Trigonométrie | Première générale (spécialité) | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
1. Convertir en radians : \(30°\), \(135°\), \(210°\), \(300°\).
2. Convertir en degrés : \(\dfrac{\pi}{3}\), \(\dfrac{3\pi}{4}\), \(\dfrac{5\pi}{6}\).
1. \(30° = \dfrac{30\pi}{180} = \dfrac{\pi}{6}\) ; \(135° = \dfrac{135\pi}{180} = \dfrac{3\pi}{4}\) ; \(210° = \dfrac{210\pi}{180} = \dfrac{7\pi}{6}\) ; \(300° = \dfrac{300\pi}{180} = \dfrac{5\pi}{3}\).
2. \(\dfrac{\pi}{3} = 60°\) ; \(\dfrac{3\pi}{4} = 135°\) ; \(\dfrac{5\pi}{6} = 150°\).
1. Donner sans calculatrice : \(\cos\dfrac{\pi}{6}\), \(\sin\dfrac{\pi}{6}\), \(\cos\dfrac{\pi}{3}\), \(\sin\dfrac{\pi}{3}\), \(\cos\dfrac{\pi}{4}\), \(\sin\dfrac{\pi}{4}\).
2. Que valent \(\cos\dfrac{\pi}{2}\), \(\sin\dfrac{\pi}{2}\), \(\cos 0\) et \(\sin 0\) ?
1. \(\cos\tfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt3}{2}\), \(\sin\tfrac{\pi}{6} = \dfrac12\), \(\cos\tfrac{\pi}{3} = \dfrac12\), \(\sin\tfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt3}{2}\), \(\cos\tfrac{\pi}{4} = \sin\tfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt2}{2}\).
2. \(\cos\tfrac{\pi}{2} = 0\), \(\sin\tfrac{\pi}{2} = 1\), \(\cos 0 = 1\), \(\sin 0 = 0\).
1. Sachant que \(\cos x = \dfrac{3}{5}\) et que \(x\) est dans le premier quadrant, calculer \(\sin x\).
2. Sachant que \(\sin x = \dfrac{5}{13}\) et que \(x\) est dans le premier quadrant, calculer \(\cos x\).
3. Vérifier l'identité \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\) pour \(x = \dfrac{\pi}{3}\).
1. \(\sin^2 x = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}\), donc \(\sin x = \dfrac45\) (positif dans le premier quadrant).
2. \(\cos^2 x = 1 - \dfrac{25}{169} = \dfrac{144}{169}\), donc \(\cos x = \dfrac{12}{13}\).
3. \(\left(\dfrac12\right)^2 + \left(\dfrac{\sqrt3}{2}\right)^2 = \dfrac14 + \dfrac34 = 1\). ✓
Calculer, en utilisant les valeurs remarquables et les angles associés :
1. \(\cos\!\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)\) et \(\sin\!\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)\).
2. \(\cos\!\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)\) et \(\sin\!\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)\).
3. \(\cos\!\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)\) et \(\sin\!\left(\dfrac{7\pi}{6}\right)\).
1. \(\cos\!\left(-\tfrac{\pi}{6}\right) = \cos\tfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt3}{2}\) ; \(\sin\!\left(-\tfrac{\pi}{6}\right) = -\sin\tfrac{\pi}{6} = -\dfrac12\).
2. \(\tfrac{3\pi}{4} = \pi - \tfrac{\pi}{4}\), donc \(\cos\tfrac{3\pi}{4} = -\cos\tfrac{\pi}{4} = -\dfrac{\sqrt2}{2}\) et \(\sin\tfrac{3\pi}{4} = \sin\tfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt2}{2}\).
3. \(\cos\tfrac{2\pi}{3} = \cos\!\left(\pi - \tfrac{\pi}{3}\right) = -\cos\tfrac{\pi}{3} = -\dfrac12\). \(\sin\tfrac{7\pi}{6} = \sin\!\left(\pi + \tfrac{\pi}{6}\right) = -\sin\tfrac{\pi}{6} = -\dfrac12\).
1. Déterminer le réel de \([0\,;2\pi[\) qui a la même image que \(\dfrac{9\pi}{4}\), puis que \(\dfrac{13\pi}{6}\).
2. Déterminer le réel de \([0\,;2\pi[\) qui a la même image que \(-\dfrac{\pi}{3}\).
3. En déduire \(\cos\!\left(\dfrac{9\pi}{4}\right)\) et \(\cos\!\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)\).
