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L'essentiel :
- Une suite \((u_n)\) se définit de façon explicite \(u_n = f(n)\) ou par récurrence \(u_{n+1} = f(u_n)\) avec un premier terme.
- Ne pas confondre \(u_n\) (un terme, un nombre) et \((u_n)\) (la suite).
- Sens de variation : signe de \(u_{n+1} - u_n\).
- Arithmétique : on ajoute \(r\). Géométrique : on multiplie par \(q\).
- Taux fixe \(t\) → suite géométrique de raison \(q = 1 + t\).
Définitions clés
Définition
Suite numérique : fonction définie sur \(\mathbb{N}\), qui à \(n\) associe le terme de rang \(n\), noté \(u_n\). La suite se note \((u_n)\).
Définition
Suite arithmétique : \(u_{n+1} = u_n + r\) (on ajoute la raison \(r\)). Modèle d'une croissance linéaire (points alignés).
Définition
Suite géométrique : \(u_{n+1} = q\,u_n\) (on multiplie par la raison \(q\)). Modèle d'une croissance à taux fixe.
Définition
Variations : \((u_n)\) est croissante si \(u_{n+1} \ge u_n\) pour tout \(n\), décroissante si \(u_{n+1} \le u_n\), constante si \(u_{n+1} = u_n\).
À connaître par cœur
Termes généraux
\[\text{Arithmétique :}\quad u_n = u_0 + nr\]
\[\text{Géométrique :}\quad u_n = u_0 \times q^{\,n}\]
Somme des premiers entiers
\[1 + 2 + 3 + \dots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}\]
Somme des puissances (pour \(q \ne 1\))
\[1 + q + q^2 + \dots + q^n = \dfrac{1 - q^{\,n+1}}{1 - q}\]
Taux d'évolution et raison
\[\text{hausse de } t \ \Rightarrow\ q = 1 + t\qquad(\text{ex. } +5\,\% \Rightarrow q = 1{,}05)\]
Sens de variation à connaître
- Arithmétique de raison \(r\) : croissante si \(r \gt 0\), décroissante si \(r \lt 0\), constante si \(r = 0\).
- Géométrique (\(u_0 \gt 0\), \(q \gt 0\)) : croissante si \(q \gt 1\), décroissante si \(0 \lt q \lt 1\), constante si \(q = 1\).
Limite (intuitive, sur des exemples)
- \(u_n = \tfrac1n\) → limite finie \(0\).
- \(u_n = n^2\) → limite infinie \(+\infty\).
- \(u_n = (-1)^n\) → pas de limite (oscille entre \(1\) et \(-1\)).
- Géométrique \(q \gt 0\) : \(q \gt 1\) → \(+\infty\) ; \(0 \lt q \lt 1\) → \(0\).
Méthode — Reconnaître et modéliser
Méthode — Reconnaître la nature d'une suite
- Calculer les différences \(u_{n+1} - u_n\) : constantes → arithmétique (raison \(r\)).
- Sinon, calculer les quotients \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\) : constants → géométrique (raison \(q\)).
- Écrire alors le terme général \(u_n = u_0 + nr\) ou \(u_n = u_0\,q^n\).
Méthode — Modéliser une évolution
- On ajoute une quantité fixe → suite arithmétique.
- On augmente d'un pourcentage fixe \(t\) → suite géométrique, \(q = 1 + t\).
- Recherche de seuil : tabuler les termes ou utiliser une boucle « tant que ».
Erreurs fréquentes
Attention
❌ Confondre \(u_n\) et \((u_n)\).
✅ \(u_5\) est un nombre ; \((u_n)\) est la suite.
❌ Multiplier au lieu d'ajouter (ou l'inverse).
✅ Arithmétique = + \(r\) ; géométrique = × \(q\).
❌ Confondre taux et raison.
✅ \(+5\,\%\) donne \(q = 1{,}05\), pas \(q = 0{,}05\).
❌ Se tromper d'exposant dans la somme géométrique.
✅ \(\dfrac{1 - q^{n+1}}{1-q}\) (exposant \(n+1\)).
Exemple rapide
Exemple — un placement
\(1000\) € placés à \(3\,\%\) par an : suite géométrique \(C_0 = 1000\), \(q = 1{,}03\).
- \(C_n = 1000 \times 1{,}03^{\,n}\).
- \(C_2 = 1000 \times 1{,}03^2 = 1060{,}90\) €.
- \(q \gt 1\) et \(C_0 \gt 0\) → suite croissante.