Chapitre 7 | Première générale (spécialité) | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026, 09:34
On introduit le cercle trigonométrique, la mesure des angles en radians et l'enroulement de la droite réelle sur le cercle, qui permet de définir le cosinus et le sinus d'un nombre réel. On fait le lien avec la trigonométrie du triangle rectangle vue au collège. Prérequis : \(\cos\), \(\sin\), \(\tan\) du triangle rectangle, périmètre du cercle et proportionnalité, repère du plan.
Le plan étant muni d'un repère orthonormé \((O\,;\vec{\imath},\vec{\jmath})\), le cercle trigonométrique est le cercle de centre \(O\) et de rayon \(1\), orienté dans le sens direct (sens inverse des aiguilles d'une montre, dit sens trigonométrique).
Le radian est l'unité de mesure d'angle telle qu'un angle au centre intercepte, sur le cercle trigonométrique (de rayon \(1\)), un arc de même longueur que la mesure de l'angle. Ainsi, la mesure en radians d'un angle est la longueur de l'arc intercepté sur le cercle de rayon \(1\).
Cercle de rayon \(1\), orienté dans le sens direct. Un angle au centre de mesure \(\theta\) radians intercepte un arc de longueur \(\theta\) (en rouge). Le point \(I(1\,;0)\) est l'origine des arcs.
Le tour complet (\(360°\)) correspond à la circonférence \(2\pi\). La conversion est proportionnelle :
\[\dfrac{\text{mesure en degrés}}{180} = \dfrac{\text{mesure en radians}}{\pi}.\]| Degrés | \(0°\) | \(30°\) | \(45°\) | \(60°\) | \(90°\) | \(180°\) | \(360°\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Radians | \(0\) | \(\dfrac{\pi}{6}\) | \(\dfrac{\pi}{4}\) | \(\dfrac{\pi}{3}\) | \(\dfrac{\pi}{2}\) | \(\pi\) | \(2\pi\) |
Pour passer des degrés aux radians, multiplier par \(\dfrac{\pi}{180}\) ; pour passer des radians aux degrés, multiplier par \(\dfrac{180}{\pi}\).
Exemple. \(135° = 135\times\dfrac{\pi}{180} = \dfrac{135\pi}{180} = \dfrac{3\pi}{4}\) rad. Inversement, \(\dfrac{5\pi}{6}\) rad \(= \dfrac{5\pi}{6}\times\dfrac{180}{\pi} = 150°\).
\(210° = \dfrac{210\pi}{180} = \dfrac{7\pi}{6}\) rad. Et \(\dfrac{\pi}{5}\) rad \(= \dfrac{\pi}{5}\times\dfrac{180}{\pi} = \dfrac{180}{5} = 36°\).
On imagine la droite réelle (l'axe des réels) « enroulée » autour du cercle trigonométrique, à partir du point \(I(1\,;0)\), dans le sens direct pour les réels positifs, dans le sens indirect pour les négatifs.
À tout réel \(x\) correspond un unique point \(M\) du cercle trigonométrique, obtenu en parcourant sur le cercle, depuis \(I\), un arc de longueur \(|x|\) (dans le sens direct si \(x \gt 0\), indirect si \(x \lt 0\)). Ce point \(M\) est l'image du réel \(x\).
La droite réelle graduée (rouge), tangente au cercle en \(I\), s'enroule sur le cercle. Le réel \(1\) vient sur le point \(M\) après un arc de longueur \(1\).
Comme la circonférence vaut \(2\pi\), les réels \(x\) et \(x + 2\pi\) (et plus généralement \(x + 2k\pi\), \(k\in\mathbb{Z}\)) ont la même image : l'enroulement est périodique de période \(2\pi\).
\(\dfrac{9\pi}{4} = \dfrac{8\pi}{4} + \dfrac{\pi}{4} = 2\pi + \dfrac{\pi}{4}\). On retranche un tour : l'image est la même que celle de \(\dfrac{\pi}{4}\), qui est bien dans \([0\,;2\pi[\).
Soit \(x\) un réel et \(M\) son image sur le cercle trigonométrique. Les cosinus et sinus de \(x\) sont les coordonnées de \(M\) dans le repère \((O\,;\vec{\imath},\vec{\jmath})\) :
\[M\,\big(\cos x\,;\,\sin x\big).\]Autrement dit, \(\cos x\) est l'abscisse de \(M\) et \(\sin x\) son ordonnée.
Le réel \(x\) a pour image \(M\) : son abscisse est \(\cos x\) (rouge), son ordonnée \(\sin x\) (vert).
Pour un angle aigu, on retrouve les définitions du collège : en projetant \(M\) sur les axes, \(\cos x\) et \(\sin x\) sont bien le rapport des côtés adjacent et opposé à l'hypoténuse (ici de longueur \(1\)).
