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Chapitre 9 – Géométrie repérée

Chapitre 9 | Première générale (spécialité) | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026, 09:47

Objectifs du chapitre

Dans tout ce chapitre, le plan est rapporté à un repère orthonormé. On enrichit la géométrie repérée pour traiter les problèmes faisant intervenir l'orthogonalité : vecteur normal à une droite, équation cartésienne, projeté orthogonal et équation de cercle. Le produit scalaire (chapitre précédent) en est l'outil central.

I. Vecteur normal et équation d'une droite

1. Vecteur normal à une droite

Définition — Vecteur normal

Un vecteur \(\vec n\) non nul est un vecteur normal à une droite \(d\) s'il est orthogonal à un vecteur directeur de \(d\) (donc à la direction de \(d\)).

Propriété — Normal et équation cartésienne

Le vecteur \(\vec n\,(a\,;b)\) (non nul) est normal à la droite d'équation cartésienne

\[ax + by + c = 0.\]

Les coefficients \(a\) et \(b\) de l'équation donnent donc directement un vecteur normal.

Justification

Deux points \(M(x\,;y)\) et \(M'(x'\,;y')\) de la droite vérifient \(ax + by + c = 0\) et \(ax' + by' + c = 0\). En soustrayant : \(a(x - x') + b(y - y') = 0\), c'est-à-dire \(\vec n \cdot \overrightarrow{M'M} = 0\). Le vecteur \(\vec n(a\,;b)\) est donc orthogonal à tout vecteur directeur \(\overrightarrow{M'M}\) de la droite. \(\qquad\blacksquare\)

Attention — Normal ou directeur ?

\(\vec n(a\,;b)\) est normal à \(ax + by + c = 0\) ; un vecteur directeur de cette même droite est \(\vec u(-b\,;a)\) (orthogonal à \(\vec n\)).

Exercice d'application 1. Donner un vecteur normal et un vecteur directeur de la droite \(3x - 2y + 5 = 0\).

Vecteur normal \(\vec n(3\,;-2)\) (les coefficients de \(x\) et \(y\)) ; vecteur directeur \(\vec u(2\,;3) = (-b\,;a)\).

2. Équation cartésienne à partir d'un point et d'un vecteur normal

Propriété — Droite par un point et un vecteur normal

La droite \(d\) passant par \(A(x_A\,;y_A)\) et de vecteur normal \(\vec n\,(a\,;b)\) est l'ensemble des points \(M(x\,;y)\) tels que \(\overrightarrow{AM} \cdot \vec n = 0\), ce qui donne :

\[a(x - x_A) + b(y - y_A) = 0.\]

En développant, on obtient une équation de la forme \(ax + by + c = 0\).

Exemple

Droite passant par \(A(1\,;2)\) de vecteur normal \(\vec n(3\,;-1)\) : \(3(x - 1) - 1(y - 2) = 0\), soit \(3x - y - 1 = 0\).

Méthode — Équation cartésienne (point + normal)
  1. Lire les coordonnées de \(\vec n(a\,;b)\) et du point \(A(x_A\,;y_A)\).
  2. Écrire \(a(x - x_A) + b(y - y_A) = 0\).
  3. Développer et réduire pour obtenir \(ax + by + c = 0\).

Exemple résolu. Droite passant par \(A(-1\,;3)\), normale à \(\vec n(2\,;5)\) : \(2(x + 1) + 5(y - 3) = 0 \Rightarrow 2x + 5y - 13 = 0\).

Exercice d'application 2. Déterminer une équation cartésienne de la droite passant par \(A(2\,;-1)\) et de vecteur normal \(\vec n(1\,;4)\).

\(1(x - 2) + 4(y + 1) = 0 \Rightarrow x + 4y + 2 = 0\).

II. Projeté orthogonal d'un point sur une droite

Définition — Projeté orthogonal

Le projeté orthogonal d'un point \(M\) sur une droite \(d\) est le point \(H\) de \(d\) tel que \((MH)\) soit perpendiculaire à \(d\). C'est aussi le point de \(d\) le plus proche de \(M\) ; la distance \(MH\) est la distance de \(M\) à \(d\).

Méthode — Calculer un projeté orthogonal
  1. Déterminer un vecteur normal \(\vec n\) de \(d\).
  2. Écrire que \(H\) appartient à la droite passant par \(M\) et dirigée par \(\vec n\) : \(H = M + t\vec n\).
  3. Écrire que \(H \in d\) (ses coordonnées vérifient l'équation de \(d\)) et résoudre en \(t\).
Exemple

Projeté de \(M(4\,;1)\) sur \(d : x + y - 2 = 0\). Vecteur normal \(\vec n(1\,;1)\). On pose \(H(4 + t\,;1 + t)\). On impose \(H \in d\) : \((4 + t) + (1 + t) - 2 = 0 \Rightarrow 3 + 2t = 0 \Rightarrow t = -\tfrac32\). Donc \(H\left(4 - \tfrac32\,;1 - \tfrac32\right) = \left(\tfrac52\,;-\tfrac12\right)\).

