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L'essentiel :
- Une variable aléatoire \(X\) est une fonction \(X : \Omega \to \mathbb{R}\) ; sa loi est le tableau des \(P(X=x_i)\), avec \(\sum_i p_i = 1\).
- Espérance \(E(X) = \sum_i x_i p_i\) = valeur moyenne. Linéarité : \(E(aX+b) = aE(X)+b\).
- Variance \(V(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2\) (toujours \(\ge 0\)) ; écart type \(\sigma(X) = \sqrt{V(X)}\).
- Transformation affine : \(V(aX+b) = a^2 V(X)\) ; le décalage \(b\) ne change pas la dispersion.
- Un jeu équitable vérifie \(E(\text{gain}) = 0\).
Définitions clés
Définition
Variable aléatoire : fonction \(X\) qui, à chaque issue \(\omega\) de l'univers \(\Omega\), associe un réel \(X(\omega)\). Notations : \(\{X=a\}\), \(P(X=a)\), \(\{X\le a\}\), \(P(X\le a)\).
Définition
Loi de probabilité : tableau des \(p_i = P(X=x_i)\) pour toutes les valeurs \(x_i\) de \(X\). Toujours \(p_1 + p_2 + \dots + p_n = 1\).
Définition
Espérance : \(E(X) = \sum_i x_i p_i\), la valeur moyenne obtenue sur un grand nombre de répétitions (point d'équilibre de la loi).
Définition
Variance / écart type : \(V(X)\) mesure la dispersion autour de \(\mu = E(X)\) ; \(\sigma(X) = \sqrt{V(X)}\) s'exprime dans la même unité que \(X\).
À connaître par cœur
Espérance
\[E(X) = \sum_{i=1}^n x_i\,p_i = x_1 p_1 + \dots + x_n p_n\]
Variance — König-Huygens
\[V(X) = E\big((X-\mu)^2\big) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2\]
\[\text{avec } E(X^2) = \sum_i x_i^2\,p_i\]
Écart type
\[\sigma(X) = \sqrt{V(X)}\]
Transformation affine \(aX + b\)
\[E(aX+b) = a\,E(X) + b\]
\[V(aX+b) = a^2\,V(X) \qquad \sigma(aX+b) = |a|\,\sigma(X)\]
Points de repère
- La somme des probabilités d'une loi vaut toujours \(1\).
- La variance est toujours positive : un résultat négatif = erreur de calcul.
- \(E(X^2)\) et \(\big(E(X)\big)^2\) sont différents ; leur différence est \(V(X)\).
- Jeu : équitable si \(E(G)=0\), favorable si \(E(G)\gt 0\), défavorable si \(E(G)\lt 0\).
Méthode — Loi, indicateurs, jeu
Méthode — Déterminer une loi et ses indicateurs
- Lister les valeurs possibles \(x_i\) de \(X\).
- Calculer chaque \(P(X=x_i)\) et vérifier que la somme vaut \(1\).
- Calculer \(E(X) = \sum x_i p_i\), puis \(E(X^2) = \sum x_i^2 p_i\).
- En déduire \(V(X) = E(X^2) - E(X)^2\) et \(\sigma(X) = \sqrt{V(X)}\).
Méthode — Étudier l'équité d'un jeu
- Définir le gain net \(G\) = gain affiché \(-\) mise.
- Dresser la loi de \(G\), puis calculer \(E(G)\).
- Conclure : \(E(G)=0\) équitable, \(\gt 0\) favorable, \(\lt 0\) défavorable.
Erreurs fréquentes
Attention
❌ Oublier de vérifier que \(\sum_i p_i = 1\).
✅ Vérification systématique après avoir dressé le tableau de la loi.
❌ Trouver une variance négative.
✅ \(V(X) \ge 0\) toujours : signaler l'erreur (carré oublié, inversion dans König-Huygens).
❌ Confondre \(E(X^2)\) et \(\big(E(X)\big)^2\).
✅ Deux quantités distinctes ; leur différence est \(V(X)\).
❌ Écrire \(V(aX+b) = a\,V(X) + b\).
✅ \(V(aX+b) = a^2 V(X)\) : le \(b\) disparaît, le \(a\) est au carré.
Exemple rapide
Exemple — un énoncé, tous les indicateurs
\(X\) vaut \(0\), \(1\) ou \(5\) avec probabilités \(\tfrac26\), \(\tfrac36\), \(\tfrac16\).
- Somme : \(\tfrac26+\tfrac36+\tfrac16 = 1\). ✓
- \(E(X) = 0\cdot\tfrac26 + 1\cdot\tfrac36 + 5\cdot\tfrac16 = \tfrac86 = \tfrac43 \approx 1{,}33\).
- \(E(X^2) = 1\cdot\tfrac36 + 25\cdot\tfrac16 = \tfrac{28}{6} = \tfrac{14}{3}\).
- \(V(X) = \tfrac{14}{3} - \left(\tfrac43\right)^2 = \tfrac{26}{9} \approx 2{,}89\) ; \(\sigma(X) \approx 1{,}70\).