Chapitre 1 | Première générale (spécialité) | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
L'apprentissage des notations et de la logique est transversal à tous les chapitres : on le travaille d'abord dans les contextes où il apparaît naturellement, puis on le formalise après l'avoir rencontré plusieurs fois. Les symboles \(\forall\) (« pour tout ») et \(\exists\) (« il existe ») ne sont pas exigibles : on emploie les formulations en toutes lettres.
Un ensemble est une collection d'objets appelés ses éléments. Si \(x\) est un élément de l'ensemble \(E\), on écrit \(x \in E\) (« \(x\) appartient à \(E\) »). Sinon, on écrit \(x \notin E\).
On décrit un ensemble de deux façons :
L'ensemble qui ne contient aucun élément est l'ensemble vide, noté \(\varnothing\).
Si \(A\) est un ensemble fini, le nombre de ses éléments est son cardinal, noté \(\operatorname{Card}(A)\). Par exemple \(\operatorname{Card}(\{1,3,5,7\}) = 4\) et \(\operatorname{Card}(\varnothing) = 0\).
Un ensemble est entièrement déterminé par ses éléments : l'ordre et les répétitions ne comptent pas. Ainsi \(\{1,\,2\} = \{2,\,1\} = \{1,\,1,\,2\}\).
Les diviseurs de \(12\) sont \(1, 2, 3, 4, 6, 12\), donc \(A = \{1,\,2,\,3,\,4,\,6,\,12\}\) et \(\operatorname{Card}(A) = 6\).
On dit que \(A\) est inclus dans \(B\), et on note \(A \subset B\), lorsque tout élément de \(A\) est aussi élément de \(B\). On dit alors que \(A\) est un sous-ensemble (ou une partie) de \(B\) :
\[A \subset B \quad\text{signifie}\quad \text{« pour tout } x,\ \text{si } x \in A \text{ alors } x \in B \text{ ».}\]Deux ensembles \(A\) et \(B\) sont égaux si et seulement si \(A \subset B\) et \(B \subset A\) :
\[A = B \iff (A \subset B \ \text{et}\ B \subset A).\]C'est le principe de la double inclusion, très utilisé dans les démonstrations : pour prouver que deux ensembles sont égaux, on montre chaque inclusion séparément.
\(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\). Pour tout ensemble \(A\), on a aussi \(\varnothing \subset A\) et \(A \subset A\).
Le symbole \(\in\) relie un élément à un ensemble ; le symbole \(\subset\) relie deux ensembles. On écrit \(2 \in \mathbb{N}\), mais \(\{2\} \subset \mathbb{N}\).
Soit \(A\) et \(B\) deux parties d'un ensemble de référence \(E\).
La réunion \(A \cup B\) est l'ensemble des éléments appartenant à \(A\) ou à \(B\) (ou aux deux) ; l'intersection \(A \cap B\) est l'ensemble des éléments appartenant à \(A\) et à \(B\) :
\[x \in A \cup B \iff (x \in A) \ \text{ou}\ (x \in B), \qquad x \in A \cap B \iff (x \in A) \ \text{et}\ (x \in B).\]Lorsque \(A \cap B = \varnothing\), on dit que \(A\) et \(B\) sont disjoints.
Le complémentaire de \(A\) dans \(E\) est l'ensemble des éléments de \(E\) qui n'appartiennent pas à \(A\). On le note \(\overline{A}\) (notation des probabilités) ou \(E \setminus A\) :
\[x \in \overline{A} \iff (x \in E) \ \text{et}\ (x \notin A).\]Diagrammes de Venn (partie coloriée en indigo) : la réunion \(A\cup B\) (tout ce qui est dans l'un des deux), l'intersection \(A\cap B\) (la partie commune), le complémentaire \(\overline{A}\) (tout \(E\) sauf \(A\)).
Dans \(E = \mathbb{R}\), si \(A = [0\,;+\infty[\), alors \(\overline{A} = \,]-\infty\,;0[\).
Dans \(E = \{1,2,3,4,5,6\}\), avec \(A = \{1,2,3\}\) et \(B = \{2,4,6\}\) : \(A \cup B = \{1,2,3,4,6\}\), \(A \cap B = \{2\}\), \(\overline{A} = \{4,5,6\}\).
