Exercices – Chapitre 11

Variables aléatoires réelles | Première générale (spécialité) | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

Rappels utiles :

Loi de \(X\) : tableau des \(P(X=x_i)\), avec \(\sum_i p_i = 1\).
Espérance : \(E(X) = \sum_i x_i p_i\) ; \(E(X^2) = \sum_i x_i^2 p_i\).
Variance : \(V(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2\) ; écart type : \(\sigma(X) = \sqrt{V(X)}\).
Linéarité : \(E(aX+b) = aE(X)+b\) ; \(V(aX+b) = a^2 V(X)\) ; \(\sigma(aX+b) = |a|\,\sigma(X)\).
Jeu équitable : \(E(\text{gain}) = 0\) ; favorable si \(\gt 0\), défavorable si \(\lt 0\).

Exercice 1 — Vérifier une loi et lire une probabilité

Une variable \(X\) prend les valeurs \(-2\), \(0\), \(3\) et \(5\) avec la loi :

\(x_i\)	\(-2\)	\(0\)	\(3\)	\(5\)
\(P(X=x_i)\)	\(0{,}1\)	\(0{,}4\)	\(0{,}3\)	\(0{,}2\)

1. Vérifier qu'il s'agit bien d'une loi de probabilité.

2. Calculer \(P(X \le 0)\) et \(P(X \gt 0)\).

1. \(0{,}1 + 0{,}4 + 0{,}3 + 0{,}2 = 1\). ✓ C'est bien une loi de probabilité.

2. \(P(X \le 0) = P(X=-2) + P(X=0) = 0{,}1 + 0{,}4 = 0{,}5\) ; \(P(X \gt 0) = 0{,}3 + 0{,}2 = 0{,}5\) (ou \(1 - 0{,}5\)).

Exercice 2 — Déterminer une probabilité manquante

La loi de \(X\) est donnée par \(P(X=1) = 0{,}25\), \(P(X=2) = p\), \(P(X=4) = 0{,}15\), \(P(X=5) = 0{,}3\).

1. Déterminer \(p\).

2. Calculer \(E(X)\).

1. \(0{,}25 + p + 0{,}15 + 0{,}3 = 1\), donc \(p = 1 - 0{,}7 = 0{,}3\).

2. \(E(X) = 1\times 0{,}25 + 2\times 0{,}3 + 4\times 0{,}15 + 5\times 0{,}3 = 0{,}25 + 0{,}6 + 0{,}6 + 1{,}5 = 2{,}95\).

Exercice 3 — Loi d'un tirage dans une urne

Une urne contient \(4\) boules « \(1\) », \(3\) boules « \(2\) » et \(1\) boule « \(6\) ». On tire une boule au hasard et on note \(X\) le nombre inscrit.

1. Déterminer la loi de probabilité de \(X\).

2. Calculer \(E(X)\).

1. Il y a \(8\) boules. \(P(X=1)=\tfrac48\), \(P(X=2)=\tfrac38\), \(P(X=6)=\tfrac18\). Somme : \(\tfrac48+\tfrac38+\tfrac18 = 1\). ✓

2. \(E(X) = 1\cdot\tfrac48 + 2\cdot\tfrac38 + 6\cdot\tfrac18 = \dfrac{4 + 6 + 6}{8} = \dfrac{16}{8} = 2\).

Exercice 4 — Espérance, variance, écart type

\(X\) a pour loi : \(P(X = -1) = 0{,}2\), \(P(X = 0) = 0{,}5\), \(P(X = 3) = 0{,}3\).

1. Vérifier la loi, puis calculer \(E(X)\).

2. Calculer \(E(X^2)\), puis \(V(X)\) et \(\sigma(X)\).

1. \(0{,}2 + 0{,}5 + 0{,}3 = 1\). ✓ \(E(X) = -1\times 0{,}2 + 0\times 0{,}5 + 3\times 0{,}3 = -0{,}2 + 0{,}9 = 0{,}7\).

2. \(E(X^2) = 1\times 0{,}2 + 0 + 9\times 0{,}3 = 0{,}2 + 2{,}7 = 2{,}9\). \(V(X) = 2{,}9 - 0{,}7^2 = 2{,}9 - 0{,}49 = 2{,}41\). \(\sigma(X) = \sqrt{2{,}41} \approx 1{,}55\).

