Suites numériques, modèles discrets | Première générale (spécialité) | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
1. Soit \(u_n = 2n^2 - 3\). Calculer \(u_0\), \(u_1\), \(u_2\) et \(u_5\).
2. Soit \(v_0 = 3\) et \(v_{n+1} = 2v_n - 1\). Calculer \(v_1\), \(v_2\) et \(v_3\).
1. \(u_0 = -3\) ; \(u_1 = 2 - 3 = -1\) ; \(u_2 = 8 - 3 = 5\) ; \(u_5 = 2\times 25 - 3 = 47\).
2. \(v_1 = 2\times 3 - 1 = 5\) ; \(v_2 = 2\times 5 - 1 = 9\) ; \(v_3 = 2\times 9 - 1 = 17\).
Étudier le sens de variation de chaque suite en étudiant le signe de \(u_{n+1} - u_n\).
1. \(u_n = 3n + 1\). 2. \(u_n = 7 - 4n\). 3. \(u_n = n^2 + 2\).
1. \(u_{n+1} - u_n = 3 \gt 0\) : croissante.
2. \(u_{n+1} - u_n = -4 \lt 0\) : décroissante.
3. \(u_{n+1} - u_n = (n+1)^2 + 2 - (n^2 + 2) = 2n + 1 \gt 0\) : croissante.
Soit \((u_n)\) arithmétique avec \(u_0 = 7\) et \(r = -2\).
1. Donner l'expression de \(u_n\) en fonction de \(n\).
2. Calculer \(u_{10}\).
3. Calculer \(u_0 + u_1 + \dots + u_{10}\).
1. \(u_n = 7 - 2n\).
2. \(u_{10} = 7 + 10 \times (-2) = -13\).
3. La somme de \(11\) termes d'une suite arithmétique vaut \(\dfrac{(u_0 + u_{10}) \times 11}{2} = \dfrac{(7 + (-13)) \times 11}{2} = \dfrac{-6 \times 11}{2} = -33\).
Soit \((v_n)\) géométrique de raison \(q = \tfrac12\) et \(v_0 = 64\).
1. Donner \(v_n\), puis calculer \(v_5\).
2. La suite est-elle croissante ou décroissante ? Justifier.
3. Vers quelle valeur les termes se rapprochent-ils quand \(n\) devient très grand ?
1. \(v_n = 64 \times \left(\tfrac12\right)^n\), donc \(v_5 = 64 \times \tfrac{1}{32} = 2\).
2. Comme \(0 \lt q \lt 1\) et \(v_0 \gt 0\), la suite est décroissante.
3. Les termes tendent vers \(0\) (raison \(q\) telle que \(0 \lt q \lt 1\)).
Pour chaque suite donnée par ses premiers termes, dire si elle est arithmétique, géométrique ou ni l'une ni l'autre, et donner \(u_n\) quand c'est possible.
1. \(u_0 = 5,\ u_1 = 10,\ u_2 = 20,\ u_3 = 40\).
2. \(u_0 = 3,\ u_1 = 7,\ u_2 = 11,\ u_3 = 15\).
3. \(u_0 = 1,\ u_1 = 4,\ u_2 = 9,\ u_3 = 16\).
1. Quotients \(2, 2, 2\) constants : géométrique de raison \(q = 2\), \(u_n = 5\times 2^n\).
2. Différences \(4, 4, 4\) constantes : arithmétique de raison \(r = 4\), \(u_n = 3 + 4n\).
3. Différences \(3, 5, 7\) (non constantes), quotients \(4,\ 2{,}25,\dots\) (non constants) : ni l'une ni l'autre (ce sont les carrés : \(u_n = (n+1)^2\)).
1. Calculer \(1 + 2 + 3 + \dots + 100\).
2. Calculer \(1 + 3 + 3^2 + \dots + 3^6\).
3. Calculer \(1 + 2 + 4 + 8 + \dots + 2^{10}\).
1. \(\dfrac{100 \times 101}{2} = 5050\).
2. Somme géométrique de raison \(q = 3\) : \(\dfrac{1 - 3^{7}}{1 - 3} = \dfrac{1 - 2187}{-2} = \dfrac{-2186}{-2} = 1093\).
3. Somme géométrique de raison \(q = 2\) (jusqu'à l'exposant \(10\)) : \(\dfrac{1 - 2^{11}}{1 - 2} = \dfrac{1 - 2048}{-1} = 2047\).
Soit \(u_0 = 3\) et \(u_{n+1} = u_n + 4\).
1. Est-ce une suite arithmétique ? géométrique ? Justifier.
2. Donner \(u_n\) et son sens de variation.
3. Même travail pour \(w_0 = 2\) et \(w_{n+1} = 5\,w_n\).
1. On ajoute toujours \(4\) : suite arithmétique de raison \(r = 4\).
2. \(u_n = 3 + 4n\). Comme \(r \gt 0\), elle est croissante.
3. On multiplie toujours par \(5\) : suite géométrique de raison \(q = 5\), \(w_n = 2\times 5^n\), croissante (car \(w_0 \gt 0\) et \(q \gt 1\)).
Un capital de \(5000\) € est placé sur un compte rémunéré à \(4\,\%\) par an. On note \(C_n\) le capital disponible au bout de \(n\) années, avec \(C_0 = 5000\).
1. Justifier que \((C_n)\) est géométrique et préciser sa raison.
2. Exprimer \(C_n\) en fonction de \(n\).
3. Calculer \(C_5\) (arrondir au centime).
4. Un algorithme cherche le plus petit rang \(n\) tel que \(C_n \ge 7000\). En testant \(C_9 \approx 7115\) et \(C_8 \approx 6842\), donner ce rang.
1. Chaque année le capital est multiplié par \(1 + 0{,}04 = 1{,}04\) : la suite est géométrique de raison \(q = 1{,}04\).
2. \(C_n = 5000 \times 1{,}04^{\,n}\).
3. \(C_5 = 5000 \times 1{,}04^5 \approx 5000 \times 1{,}21665 \approx 6083{,}26\) €.
4. \(C_8 \approx 6842 \lt 7000\) et \(C_9 \approx 7115 \ge 7000\) : le plus petit rang est \(n = 9\) (il faut \(9\) années).