Chapitre 11 – Variables aléatoires réelles

Le programme ne considère que des univers finis et des variables aléatoires réelles. On introduit la notion de variable aléatoire comme fonction numérique définie sur l'univers, puis sa loi de probabilité et les indicateurs espérance, variance et écart type.

I. Notion de variable aléatoire

II. Loi de probabilité

III. Espérance

IV. Linéarité de l'espérance

V. Variance et écart type

VI. Espérance d'un jeu (équité)

VII. Lien statistique / probabiliste

Une population statistique peut être vue d'un point de vue probabiliste en considérant le tirage au sort avec équiprobabilité d'un individu. On établit alors une correspondance :

Algorithmique et Python

On calcule espérance, variance et écart type à partir des valeurs et de leurs probabilités :

def esperance(valeurs, probas):
    return sum(x * p for x, p in zip(valeurs, probas))

def variance(valeurs, probas):
    m = esperance(valeurs, probas)
    e_x2 = sum(x**2 * p for x, p in zip(valeurs, probas))
    return e_x2 - m**2          # formule de König-Huygens

def ecart_type(valeurs, probas):
    return variance(valeurs, probas) ** 0.5

valeurs = [0, 1, 5]
probas  = [2/6, 3/6, 1/6]
print(esperance(valeurs, probas))            # 1.333...
print(round(ecart_type(valeurs, probas), 3)) # 1.7

La ligne e_x2 - m**2 traduit directement la formule de König-Huygens \(V(X) = E(X^2) - E(X)^2\).

Expérimentations — simuler pour estimer l'espérance

Le travail de simulation d'échantillons prolonge celui de Seconde. L'objectif est de percevoir le principe de l'estimation de l'espérance d'une variable aléatoire par une moyenne observée sur un échantillon : on simule un grand nombre de fois l'expérience et on compare la moyenne obtenue à \(E(X)\). On reprend l'urne du paragraphe II : \(X\) vaut \(0\), \(1\) ou \(5\) avec les probabilités \(\tfrac26\), \(\tfrac36\), \(\tfrac16\) ; on a calculé \(\mu = E(X) = \tfrac43 \approx 1{,}33\) et \(\sigma(X) \approx 1{,}70\).

1. Simuler la variable aléatoire

from random import randint

def simule_X():
    boule = randint(1, 6)   # on tire une boule parmi les 6
    if boule <= 2:          # 2 boules marquées 0
        return 0
    elif boule <= 5:        # 3 boules marquées 1
        return 1
    else:                   # 1 boule marquée 5
        return 5

Chaque appel de simule_X() renvoie une valeur de \(X\) avec les bonnes probabilités : c'est une réalisation de la variable aléatoire.

2. Moyenne d'un échantillon de taille \(n\)

def moyenne_echantillon(n):
    echantillon = [simule_X() for k in range(n)]
    return sum(echantillon) / n

print(moyenne_echantillon(100))   # par exemple 1.28

La fonction fabrique une liste de \(n\) réalisations de \(X\) (un échantillon de taille \(n\)) et renvoie sa moyenne \(m\).

3. Écart entre la moyenne \(m\) et l'espérance \(\mu\)

En exécutant moyenne_echantillon(n) pour des tailles croissantes, on observe que la moyenne de l'échantillon se rapproche de \(\mu = \tfrac43 \approx 1{,}333\) :

Plus \(n\) est grand, plus l'écart \(|m - \mu|\) est petit en général : la moyenne d'un grand échantillon estime l'espérance. (Les valeurs ci-dessus varient d'une simulation à l'autre : c'est le principe même de l'aléatoire.)

4. Proportion des écarts inférieurs à \(\dfrac{2\sigma}{\sqrt{n}}\)

On simule \(N\) échantillons de taille \(n\) et on compte la proportion des cas où l'écart entre la moyenne \(m\) de l'échantillon et \(\mu\) est inférieur ou égal à \(\dfrac{2\sigma}{\sqrt{n}}\) :

mu = 4/3                       # espérance de X
sigma = (26/9) ** 0.5          # écart type de X

def proportion(N, n):
    compteur = 0
    for i in range(N):
        m = moyenne_echantillon(n)
        if abs(m - mu) <= 2 * sigma / n ** 0.5:
            compteur = compteur + 1
    return compteur / N

print(proportion(1000, 100))   # par exemple 0.957

On observe que cette proportion est proche de \(0{,}95\) (environ \(95\ \%\) des échantillons), quelle que soit la taille \(n\) choisie : l'intervalle \(\left[\mu - \dfrac{2\sigma}{\sqrt n} \,;\, \mu + \dfrac{2\sigma}{\sqrt n}\right]\) contient la moyenne de l'échantillon dans la grande majorité des cas. Ce constat expérimental prépare les notions d'estimation étudiées en Terminale.

from random import randint

def simule_Y():
    return randint(1, 6)

def moyenne_Y(n):
    echantillon = [simule_Y() for k in range(n)]
    return sum(echantillon) / n

Erreurs fréquentes / points de vigilance

L'essentiel à retenir