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L'essentiel :
- Tout se fait en repère orthonormé ; l'outil central est le produit scalaire.
- \(\vec n(a\,;b)\) est normal à \(ax+by+c=0\) ; un vecteur directeur est \((-b\,;a)\).
- Droite par \(A\) normale à \(\vec n(a\,;b)\) : \(a(x-x_A)+b(y-y_A)=0\).
- Cercle de centre \(\Omega(x_0\,;y_0)\), rayon \(r\) : \((x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2\).
- La tangente à un cercle est perpendiculaire au rayon au point de contact.
Définitions clés
Définition
Vecteur normal : vecteur non nul \(\vec n\) orthogonal à la direction d'une droite \(d\). Pour \(ax+by+c=0\), on a \(\vec n(a\,;b)\).
Définition
Projeté orthogonal : le point \(H\) de \(d\) tel que \((MH)\perp d\). C'est le point de \(d\) le plus proche de \(M\) ; \(MH\) est la distance de \(M\) à \(d\).
Définition
Cercle : ensemble des points \(M\) situés à une distance \(r\) (le rayon) d'un point \(\Omega\) (le centre). \(M\) est sur le cercle \(\iff \Omega M = r\).
Définition
Tangente : droite touchant le cercle en un seul point \(A\) ; elle est perpendiculaire au rayon \([\Omega A]\), donc de vecteur normal \(\overrightarrow{\Omega A}\).
À connaître par cœur
Droite (point + vecteur normal)
\[a(x - x_A) + b(y - y_A) = 0 \;\Longrightarrow\; ax + by + c = 0\]
Normal et directeur
\[\vec n(a\,;b) \text{ normal} \qquad \vec u(-b\,;a) \text{ directeur}\]
Équation d'un cercle
\[(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2\]
Cercle de diamètre \([AB]\)
\[(x - x_A)(x - x_B) + (y - y_A)(y - y_B) = 0\]
Reconnaître un cercle
- Forme développée : \(x^2 + y^2 + \alpha x + \beta y + \gamma = 0\).
- On complète les carrés en \(x\) et en \(y\).
- Second membre \(\gt 0\) → cercle ; \(= 0\) → un point ; \(\lt 0\) → ensemble vide.
Positions et perpendicularité
- Deux droites sont parallèles ssi leurs vecteurs normaux sont colinéaires.
- Deux droites sont perpendiculaires ssi leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.
- Perpendiculaire à \(d\) par \(A\) : prendre comme vecteur normal un vecteur directeur de \(d\).
Méthode — Projeté orthogonal et tangente
Méthode — Projeté orthogonal de \(M\) sur \(d\)
- Déterminer un vecteur normal \(\vec n\) de \(d\).
- Poser \(H = M + t\vec n\), soit \(H(x_M + ta\,;y_M + tb)\).
- Imposer \(H \in d\) et résoudre en \(t\), puis calculer les coordonnées de \(H\).
Méthode — Tangente à un cercle en \(A\)
- Vérifier que \(A\) est sur le cercle (\(\Omega A = r\)).
- Calculer \(\overrightarrow{\Omega A}\) : c'est le vecteur normal de la tangente.
- Écrire l'équation de la droite par \(A\) normale à \(\overrightarrow{\Omega A}\).
Erreurs fréquentes
Attention
❌ Confondre vecteur normal et vecteur directeur.
✅ \(\vec n(a\,;b)\) normal ; \((-b\,;a)\) directeur.
❌ Se tromper de signe pour le centre du cercle.
✅ \((x-3)^2\) → centre en \(x_0 = 3\).
❌ Oublier les termes soustraits en complétant les carrés.
✅ \(x^2 - 6x = (x-3)^2 - 9\).
❌ Conclure « cercle » avec un second membre négatif.
✅ Second membre \(\lt 0\) → ensemble vide.
Exemple rapide
Exemple — reconnaître un cercle et sa tangente
\(x^2 + y^2 - 6x + 4y + 9 = 0\).
- Complétion : \((x-3)^2 - 9 + (y+2)^2 - 4 + 9 = 0\).
- \((x-3)^2 + (y+2)^2 = 4\) : centre \(\Omega(3\,;-2)\), rayon \(2\).
- Point \(A(5\,;-2)\) sur le cercle : \(\overrightarrow{\Omega A}(2\,;0)\), tangente \(2(x-5)=0\), soit \(x = 5\).