Chapitre 2 | Première générale (spécialité) | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
En première, les suites sont abordées d'un point de vue principalement algébrique. L'objectif est de confronter l'élève à des systèmes discrets (évolution d'un capital, d'une population, décroissance radioactive) pour lesquels les suites numériques apparaissent comme une modélisation adaptée. C'est aussi l'occasion d'aborder la définition par récurrence et de se sensibiliser à l'idée de limite. Prérequis : fonctions affines, taux d'évolution et coefficient multiplicateur, notion de fonction et d'image.
Une suite numérique \(u\) est une fonction définie sur \(\mathbb{N}\) (ou sur une partie \(\{n \ge n_0\}\) de \(\mathbb{N}\)) à valeurs dans \(\mathbb{R}\). L'image de l'entier \(n\) est notée \(u(n)\) ou, plus souvent, \(u_n\) ; c'est le terme de rang \(n\) (ou d'indice \(n\)).
La suite elle-même se note \((u_n)\) ou \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\).
\(u_n\) désigne un terme (un nombre) ; \((u_n)\) désigne la suite (l'objet global, la liste infinie des termes).
Une suite peut être définie :
Explicite : \(u_n = n^2 - 1\) donne \(u_0 = -1,\ u_1 = 0,\ u_2 = 3,\ u_3 = 8\).
Récurrence : \(u_0 = 2\) et \(u_{n+1} = 3u_n - 1\) donne \(u_1 = 5,\ u_2 = 14,\ u_3 = 41\).
Motif (nombres triangulaires) : le nombre de points du \(n\)-ième triangle vaut \(T_n = 1 + 2 + \dots + n\).
On s'intéresse souvent au passage d'un mode à un autre, en particulier à la recherche d'une formule explicite pour une suite définie par récurrence.
On représente une suite par un nuage de points : on place les points de coordonnées \((n\,;u_n)\). Ci-dessous, la suite \(u_n = n^2 - 1\) :
Nuage de points de la suite \(u_n = n^2 - 1\) : les points ne sont pas alignés et montent de plus en plus vite.
\(u_1 = 2\times 1 + 3 = 5\) ; \(u_2 = 2\times 5 + 3 = 13\) ; \(u_3 = 2\times 13 + 3 = 29\).
Une suite \((u_n)\) est :
On étudie le signe de \(u_{n+1} - u_n\) :
Si tous les termes sont strictement positifs, on peut aussi comparer le quotient \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\) à \(1\).
Pour \(u_n = n^2\) : \(u_{n+1} - u_n = (n+1)^2 - n^2 = 2n + 1 \gt 0\). La suite est croissante.
\(u_{n+1} - u_n = \big(5 - 2(n+1)\big) - (5 - 2n) = -2 \lt 0\). La suite est décroissante.
Une suite \((u_n)\) est arithmétique de raison \(r\) s'il existe un réel \(r\) tel que, pour tout \(n\) :
\[u_{n+1} = u_n + r.\]On passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre \(r\). C'est le modèle des évolutions successives à accroissement constant.
Si \((u_n)\) est arithmétique de raison \(r\) et de premier terme \(u_0\), alors pour tout \(n \in \mathbb{N}\) :
\[\boxed{u_n = u_0 + nr.}\]Plus généralement, \(u_n = u_p + (n-p)\,r\).
On écrit les relations successives : \(u_1 = u_0 + r\), \(u_2 = u_1 + r = u_0 + 2r\), \(u_3 = u_2 + r = u_0 + 3r,\ \dots\)
En ajoutant \(r\) à chaque étape depuis \(u_0\), on ajoute \(n\) fois la raison pour atteindre \(u_n\) : \(u_n = u_0 + nr\). (Ce raisonnement « de proche en proche » sera formalisé par récurrence en terminale.)
Une suite arithmétique de raison \(r\) est croissante si \(r \gt 0\), décroissante si \(r \lt 0\), constante si \(r = 0\).
Comme \(u_n = u_0 + rn\), les points \((n\,;u_n)\) sont alignés : une suite arithmétique est la restriction à \(\mathbb{N}\) d'une fonction affine de pente \(r\).
Le graphique ci-dessous contraste une suite arithmétique \(u_n = 2 + n\) (points alignés, indigo) et une suite géométrique \(v_n = 1{,}4^{\,n}\) (points de plus en plus espacés, croissance accélérée, vert) :
Suite arithmétique : points alignés (croissance linéaire). Suite géométrique : points courbés vers le haut (croissance à taux constant, de plus en plus rapide).
Pour tout entier \(n \ge 1\) :
\[\boxed{1 + 2 + \dots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}.}\]Notons \(S = 1 + 2 + \dots + n\). Écrivons cette somme dans les deux sens et additionnons terme à terme :
\[ \begin{array}{ccccccc} S &=& 1 &+& 2 &+ \dots +& n \\ S &=& n &+& (n-1) &+ \dots +& 1 \\ \hline 2S &=& (n+1) &+& (n+1) &+ \dots +& (n+1) \end{array} \]Il y a \(n\) termes égaux à \((n+1)\), donc \(2S = n(n+1)\), d'où \(S = \dfrac{n(n+1)}{2}\). \(\blacksquare\)
\(u_n = 4 + 3n\), donc \(u_{12} = 4 + 3\times 12 = 40\). Comme \(r = 3 \gt 0\), la suite est croissante.