Exercice 5 — Transformation affine

On sait que \(E(X) = 0{,}7\) et \(V(X) = 2{,}41\) (variable de l'exercice 4).

1. Calculer \(E(3X + 2)\) et \(V(3X + 2)\).

2. Calculer \(\sigma(3X + 2)\) et \(E(-2X + 5)\).

1. \(E(3X + 2) = 3\times 0{,}7 + 2 = 4{,}1\). \(V(3X + 2) = 3^2 \times 2{,}41 = 9 \times 2{,}41 = 21{,}69\).

2. \(\sigma(3X+2) = |3|\times\sqrt{2{,}41} \approx 3\times 1{,}55 \approx 4{,}66\). \(E(-2X+5) = -2\times 0{,}7 + 5 = 3{,}6\).

Exercice 6 — Dé équilibré

On lance un dé équilibré ; \(X\) est le résultat obtenu.

1. Déterminer \(E(X)\).

2. Calculer \(E(X^2)\), puis \(V(X)\) et \(\sigma(X)\).

1. \(E(X) = \tfrac{1}{6}(1+2+3+4+5+6) = \dfrac{21}{6} = 3{,}5\).

2. \(E(X^2) = \tfrac16(1+4+9+16+25+36) = \dfrac{91}{6}\). \(V(X) = \dfrac{91}{6} - 3{,}5^2 = 15{,}1\overline{6} - 12{,}25 = 2{,}91\overline{6} \approx 2{,}92\), et \(\sigma(X) \approx \sqrt{2{,}92} \approx 1{,}71\).

Exercice 7 — Déterminer un paramètre par l'espérance

Une variable \(X\) prend les valeurs \(1\) et \(2\) avec \(P(X=1) = p\) et \(P(X=2) = 1-p\).

1. Exprimer \(E(X)\) en fonction de \(p\).

2. Déterminer \(p\) pour que \(E(X) = 1{,}4\).

1. \(E(X) = 1\cdot p + 2(1-p) = p + 2 - 2p = 2 - p\).

2. On veut \(2 - p = 1{,}4\), donc \(p = 0{,}6\) (et \(P(X=2) = 0{,}4\)).

Exercice 8 — Problème type : jeu de la roue et équité

Une roue de loterie est partagée en \(8\) secteurs identiques : \(1\) secteur « gagne \(10\) € », \(3\) secteurs « gagne \(2\) € » et \(4\) secteurs « rien ». Pour jouer, on paie une mise \(m\) (en euros). On note \(G\) le gain net du joueur (gain affiché diminué de la mise).

1. Pour \(m = 3\) €, dresser la loi de \(G\).

2. Calculer \(E(G)\). Le jeu est-il favorable, équitable ou défavorable au joueur ?

3. Déterminer la mise \(m\) qui rend le jeu équitable.

1. Sur \(8\) secteurs : gain affiché \(10\) € (proba \(\tfrac18\)), \(2\) € (proba \(\tfrac38\)), \(0\) € (proba \(\tfrac48\)). Avec \(m=3\), le gain net \(G\) vaut \(10-3=7\) €, \(2-3=-1\) € ou \(0-3=-3\) € :

\(g_i\)	\(7\)	\(-1\)	\(-3\)
\(P(G=g_i)\)	\(\tfrac18\)	\(\tfrac38\)	\(\tfrac48\)

2. \(E(G) = 7\cdot\tfrac18 - 1\cdot\tfrac38 - 3\cdot\tfrac48 = \dfrac{7 - 3 - 12}{8} = \dfrac{-8}{8} = -1\) € \(\lt 0\) : le jeu est défavorable au joueur (il perd \(1\) € en moyenne par partie).

3. L'espérance du gain affiché est \(E(\text{gain}) = 10\cdot\tfrac18 + 2\cdot\tfrac38 + 0\cdot\tfrac48 = \dfrac{10 + 6}{8} = 2\) €. Le gain net est \(G = \text{gain} - m\), donc \(E(G) = 2 - m\). Le jeu est équitable lorsque \(E(G) = 0\), c'est-à-dire \(m = 2\) €.