Géométrie repérée | Première générale (spécialité) | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
1. Donner un vecteur normal et un vecteur directeur de la droite \(d : 5x + 3y - 7 = 0\).
2. Même question pour \(d' : y = 2x - 1\) (mettre d'abord sous forme \(ax+by+c=0\)).
1. Normal \(\vec n(5\,;3)\) ; directeur \(\vec u(-3\,;5)\).
2. \(y = 2x - 1 \iff 2x - y - 1 = 0\). Normal \(\vec n(2\,;-1)\) ; directeur \(\vec u(1\,;2)\).
Déterminer une équation cartésienne de la droite \(d\) dans chaque cas.
1. \(d\) passe par \(A(3\,;1)\) et de vecteur normal \(\vec n(2\,;-3)\).
2. \(d\) passe par \(B(-2\,;4)\) et de vecteur normal \(\vec n(1\,;5)\).
1. \(2(x - 3) - 3(y - 1) = 0 \Rightarrow 2x - 3y - 3 = 0\).
2. \(1(x + 2) + 5(y - 4) = 0 \Rightarrow x + 5y - 18 = 0\).
Soit \(d : 4x - y + 2 = 0\) et le point \(A(1\,;3)\).
1. Donner un vecteur directeur \(\vec u\) de \(d\).
2. On veut la droite \(\Delta\) passant par \(A\) et perpendiculaire à \(d\). Quel vecteur normal choisir pour \(\Delta\) ? Déterminer une équation de \(\Delta\).
1. Vecteur directeur de \(d\) : \(\vec u(1\,;4)\).
2. \(\Delta \perp d\) : la direction de \(d\) devient un vecteur normal de \(\Delta\). On prend \(\vec n(1\,;4)\). Équation : \(1(x - 1) + 4(y - 3) = 0 \Rightarrow x + 4y - 13 = 0\).
On considère \(M(3\,;2)\) et la droite \(d : x - y + 4 = 0\).
1. Donner un vecteur normal \(\vec n\) de \(d\).
2. Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal \(H\) de \(M\) sur \(d\).
3. En déduire la distance de \(M\) à \(d\).
1. \(\vec n(1\,;-1)\).
2. \(H(3 + t\,;2 - t)\). \(H \in d\) : \((3 + t) - (2 - t) + 4 = 0 \Rightarrow 2t + 5 = 0 \Rightarrow t = -\tfrac52\). Donc \(H\left(\tfrac12\,;\tfrac92\right)\).
3. \(MH = \sqrt{\left(3 - \tfrac12\right)^2 + \left(2 - \tfrac92\right)^2} = \sqrt{\left(\tfrac52\right)^2 + \left(-\tfrac52\right)^2} = \sqrt{\tfrac{50}{4}} = \tfrac{5\sqrt2}{2}\).
1. Écrire l'équation du cercle de centre \(\Omega(4\,;-2)\) et de rayon \(5\).
2. Le point \(A(1\,;2)\) appartient-il à ce cercle ? Justifier par le calcul.
3. Écrire l'équation du cercle de centre \(\Omega(0\,;3)\) passant par le point \(B(4\,;0)\).
1. \((x - 4)^2 + (y + 2)^2 = 25\).
2. \((1 - 4)^2 + (2 + 2)^2 = 9 + 16 = 25\). Comme \(25 = r^2\), le point \(A\) appartient au cercle.
3. Rayon : \(\Omega B = \sqrt{(4-0)^2 + (0-3)^2} = \sqrt{25} = 5\). Équation : \(x^2 + (y - 3)^2 = 25\).
Pour chaque équation, déterminer la nature de l'ensemble ; s'il s'agit d'un cercle, préciser centre et rayon.
1. \(x^2 + y^2 - 2x + 8y + 8 = 0\).
2. \(x^2 + y^2 + 6x - 4y + 20 = 0\).
1. \(x^2 - 2x = (x-1)^2 - 1\) ; \(y^2 + 8y = (y+4)^2 - 16\). D'où \((x-1)^2 + (y+4)^2 = 1 + 16 - 8 = 9\) : cercle de centre \((1\,;-4)\), rayon \(3\).
2. \(x^2 + 6x = (x+3)^2 - 9\) ; \(y^2 - 4y = (y-2)^2 - 4\). D'où \((x+3)^2 + (y-2)^2 = 9 + 4 - 20 = -7 \lt 0\) : l'ensemble est vide.
Soit \(A(-1\,;2)\) et \(B(3\,;6)\).
1. Déterminer les coordonnées du centre \(\Omega\) et le rayon du cercle de diamètre \([AB]\).
2. En déduire son équation.
3. Retrouver l'équation directement à partir de \(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0\).
1. \(\Omega\) = milieu de \([AB]\) : \(\Omega\left(\tfrac{-1+3}{2}\,;\tfrac{2+6}{2}\right) = (1\,;4)\). \(AB = \sqrt{(3+1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{32}\), donc \(r = \tfrac{AB}{2}\) et \(r^2 = \tfrac{32}{4} = 8\).
2. \((x - 1)^2 + (y - 4)^2 = 8\).
3. \((x + 1)(x - 3) + (y - 2)(y - 6) = 0\). En développant : \(x^2 - 2x - 3 + y^2 - 8y + 12 = 0\), soit \((x-1)^2 - 1 + (y-4)^2 - 16 + 9 = 0\), c'est-à-dire \((x-1)^2 + (y-4)^2 = 8\). ✓
Le plan est rapporté à un repère orthonormé. On donne le cercle \(\mathscr{C}\) d'équation \(x^2 + y^2 - 2x - 4y - 20 = 0\).
1. Déterminer le centre \(\Omega\) et le rayon \(r\) de \(\mathscr{C}\).
2. Vérifier que le point \(A(5\,;5)\) appartient à \(\mathscr{C}\).
3. Déterminer une équation cartésienne de la tangente \(T\) à \(\mathscr{C}\) au point \(A\).
4. Déterminer le point \(B\) diamétralement opposé à \(A\), puis montrer que la tangente en \(B\) est parallèle à \(T\).
1. \(x^2 - 2x = (x-1)^2 - 1\) ; \(y^2 - 4y = (y-2)^2 - 4\). D'où \((x-1)^2 + (y-2)^2 = 1 + 4 + 20 = 25\). Centre \(\Omega(1\,;2)\), rayon \(r = 5\).
2. \(\Omega A^2 = (5-1)^2 + (5-2)^2 = 16 + 9 = 25 = r^2\). Donc \(A(5\,;5) \in \mathscr{C}\).
3. Vecteur normal de la tangente en \(A\) : \(\overrightarrow{\Omega A}(4\,;3)\). Tangente \(T\) : \(4(x - 5) + 3(y - 5) = 0 \Rightarrow 4x + 3y - 35 = 0\).
4. \(B\) est le symétrique de \(A\) par rapport à \(\Omega\) : \(B(2\cdot 1 - 5\,;2\cdot 2 - 5) = (-3\,;-1)\). Vérification : \(\Omega B^2 = (-4)^2 + (-3)^2 = 25\) ✓. Tangente en \(B\) : vecteur normal \(\overrightarrow{\Omega B}(-4\,;-3)\), soit \(-4(x+3) - 3(y+1) = 0 \Rightarrow 4x + 3y + 15 = 0\). Elle a le même vecteur normal \((4\,;3)\) que \(T\) : les deux tangentes aux extrémités d'un diamètre sont bien parallèles.