Pour deux parties \(A\) et \(B\) d'un ensemble \(E\) :
\[\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B} \qquad \text{et} \qquad \overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}.\]Le complémentaire échange la réunion et l'intersection.
\(A\cap B=\{2\}\) ; \(A\cup B=\{1,2,3,4,5,6,7,8,10\}\) ; \(\overline{A}=\{1,3,5,7,9\}\).
Vérification : \(\overline{A\cup B}=\{9\}\). Par ailleurs \(\overline{A}=\{1,3,5,7,9\}\) et \(\overline{B}=\{4,6,8,9,10\}\), donc \(\overline{A}\cap\overline{B}=\{9\}\). On a bien \(\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}\). ✓
Les principaux ensembles de nombres sont emboîtés :
\[\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}.\]| Ensemble | Description |
|---|---|
| \(\mathbb{N}\) | entiers naturels : \(0,\,1,\,2,\,3,\dots\) |
| \(\mathbb{Z}\) | entiers relatifs : \(\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\) |
| \(\mathbb{D}\) | nombres décimaux |
| \(\mathbb{Q}\) | nombres rationnels (quotients d'entiers) |
| \(\mathbb{R}\) | nombres réels |
Un intervalle est un sous-ensemble « sans trou » de \(\mathbb{R}\). Par exemple :
\[[a\,;b] = \{\,x \in \mathbb{R} \mid a \le x \le b\,\}, \qquad ]a\,;+\infty[ = \{\,x \in \mathbb{R} \mid x \gt a\,\}.\]Un couple \((a\,;b)\) est la donnée de deux objets dans un ordre précis. Contrairement à la paire \(\{a,b\}\), l'ordre compte : en général \((a\,;b) \ne (b\,;a)\).
Le produit cartésien de deux ensembles \(A\) et \(B\), noté \(A \times B\), est l'ensemble de tous les couples \((a\,;b)\) où \(a \in A\) et \(b \in B\) :
\[A \times B = \{\,(a\,;b) \mid a \in A \text{ et } b \in B\,\}.\]Si \(A\) et \(B\) sont finis, alors \(\operatorname{Card}(A \times B) = \operatorname{Card}(A) \times \operatorname{Card}(B)\).
Le plan muni d'un repère s'identifie à \(\mathbb{R} \times \mathbb{R} = \mathbb{R}^2\) : un point \(M\) y est repéré par le couple de ses coordonnées \((x\,;y)\).
Avec \(A=\{1,2\}\) et \(B=\{a,b,c\}\), on a \(\operatorname{Card}(A\times B)=2\times 3=6\).
L'ordre compte dans un couple : \((1,2) \ne (2,1)\), alors que \(\{1,2\} = \{2,1\}\).
\(A\times B = \{(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2)\}\), donc \(\operatorname{Card}(A\times B) = 2\times 3 = 6\).
Une proposition est un énoncé mathématique qui est soit vrai, soit faux (jamais les deux). Deux propositions \(P\) et \(Q\) se combinent avec :
| \(P\) | \(Q\) | \(P\) et \(Q\) | \(P\) ou \(Q\) |
|---|---|---|---|
| V | V | V | V |
| V | F | F | V |
| F | V | F | V |
| F | F | F | F |
Tables de vérité des connecteurs « et » et « ou » (V = vrai, F = faux).
Une lettre peut être :
L'implication « \(P \Rightarrow Q\) » (« si \(P\) alors \(Q\) ») signifie : chaque fois que \(P\) est vraie, \(Q\) l'est aussi.
À l'implication \(P \Rightarrow Q\) on associe :
Une implication et sa contraposée sont toujours simultanément vraies ou fausses : elles sont équivalentes. En revanche, la réciproque n'a en général pas la même valeur de vérité que l'implication de départ.
L'équivalence « \(P \iff Q\) » (« \(P\) si et seulement si \(Q\) ») signifie que l'on a à la fois \(P \Rightarrow Q\) et \(Q \Rightarrow P\). On dit alors que \(P\) est une condition nécessaire et suffisante de \(Q\).
Soit \(x\) un réel. L'implication « \(x = 2 \Rightarrow x^2 = 4\) » est vraie. Sa réciproque « \(x^2 = 4 \Rightarrow x = 2\) » est fausse (car \(x = -2\) convient aussi). Sa contraposée « \(x^2 \ne 4 \Rightarrow x \ne 2\) » est vraie.