Pour tout réel \(x\) :
\[-1 \le \cos x \le 1, \qquad -1 \le \sin x \le 1, \qquad \boxed{\ \cos^2 x + \sin^2 x = 1.\ }\]La dernière égalité vient du fait que \(M\) est sur le cercle de rayon \(1\) (théorème de Pythagore : \(OM^2 = \cos^2 x + \sin^2 x = 1\)). De plus, périodicité : \(\cos(x + 2\pi) = \cos x\) et \(\sin(x + 2\pi) = \sin x\).
La notation \(\cos^2 x\) signifie \((\cos x)^2\), c'est-à-dire le carré du nombre \(\cos x\). À ne pas confondre avec \(\cos(x^2)\) (cosinus de \(x^2\)).
Connaissant \(\cos x\) (ou \(\sin x\)) et le quadrant, on retrouve l'autre valeur par \(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\), en choisissant le signe d'après le quadrant.
Exemple résolu. Si \(\cos x = \dfrac35\) et \(x\) dans le premier quadrant, alors \(\sin^2 x = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}\), donc \(\sin x = \dfrac45\) (positif dans le premier quadrant).
\(\cos^2 x = 1 - \dfrac{25}{169} = \dfrac{144}{169}\), donc \(\cos x = \dfrac{12}{13}\) (positif dans le premier quadrant).
| \(x\) | \(0\) | \(\dfrac{\pi}{6}\) | \(\dfrac{\pi}{4}\) | \(\dfrac{\pi}{3}\) | \(\dfrac{\pi}{2}\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(\cos x\) | \(1\) | \(\dfrac{\sqrt3}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt2}{2}\) | \(\dfrac12\) | \(0\) |
| \(\sin x\) | \(0\) | \(\dfrac12\) | \(\dfrac{\sqrt2}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt3}{2}\) | \(1\) |
Angles remarquables du premier quadrant. Quand l'angle croît de \(0\) à \(\tfrac{\pi}{2}\), l'abscisse (\(\cos\)) diminue et l'ordonnée (\(\sin\)) augmente.
L'image de \(\tfrac{\pi}{4}\) (\(45°\)) est sur la bissectrice du premier quadrant, donc son abscisse et son ordonnée sont égales : \(\cos\tfrac{\pi}{4} = \sin\tfrac{\pi}{4}\). En reportant dans \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\) :
\[2\cos^2\tfrac{\pi}{4} = 1 \ \Longrightarrow\ \cos^2\tfrac{\pi}{4} = \tfrac12 \ \Longrightarrow\ \cos\tfrac{\pi}{4} = \dfrac{1}{\sqrt2} = \dfrac{\sqrt2}{2}\](positif car premier quadrant). Donc \(\cos\tfrac{\pi}{4} = \sin\tfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt2}{2}\).
Considérons le triangle \(OIM\) où \(M\) est l'image de \(\tfrac{\pi}{3}\) (\(60°\)). Comme \(OI = OM = 1\) et l'angle \(\widehat{IOM} = 60°\), le triangle est isocèle avec un angle de \(60°\), donc équilatéral : \(IM = 1\). Par symétrie de l'équilatéral, l'abscisse de \(M\) vaut \(\tfrac12\), donc \(\cos\tfrac{\pi}{3} = \tfrac12\). Puis \(\sin^2\tfrac{\pi}{3} = 1 - \tfrac14 = \tfrac34\), donc \(\sin\tfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt3}{2}\) (positif). Par symétrie, on en déduit aussi \(\cos\tfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt3}{2}\) et \(\sin\tfrac{\pi}{6} = \tfrac12\). \(\qquad\blacksquare\)
Pour \(\tfrac{\pi}{4}\) : \(\left(\dfrac{\sqrt2}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{\sqrt2}{2}\right)^2 = \dfrac24 + \dfrac24 = 1\). ✓
Pour \(\tfrac{\pi}{6}\) : \(\left(\dfrac{\sqrt3}{2}\right)^2 + \left(\dfrac12\right)^2 = \dfrac34 + \dfrac14 = 1\). ✓
Par lecture des symétries du cercle trigonométrique, on obtient les cosinus et sinus d'angles associés à \(x\) :
| Angle | \(\cos\) | \(\sin\) | Symétrie |
|---|---|---|---|
| \(-x\) | \(\cos x\) | \(-\sin x\) | axe des abscisses |
| \(\pi - x\) | \(-\cos x\) | \(\sin x\) | axe des ordonnées |
| \(\pi + x\) | \(-\cos x\) | \(-\sin x\) | origine |
| \(\dfrac{\pi}{2} - x\) | \(\sin x\) | \(\cos x\) | première bissectrice |
\(-x\) : symétrique de \(x\) par rapport à l'axe des abscisses (\(\sin\) change de signe) ; \(\pi - x\) : par rapport à l'axe des ordonnées (\(\cos\) change de signe) ; \(\pi + x\) : par rapport à l'origine (les deux changent de signe).