Exercice d'application 3. Déterminer le projeté orthogonal de \(M(1\,;5)\) sur la droite \(d : 2x - y + 1 = 0\).

\(\vec n(2\,;-1)\). \(H(1 + 2t\,;5 - t)\). \(H \in d\) : \(2(1+2t) - (5 - t) + 1 = 0 \Rightarrow 2 + 4t - 5 + t + 1 = 0 \Rightarrow 5t - 2 = 0 \Rightarrow t = \tfrac25\). Donc \(H\left(1 + \tfrac45\,;5 - \tfrac25\right) = \left(\tfrac95\,;\tfrac{23}{5}\right)\).

III. Équation d'un cercle

1. Cercle de centre et de rayon donnés

Propriété — Équation d'un cercle

Le cercle de centre \(\Omega(x_0\,;y_0)\) et de rayon \(r\) (avec \(r \gt 0\)) a pour équation

\[(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2.\]
Démonstration

Un point \(M(x\,;y)\) appartient à ce cercle si et seulement si \(\Omega M = r\), c'est-à-dire \(\Omega M^2 = r^2\). Or, en repère orthonormé, \(\Omega M^2 = (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2\). D'où l'équation. \(\qquad\blacksquare\)

Exemple

Cercle de centre \(\Omega(3\,;-1)\) et de rayon \(2\) : \((x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 4\).

Exercice d'application 4. Écrire l'équation du cercle de centre \(\Omega(-2\,;5)\) et de rayon \(3\).

\((x + 2)^2 + (y - 5)^2 = 9\).

2. Reconnaître une équation de cercle

Propriété — Forme développée

En développant, l'équation d'un cercle prend la forme

\[x^2 + y^2 + \alpha x + \beta y + \gamma = 0.\]

Pour retrouver le centre et le rayon, on complète les carrés en \(x\) et en \(y\).

Méthode — Reconnaître un cercle (complétion des carrés)
  1. Regrouper les termes en \(x\) et en \(y\).
  2. Compléter chaque carré : \(x^2 + \alpha x = \left(x + \tfrac{\alpha}{2}\right)^2 - \tfrac{\alpha^2}{4}\).
  3. Identifier centre et rayon (vérifier que le second membre est positif).
Exemple

\(x^2 + y^2 - 6x + 4y + 9 = 0\). On complète :

\[x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9, \qquad y^2 + 4y = (y + 2)^2 - 4.\]

L'équation devient \((x-3)^2 - 9 + (y+2)^2 - 4 + 9 = 0\), soit \((x-3)^2 + (y+2)^2 = 4\). C'est le cercle de centre \(\Omega(3\,;-2)\) et de rayon \(2\).

Attention — Nature de l'ensemble

Après complétion, si le second membre est négatif, l'ensemble est vide ; s'il est nul, l'ensemble est réduit à un point unique (le centre).

Exercice d'application 5. Reconnaître l'ensemble d'équation \(x^2 + y^2 - 4x - 6y + 12 = 0\).

\(x^2 - 4x = (x-2)^2 - 4\) ; \(y^2 - 6y = (y-3)^2 - 9\). D'où \((x-2)^2 - 4 + (y-3)^2 - 9 + 12 = 0\), soit \((x-2)^2 + (y-3)^2 = 1\) : cercle de centre \((2\,;3)\), rayon \(1\).

3. Cercle de diamètre \([AB]\)

Propriété — Cercle de diamètre \([AB]\)

En reprenant la caractérisation du chapitre Produit scalaire, le cercle de diamètre \([AB]\) est l'ensemble des points \(M\) tels que \(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0\). En coordonnées, avec \(A(x_A\,;y_A)\) et \(B(x_B\,;y_B)\) :

\[(x - x_A)(x - x_B) + (y - y_A)(y - y_B) = 0.\]
Exercice d'application 6. Déterminer l'équation du cercle de diamètre \([AB]\) avec \(A(1\,;2)\) et \(B(5\,;4)\).

Centre = milieu \(\Omega(3\,;3)\) ; rayon = \(\dfrac{AB}{2}\) avec \(AB = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}\), donc \(r^2 = \dfrac{20}{4} = 5\). Équation : \((x - 3)^2 + (y - 3)^2 = 5\). (Ou directement : \((x-1)(x-5) + (y-2)(y-4) = 0\).)

IV. Tangente à un cercle

Propriété — Tangente à un cercle

La tangente à un cercle de centre \(\Omega\) en un point \(A\) du cercle est la droite passant par \(A\) et de vecteur normal \(\overrightarrow{\Omega A}\) : le rayon est perpendiculaire à la tangente au point de contact.

Méthode — Tangente à un cercle en un point
  1. Calculer \(\overrightarrow{\Omega A}\) : c'est un vecteur normal de la tangente.
  2. Écrire l'équation de la droite passant par \(A\) et normale à \(\overrightarrow{\Omega A}\).

Exemple résolu. Cercle de centre \(\Omega(0\,;0)\), point \(A(3\,;4)\) (sur le cercle de rayon \(5\)). Vecteur normal \(\overrightarrow{\Omega A}(3\,;4)\). Tangente : \(3(x - 3) + 4(y - 4) = 0 \Rightarrow 3x + 4y - 25 = 0\).