Une suite \((u_n)\) est géométrique de raison \(q\) s'il existe un réel \(q\) tel que, pour tout \(n\) :
\[u_{n+1} = q \times u_n.\]On passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre \(q\). C'est le modèle des évolutions successives à taux constant : une évolution à taux fixe \(t\) correspond à une suite géométrique de raison \(q = 1 + t\) (coefficient multiplicateur).
Si \((u_n)\) est géométrique de raison \(q\) et de premier terme \(u_0\), alors pour tout \(n\) :
\[\boxed{u_n = u_0 \times q^{\,n}.}\]Plus généralement, \(u_n = u_p \times q^{\,n-p}\).
On multiplie de proche en proche : \(u_1 = u_0\, q\), \(u_2 = u_1\, q = u_0\, q^2\), \(u_3 = u_2\, q = u_0\, q^3,\ \dots\)
En multipliant \(n\) fois par \(q\) depuis \(u_0\), on obtient \(u_n = u_0\, q^n\). \(\blacksquare\)
Si \(q \gt 1\) la suite est croissante ; si \(0 \lt q \lt 1\) elle est décroissante ; si \(q = 1\) elle est constante. (Le sens s'inverse si \(u_0 \lt 0\).)
Pour tout réel \(q \ne 1\) et tout entier \(n \ge 0\) :
\[\boxed{1 + q + q^2 + \dots + q^n = \dfrac{1 - q^{\,n+1}}{1 - q}.}\]Posons \(S = 1 + q + q^2 + \dots + q^n\). Alors \(q\,S = q + q^2 + \dots + q^{n+1}\).
En soustrayant : \(S - qS = 1 - q^{n+1}\), soit \(S(1 - q) = 1 - q^{n+1}\). Comme \(q \ne 1\), on divise par \(1-q\) : \(S = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}\). \(\blacksquare\)
(Pour \(q = 1\), la somme vaut simplement \(n+1\).)
\(v_n = 3\times 2^n\), donc \(v_4 = 3\times 16 = 48\).
\(v_0 + \dots + v_4 = 3\times(1 + 2 + \dots + 2^4) = 3\times\dfrac{1 - 2^5}{1 - 2} = 3\times\dfrac{-31}{-1} = 3\times 31 = 93\).
Exemple résolu. Un capital de \(2000\) € placé à \(3\,\%\) par an. Le taux fixe donne une suite géométrique : \(q = 1{,}03\), \(C_0 = 2000\), donc \(C_n = 2000 \times 1{,}03^{\,n}\). Au bout de \(5\) ans : \(C_5 = 2000 \times 1{,}03^5 \approx 2318{,}55\) €.
Exemple résolu. \(u_0 = 5,\ u_1 = 10,\ u_2 = 20,\ u_3 = 40\). Différences : \(5, 10, 20\) (non constantes). Quotients : \(2, 2, 2\). Suite géométrique de raison \(q = 2\), donc \(u_n = 5 \times 2^n\).
Sur des exemples, sans formalisation, on observe le comportement des termes quand \(n\) devient très grand :
Pour une suite géométrique de raison \(q \gt 0\) : si \(q \gt 1\), les termes tendent vers \(+\infty\) ; si \(0 \lt q \lt 1\), ils tendent vers \(0\).
Suite géométrique : \(q = 1{,}20\), \(P_0 = 10\,000\), donc \(P_n = 10\,000 \times 1{,}2^{\,n}\). Après \(3\) heures : \(P_3 = 10\,000 \times 1{,}2^3 = 10\,000 \times 1{,}728 = 17\,280\) bactéries.
La raison est \(q = 0{,}5\), avec \(0 \lt q \lt 1\) : les termes tendent vers \(0\). On peut le vérifier : \(u_0=100,\ u_1=50,\ u_2=25,\ u_3=12{,}5,\dots\) : chaque terme est la moitié du précédent et se rapproche de \(0\).
On peut calculer les termes d'une suite définie par récurrence et rechercher un seuil à l'aide d'une boucle :
def terme_recurrence(n):
"""Calcule u_n pour u_0 = 2 et u_(n+1) = 3*u_n - 1."""
u = 2
for _ in range(n):
u = 3 * u - 1
return u
def seuil(u0, q, S):
"""Plus petit n tel que u_n >= S, suite geometrique croissante."""
u = u0
n = 0
while u < S:
u = q * u
n += 1
return nLa boucle while u < S traduit la recherche du plus petit rang \(n\) pour lequel le seuil \(S\) est atteint.
❌ Confondre \(u_n\) (un terme, un nombre) et \((u_n)\) (la suite).
✅ \(u_5\) est un nombre ; \((u_n)\) est l'objet global.
❌ Décalage d'indice dans le terme général.
✅ \(u_n = u_0 + nr\) (premier terme \(u_0\)) ≠ \(u_n = u_1 + (n-1)r\) (premier terme \(u_1\)).
❌ Multiplier au lieu d'ajouter (ou l'inverse).
✅ Arithmétique = addition de \(r\) ; géométrique = multiplication par \(q\).
❌ Confondre taux d'évolution et raison.
✅ Une hausse de \(5\,\%\) donne \(q = 1{,}05\) (et non \(q = 0{,}05\)).
❌ Se tromper d'exposant dans la somme géométrique.
✅ \(1 + q + \dots + q^n = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1-q}\) (exposant \(n+1\), pas \(n\)).
| Arithmétique | Géométrique | |
|---|---|---|
| Relation | \(u_{n+1} = u_n + r\) | \(u_{n+1} = q\, u_n\) |
| Terme général | \(u_n = u_0 + nr\) | \(u_n = u_0\, q^n\) |
| Modélise | croissance linéaire | croissance à taux fixe |