1. \(\dfrac{9\pi}{4} = 2\pi + \dfrac{\pi}{4}\), même image que \(\dfrac{\pi}{4}\). \(\dfrac{13\pi}{6} = 2\pi + \dfrac{\pi}{6}\), même image que \(\dfrac{\pi}{6}\).
2. \(-\dfrac{\pi}{3} + 2\pi = \dfrac{5\pi}{3}\), qui est dans \([0\,;2\pi[\).
3. \(\cos\tfrac{9\pi}{4} = \cos\tfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt2}{2}\) ; \(\cos\!\left(-\tfrac{\pi}{3}\right) = \cos\tfrac{\pi}{3} = \dfrac12\).
Résoudre les équations suivantes sur l'intervalle \([0\,;2\pi[\).
1. \(\cos x = \dfrac12\).
2. \(\cos x = \dfrac{\sqrt2}{2}\).
3. \(\cos x = 2\).
1. Solution évidente \(x_0 = \tfrac{\pi}{3}\) ; l'autre est \(-\tfrac{\pi}{3}\), soit \(\tfrac{5\pi}{3}\) sur \([0\,;2\pi[\). Solutions : \(\left\{\dfrac{\pi}{3}\,;\dfrac{5\pi}{3}\right\}\).
2. \(x_0 = \tfrac{\pi}{4}\) et \(2\pi - \tfrac{\pi}{4} = \tfrac{7\pi}{4}\). Solutions : \(\left\{\dfrac{\pi}{4}\,;\dfrac{7\pi}{4}\right\}\).
3. \(2 \gt 1\), or \(-1 \le \cos x \le 1\) : aucune solution.
Résoudre les équations suivantes sur l'intervalle \([0\,;2\pi[\).
1. \(\sin x = \dfrac12\).
2. \(\sin x = \dfrac{\sqrt3}{2}\).
3. \(\sin x = -\dfrac{\sqrt2}{2}\).
1. \(x_0 = \tfrac{\pi}{6}\) et \(\pi - \tfrac{\pi}{6} = \tfrac{5\pi}{6}\). Solutions : \(\left\{\dfrac{\pi}{6}\,;\dfrac{5\pi}{6}\right\}\).
2. \(x_0 = \tfrac{\pi}{3}\) et \(\pi - \tfrac{\pi}{3} = \tfrac{2\pi}{3}\). Solutions : \(\left\{\dfrac{\pi}{3}\,;\dfrac{2\pi}{3}\right\}\).
3. Les images d'ordonnée \(-\tfrac{\sqrt2}{2}\) sont dans les 3ᵉ et 4ᵉ quadrants : \(\pi + \tfrac{\pi}{4} = \tfrac{5\pi}{4}\) et \(2\pi - \tfrac{\pi}{4} = \tfrac{7\pi}{4}\). Solutions : \(\left\{\dfrac{5\pi}{4}\,;\dfrac{7\pi}{4}\right\}\).
On considère le réel \(x\) tel que \(\cos x = -\dfrac{\sqrt3}{2}\) et \(x \in [0\,;\pi]\).
1. Déterminer la valeur exacte de \(x\).
2. En déduire \(\sin x\) à l'aide de l'identité fondamentale (attention au signe).
3. Calculer alors \(\cos(-x)\), \(\sin(\pi - x)\) et \(\cos(\pi + x)\).
4. Résoudre l'équation \(\cos t = -\dfrac{\sqrt3}{2}\) sur \([0\,;2\pi[\).
1. \(\cos x = -\dfrac{\sqrt3}{2}\) avec \(x \in [0\,;\pi]\). Or \(\cos\tfrac{5\pi}{6} = \cos\!\left(\pi - \tfrac{\pi}{6}\right) = -\cos\tfrac{\pi}{6} = -\dfrac{\sqrt3}{2}\). Donc \(x = \dfrac{5\pi}{6}\).
2. \(\sin^2 x = 1 - \dfrac34 = \dfrac14\), donc \(\sin x = \pm\dfrac12\). Comme \(x \in [0\,;\pi]\), \(\sin x \ge 0\) : \(\sin x = \dfrac12\).
3. \(\cos(-x) = \cos x = -\dfrac{\sqrt3}{2}\) ; \(\sin(\pi - x) = \sin x = \dfrac12\) ; \(\cos(\pi + x) = -\cos x = \dfrac{\sqrt3}{2}\).
4. Une solution est \(\tfrac{5\pi}{6}\) ; l'autre est \(-\tfrac{5\pi}{6}\), soit \(2\pi - \tfrac{5\pi}{6} = \tfrac{7\pi}{6}\). Solutions : \(\left\{\dfrac{5\pi}{6}\,;\dfrac{7\pi}{6}\right\}\).