\(\cos\!\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) = \cos\!\left(\pi - \dfrac{\pi}{3}\right) = -\cos\dfrac{\pi}{3} = -\dfrac12\), et \(\sin\!\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) = \sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt3}{2}\).
Exemple résolu. Calculer \(\sin\!\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)\). C'est \(\sin(-x)\) avec \(x = \tfrac{\pi}{3}\), donc \(\sin\!\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) = -\sin\dfrac{\pi}{3} = -\dfrac{\sqrt3}{2}\).
\(\cos\!\left(-\tfrac{\pi}{6}\right) = \cos\tfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt3}{2}\).
\(\sin\!\left(\tfrac{7\pi}{6}\right) = \sin\!\left(\pi + \tfrac{\pi}{6}\right) = -\sin\tfrac{\pi}{6} = -\dfrac12\).
\(\cos\!\left(\tfrac{3\pi}{4}\right) = \cos\!\left(\pi - \tfrac{\pi}{4}\right) = -\cos\tfrac{\pi}{4} = -\dfrac{\sqrt2}{2}\).
Exemple résolu. Placer l'image de \(\dfrac{7\pi}{6}\). Comme \(\dfrac{7\pi}{6} = \pi + \dfrac{\pi}{6}\), le point est dans le troisième quadrant, un peu après \(\pi\) (juste sous l'axe des abscisses, côté négatif).
Pour aller plus loin (attendu de Terminale). La résolution des équations \(\cos x = a\) et \(\sin x = a\) est une capacité du programme de Terminale. Cette section n'est pas exigible en Première : elle est proposée en ouverture, pour prolonger la lecture graphique du cercle trigonométrique.
Résoudre \(\cos x = a\) (resp. \(\sin x = a\)) sur le cercle, c'est chercher tous les réels \(x\) dont l'image \(M\) a pour abscisse \(a\) (resp. pour ordonnée \(a\)).
Résolution de \(\cos x = \tfrac12\) : la droite d'abscisse \(\tfrac12\) coupe le cercle en deux points, d'arguments \(\tfrac{\pi}{3}\) et \(-\tfrac{\pi}{3}\) (à \(2k\pi\) près).
Exemple résolu. Résoudre \(\sin x = \dfrac12\) sur \([0\,;2\pi[\). Solution évidente : \(x_0 = \tfrac{\pi}{6}\). La seconde est \(\pi - \tfrac{\pi}{6} = \tfrac{5\pi}{6}\). Solutions : \(\left\{\dfrac{\pi}{6}\,;\dfrac{5\pi}{6}\right\}\).
Solution évidente : \(x_0 = \tfrac{\pi}{4}\) (car \(\cos\tfrac{\pi}{4} = \tfrac{\sqrt2}{2}\)). La seconde est \(-\tfrac{\pi}{4}\), soit \(2\pi - \tfrac{\pi}{4} = \tfrac{7\pi}{4}\) sur \([0\,;2\pi[\). Solutions : \(\left\{\dfrac{\pi}{4}\,;\dfrac{7\pi}{4}\right\}\).
Approximation de \(\pi\) par la méthode d'Archimède : on encadre le cercle par des polygones réguliers inscrits, dont on double le nombre de côtés. Le demi-périmètre d'un polygone régulier à \(n\) côtés inscrit dans le cercle de rayon \(1\) vaut \(n\sin\!\left(\dfrac{\pi}{n}\right)\), qui tend vers \(\pi\).
from math import sin, pi
def archimede(n):
"""Approximation de pi par un polygone régulier à n côtés inscrit."""
return n * sin(pi / n)
for n in [6, 12, 24, 48, 96]:
print(n, archimede(n))
# La valeur s'approche de pi ≈ 3.14159 quand n augmenteHistoriquement, Archimède calculait ces demi-périmètres géométriquement, par doublement du nombre de côtés, sans utiliser la fonction sinus.
❌ Confondre degrés et radians (mauvais mode de calculatrice).
✅ En analyse, on travaille en radians ; \(180° = \pi\) rad.
❌ Confondre \(\cos\) et \(\sin\).
✅ \(\cos x\) est l'abscisse de l'image \(M\), \(\sin x\) son ordonnée.
❌ Oublier le signe selon le quadrant.
✅ \(\cos\) et \(\sin\) changent de signe selon la position de \(M\) sur le cercle.
❌ Écrire \(\cos^2 x = \cos(x^2)\).
✅ \(\cos^2 x\) signifie \((\cos x)^2\).
❌ Oublier la périodicité en résolvant une équation.
✅ Deux réels différant de \(2\pi\) ont la même image, donc mêmes \(\cos\) et \(\sin\).