \((5\,;22)\). L'effectif est impair : on écarte le point central. On forme deux groupes de \(2\) points \(\{(1\,;12),(2\,;15)\}\) et \(\{(4\,;20),(5\,;22)\}\).
1. Calculer \(G_1\) et \(G_2\).
2. Déterminer la droite de Mayer \((G_1 G_2)\).
1. \(G_1\big(\tfrac{1+2}{2}\,;\tfrac{12+15}{2}\big)=(1{,}5\,;13{,}5)\) et \(G_2\big(\tfrac{4+5}{2}\,;\tfrac{20+22}{2}\big)=(4{,}5\,;21)\).
2. Pente : \(a=\dfrac{21-13{,}5}{4{,}5-1{,}5}=\dfrac{7{,}5}{3}=2{,}5\). Puis \(13{,}5=2{,}5\times 1{,}5+b\Rightarrow b=9{,}75\). Droite : \(y=2{,}5\,x+9{,}75\).
On étudie le lien entre la dose \(x\) (mg) d'un médicament et la concentration \(y\) (mg/L) mesurée dans le sang : \((10\,;1{,}8)\), \((20\,;3{,}1)\), \((30\,;4{,}5)\), \((40\,;5{,}8)\), \((50\,;7{,}2)\). À la calculatrice, on obtient la droite des moindres carrés \(y\approx 0{,}135\,x+0{,}45\).
1. Estimer la concentration pour une dose de \(35\) mg. Interpolation ou extrapolation ?
2. Même question pour une dose de \(80\) mg. Commenter la fiabilité.
1. \(x=35\) est entre \(10\) et \(50\) : interpolation. \(y\approx 0{,}135\times 35+0{,}45\approx 5{,}2\) mg/L, estimation fiable.
2. \(x=80\) est au-delà de \(50\) : extrapolation. \(y\approx 0{,}135\times 80+0{,}45\approx 11{,}3\) mg/L, à prendre avec prudence car on sort de la plage des doses testées.
En travaux pratiques, on relève la tension \(U\) (V) aux bornes d'un conducteur et l'intensité \(I\) (mA) qui le traverse : \((0{,}5\,;5)\), \((1{,}0\,;11)\), \((1{,}5\,;16)\), \((2{,}0\,;21)\), \((2{,}5\,;27)\). La régression linéaire donne \(I\approx 10{,}8\,U-0{,}1\).
1. Quelle intensité prévoir pour \(U=1{,}8\) V ?
2. S'agit-il d'une interpolation ou d'une extrapolation ? La prévision est-elle fiable ?
1. \(I\approx 10{,}8\times 1{,}8-0{,}1\approx 19{,}3\) mA.
2. \(U=1{,}8\) est entre \(0{,}5\) et \(2{,}5\) : interpolation. La prévision est fiable car la relation tension-intensité est très bien décrite par une droite (droite d'étalonnage).
Une association relève l'effectif \(y\) selon l'année de rang \(x\) : \((1\,;20)\), \((2\,;28)\), \((3\,;35)\), \((4\,;44)\), \((5\,;51)\). La droite des moindres carrés est \(y\approx 7{,}7\,x+12{,}5\).
1. Estimer l'effectif pour l'année de rang \(7\).
2. Que donnerait le modèle pour l'année de rang \(50\) ? Commenter la pertinence.
1. Rang \(7\) (extrapolation modérée) : \(y\approx 7{,}7\times 7+12{,}5\approx 66\) adhérents ; prévision plausible à court terme.
2. Rang \(50\) : \(y\approx 7{,}7\times 50+12{,}5\approx 397\). Cette valeur n'a guère de sens : rien ne garantit que la croissance reste linéaire aussi longtemps (locaux limités, saturation…). L'extrapolation lointaine n'est pas fiable.
Un commerçant relève la température moyenne \(x\) (°C) et le nombre \(y\) de glaces vendues : \((16\,;40)\), \((18\,;55)\), \((20\,;62)\), \((22\,;78)\), \((24\,;90)\), \((26\,;95)\).
1. Calculer les coordonnées du point moyen \(G\).
2. Au tableur, on saisit \(x\) en colonne A et \(y\) en colonne B, puis =PENTE(B1:B6;A1:A6) et =ORDONNEE.ORIGINE(B1:B6;A1:A6). On obtient \(a\approx 5{,}6\) et \(b\approx -51\). Écrire l'équation de la droite d'ajustement.
3. Vérifier que cette droite passe (aux arrondis près) par \(G\).
4. Estimer les ventes pour \(x=21\) °C.
1. \(\bar{x}=\dfrac{16+18+20+22+24+26}{6}=\dfrac{126}{6}=21\) et \(\bar{y}=\dfrac{40+55+62+78+90+95}{6}=\dfrac{420}{6}=70\). Donc \(G(21\,;70)\).
2. \(y\approx 5{,}6\,x-51\).
3. Pour \(x=21\) : \(5{,}6\times 21-51=117{,}6-51=66{,}6\approx 70\) (écart dû aux arrondis de \(a\) et \(b\)) : la droite passe bien près de \(G\).
4. \(y\approx 5{,}6\times 21-51\approx 67\) glaces (interpolation, \(21\) est dans \([16\,;26]\)).
On reprend l'exemple fil rouge du cours : température \(x\) (°C) et consommation de gaz \(y\) (m³) sur huit jours. La droite des moindres carrés est \(y\approx -5{,}59\,x+128{,}7\) et le point moyen \(G(7{,}75\,;85{,}375)\). La plage observée est \([2\,;14]\).
1. Prévoir la consommation pour une journée à \(11\) °C. Interpolation ou extrapolation ?
2. Prévoir la consommation pour une journée à \(20\) °C. Interpolation ou extrapolation ?
3. Pour quelle température le modèle donnerait-il une consommation nulle ? Cette valeur est-elle exploitable ?
4. Rédiger une phrase de conclusion sur la fiabilité de ces prévisions.
1. \(11\) est dans \([2\,;14]\) : interpolation. \(y\approx -5{,}59\times 11+128{,}7\approx 67{,}2\) m³, fiable.
2. \(20\gt 14\) : extrapolation. \(y\approx -5{,}59\times 20+128{,}7\approx 16{,}9\) m³, à prendre avec prudence.
3. \(y=0\) donne \(x=\dfrac{128{,}7}{5{,}59}\approx 23\) °C. Or à \(23\) °C on n'allume plus le chauffage : le modèle affine n'est plus valable, la valeur n'est pas exploitable.
4. L'ajustement décrit bien la consommation entre \(2\) et \(14\) °C (zone des données) : les interpolations y sont fiables. En dehors, surtout loin, les extrapolations deviennent fragiles et peuvent conduire à des résultats absurdes.