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L'essentiel :
- Radian : longueur d'arc sur le cercle de rayon \(1\) ; \(180° = \pi\) rad.
- Image d'un réel \(x\) : point \(M\) du cercle à l'arc \(|x|\) depuis \(I(1\,;0)\) ; enroulement périodique de période \(2\pi\).
- \(M(\cos x\,;\sin x)\) : \(\cos\) = abscisse, \(\sin\) = ordonnée.
- Identité : \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\), avec \(-1\le\cos x\le 1\) et \(-1\le\sin x\le 1\).
- Angles associés par symétries du cercle ; valeurs remarquables à connaître par cœur.
Définitions clés
Définition
Cercle trigonométrique : cercle de centre \(O\), de rayon \(1\), orienté dans le sens direct (antihoraire). Radian : unité telle que l'angle au centre mesure la longueur de l'arc intercepté sur ce cercle.
Définition
Cosinus et sinus d'un réel \(x\) : coordonnées de l'image \(M\) de \(x\) sur le cercle. \(\cos x\) est l'abscisse, \(\sin x\) l'ordonnée.
Définition
Équations : résoudre \(\cos x = a\) (resp. \(\sin x = a\)) revient à trouver les réels dont l'image a pour abscisse (resp. ordonnée) \(a\). Aucune solution si \(a\lt -1\) ou \(a\gt 1\).
À connaître par cœur
Conversion degrés ↔ radians
\[\dfrac{\text{mesure en degrés}}{180} = \dfrac{\text{mesure en radians}}{\pi}\]
Identité fondamentale et encadrements
\[\cos^2 x + \sin^2 x = 1\]
\[-1 \le \cos x \le 1 \qquad -1 \le \sin x \le 1\]
Périodicité
\[\cos(x + 2k\pi) = \cos x \qquad \sin(x + 2k\pi) = \sin x \quad (k\in\mathbb{Z})\]
Valeurs remarquables
| \(x\) | \(0\) | \(\tfrac{\pi}{6}\) | \(\tfrac{\pi}{4}\) | \(\tfrac{\pi}{3}\) | \(\tfrac{\pi}{2}\) |
|---|
| \(\cos x\) | \(1\) | \(\tfrac{\sqrt3}{2}\) | \(\tfrac{\sqrt2}{2}\) | \(\tfrac12\) | \(0\) |
|---|
| \(\sin x\) | \(0\) | \(\tfrac12\) | \(\tfrac{\sqrt2}{2}\) | \(\tfrac{\sqrt3}{2}\) | \(1\) |
|---|
Angles associés
- \(\cos(-x) = \cos x\) ; \(\sin(-x) = -\sin x\) (symétrie / axe des abscisses).
- \(\cos(\pi - x) = -\cos x\) ; \(\sin(\pi - x) = \sin x\) (symétrie / axe des ordonnées).
- \(\cos(\pi + x) = -\cos x\) ; \(\sin(\pi + x) = -\sin x\) (symétrie / origine).
- \(\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2} - x\right) = \sin x\) ; \(\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2} - x\right) = \cos x\) (1ʳᵉ bissectrice).
Méthode — Calculs et équations
Méthode — Calculer un \(\cos\) ou \(\sin\) hors du premier quadrant
- Réduire modulo \(2\pi\) si besoin.
- Écrire l'angle sous la forme \(\pm x + k\pi\) ou \(\tfrac{\pi}{2}\pm x\), avec \(x\) remarquable.
- Appliquer la formule d'angle associé, puis la valeur remarquable.
Méthode — Résoudre \(\cos x = a\) ou \(\sin x = a\)
- Trouver une solution évidente \(x_0\) (valeur remarquable).
- \(\cos x = a\) : seconde solution \(-x_0\). \(\sin x = a\) : seconde solution \(\pi - x_0\).
- Ajouter \(2k\pi\) pour toutes les solutions, ou restreindre à l'intervalle demandé.
Erreurs fréquentes
Attention
❌ Confondre degrés et radians.
✅ En analyse, on travaille en radians ; vérifier le mode de la calculatrice.
❌ Confondre \(\cos\) (abscisse) et \(\sin\) (ordonnée).
✅ \(M(\cos x\,;\sin x)\).
❌ Écrire \(\cos^2 x = \cos(x^2)\).
✅ \(\cos^2 x = (\cos x)^2\).
❌ Oublier le signe selon le quadrant.
✅ Lire la position de \(M\) sur le cercle pour déterminer le signe.
Exemple rapide
Exemple — un angle, plusieurs lectures
Soit \(x = \dfrac{2\pi}{3} = \pi - \dfrac{\pi}{3}\).
- \(\cos\tfrac{2\pi}{3} = -\cos\tfrac{\pi}{3} = -\dfrac12\) ; \(\sin\tfrac{2\pi}{3} = \sin\tfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt3}{2}\).
- Vérification : \(\left(-\dfrac12\right)^2 + \left(\dfrac{\sqrt3}{2}\right)^2 = \dfrac14 + \dfrac34 = 1\). ✓
- Équation \(\cos t = -\dfrac12\) sur \([0\,;2\pi[\) : \(\left\{\dfrac{2\pi}{3}\,;\dfrac{4\pi}{3}\right\}\).