V. Utiliser un repère pour étudier une configuration

Face à un problème de géométrie « sans coordonnées », on peut choisir soi-même un repère adapté à la figure : les calculs (produit scalaire, distances, milieux) remplacent alors les raisonnements de géométrie pure.

Méthode — Choisir un repère adapté
  1. Choisir le repère : origine en un point remarquable de la figure (sommet, centre), axes portés par des directions perpendiculaires de la figure ; s'assurer qu'il est orthonormé si on veut utiliser distances et produit scalaire.
  2. Attribuer des coordonnées simples à tous les points de la figure.
  3. Traduire la propriété à démontrer en calcul : orthogonalité (\(\vec u \cdot \vec v = 0\)), parallélogramme (\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\) ou diagonales de même milieu), longueurs égales…
  4. Effectuer le calcul et conclure par une phrase géométrique.
Exemple traité — Démontrer une perpendicularité dans un carré

Énoncé. Soit \(ABCD\) un carré, \(I\) le milieu de \([AB]\) et \(J\) le milieu de \([BC]\). Démontrer que les droites \((DI)\) et \((AJ)\) sont perpendiculaires.

Choix du repère. On prend le repère orthonormé \(\left(A\,;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right)\) (il est orthonormé car \(ABCD\) est un carré : côtés perpendiculaires et de même longueur). Alors :

\[A(0\,;0),\quad B(1\,;0),\quad C(1\,;1),\quad D(0\,;1),\quad I\left(\tfrac12\,;0\right),\quad J\left(1\,;\tfrac12\right).\]

Calcul. \(\overrightarrow{DI}\left(\tfrac12\,;-1\right)\) et \(\overrightarrow{AJ}\left(1\,;\tfrac12\right)\), donc :

\[\overrightarrow{DI}\cdot\overrightarrow{AJ} = \tfrac12\times 1 + (-1)\times\tfrac12 = \tfrac12 - \tfrac12 = 0.\]

Conclusion. Les vecteurs sont orthogonaux : les droites \((DI)\) et \((AJ)\) sont perpendiculaires. \(\qquad\blacksquare\)

Exercice d'application 7. \(ABCD\) est un rectangle avec \(AB = 2\) et \(AD = 1\), et \(M\) est le milieu de \([DC]\). En choisissant un repère orthonormé adapté, démontrer que le triangle \(ABM\) est rectangle en \(M\).

On choisit le repère orthonormé d'origine \(A\), d'axes portés par \((AB)\) et \((AD)\), avec pour unité la longueur \(AD = 1\). Alors \(A(0\,;0)\), \(B(2\,;0)\), \(C(2\,;1)\), \(D(0\,;1)\) et \(M(1\,;1)\) (milieu de \([DC]\)).

\(\overrightarrow{MA}(-1\,;-1)\) et \(\overrightarrow{MB}(1\,;-1)\), donc \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = -1 + 1 = 0\) : le triangle \(ABM\) est rectangle en \(M\).

Algorithmique et Python

On peut vérifier si un point appartient à un cercle et déterminer centre / rayon à partir de la forme développée :

def sur_cercle(x, y, x0, y0, r):
    """True si (x,y) est sur le cercle de centre (x0,y0), rayon r."""
    return abs((x - x0)**2 + (y - y0)**2 - r**2) < 1e-9

def centre_rayon(alpha, beta, gamma):
    """Centre et rayon du cercle x^2+y^2+alpha*x+beta*y+gamma=0."""
    x0 = -alpha / 2
    y0 = -beta / 2
    r2 = x0**2 + y0**2 - gamma
    if r2 < 0:
        return None            # ensemble vide
    return (x0, y0), r2 ** 0.5

print(centre_rayon(-6, 4, 9))   # ((3.0, -2.0), 2.0)

La fonction centre_rayon applique la complétion des carrés : \(x_0 = -\tfrac{\alpha}{2}\), \(y_0 = -\tfrac{\beta}{2}\), \(r^2 = x_0^2 + y_0^2 - \gamma\).

Erreurs fréquentes / points de vigilance

Les pièges du chapitre

❌ Confondre vecteur normal et vecteur directeur.

✅ \(\vec n(a\,;b)\) est normal à \(ax + by + c = 0\) ; un vecteur directeur est \((-b\,;a)\).

❌ Se tromper de signe dans l'équation du cercle.

✅ \((x - x_0)^2\) donne le centre d'abscisse \(+x_0\) : \((x-3)^2\) → centre en \(x_0 = 3\).

❌ Oublier de reporter les termes soustraits lors de la complétion.

✅ \(x^2 - 6x = (x-3)^2 - 9\) : le \(-9\) doit être conservé.

❌ Croire qu'un second membre négatif donne encore un cercle.

✅ Second membre \(\lt 0\) → ensemble vide ; \(= 0\) → un point.

❌ Appliquer les formules dans un repère non orthonormé.

✅ Distance et produit scalaire en coordonnées ne valent qu'en repère orthonormé.

L'essentiel à retenir

À retenir :
Exercices → Fiche de révision → QCM →