Exemple résolu. Implication : « si un quadrilatère est un carré, alors c'est un rectangle ». Réciproque : « si un quadrilatère est un rectangle, alors c'est un carré » (fausse). Contraposée : « si un quadrilatère n'est pas un rectangle, alors ce n'est pas un carré » (vraie, comme l'implication de départ).
Réciproque : « si \(n\) est pair, alors \(n\) est un multiple de \(4\) » — fausse (\(n=6\) est pair mais pas multiple de \(4\)).
Contraposée : « si \(n\) n'est pas pair, alors \(n\) n'est pas un multiple de \(4\) » — vraie (comme l'implication de départ).
Beaucoup de propositions comportent une quantification :
On note parfois \(\forall\) et \(\exists\), symboles non exigibles : on emploie les formulations en toutes lettres.
L'énoncé « le carré d'un nombre est positif » signifie en réalité « pour tout réel \(x\), \(x^2 \ge 0\) ». Repérer ces quantifications cachées est indispensable pour raisonner correctement.
| Proposition | Sa négation |
|---|---|
| Pour tout \(x\), \(P(x)\) | Il existe \(x\) tel que (non \(P(x)\)) |
| Il existe \(x\) tel que \(P(x)\) | Pour tout \(x\), (non \(P(x)\)) |
| \(P\) et \(Q\) | (non \(P\)) ou (non \(Q\)) |
| \(P\) ou \(Q\) | (non \(P\)) et (non \(Q\)) |
La négation échange « pour tout » et « il existe », ainsi que « et » et « ou » (De Morgan).
La négation de « tous les élèves de la classe sont présents » est « il existe (au moins) un élève de la classe absent ».
La négation de « il existe un réel \(x\) tel que \(x^2 = -1\) » est « pour tout réel \(x\), \(x^2 \ne -1\) » (proposition vraie).
Exemple résolu. « Pour tout réel \(x\), \(\sqrt{x^2} = x\). » Prenons \(x = -3\) : \(\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3 \ne -3\). La proposition est fausse (la formule correcte est \(\sqrt{x^2} = |x|\)).
Un contre-exemple prouve qu'une proposition est fausse ; il ne peut jamais prouver qu'un énoncé général est vrai. Un ou plusieurs exemples favorables ne démontrent rien.
Négation : « Il existe un réel \(x\) tel que \(x \gt 2\) et \(x^2 \le 4\) ».
Cette négation est fausse : dès que \(x \gt 2\), on a \(x^2 \gt 4\). Donc l'énoncé initial est vrai.
On partage l'ensemble des situations possibles en plusieurs cas exhaustifs, et on démontre la propriété dans chacun.
Exemple (démonstration). Montrons que pour tout entier \(n\), le produit \(n(n+1)\) est pair.
Dans tous les cas, \(n(n+1)\) est pair. \(\blacksquare\)
Pour démontrer \(P \Rightarrow Q\), on démontre à la place sa contraposée \((\text{non } Q) \Rightarrow (\text{non } P)\), qui lui est équivalente.
Exemple (démonstration). Montrons que si \(n^2\) est impair, alors \(n\) est impair.
Donc l'implication de départ est vraie. \(\blacksquare\)
Pour démontrer une proposition \(P\), on suppose que \(P\) est fausse et on aboutit à une contradiction ; on en conclut que \(P\) est vraie.
Montrons que \(\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}\). Supposons par l'absurde que \(\sqrt{2} = \dfrac{p}{q}\) avec la fraction irréductible. Alors \(p^2 = 2q^2\), donc \(p^2\) est pair, donc \(p\) est pair, \(p = 2p'\). Ainsi \(4p'^2 = 2q^2\), soit \(q^2 = 2p'^2\) : \(q\) est pair aussi. Mais alors \(p\) et \(q\) sont tous deux pairs, ce qui contredit l'irréductibilité de la fraction. D'où la contradiction : \(\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}\). \(\blacksquare\)
Contraposée : « si \(n\) est impair, alors \(n^2\) est impair ». Si \(n = 2k+1\), alors \(n^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2+2k)+1\) est impair. La contraposée étant vraie, la propriété l'est aussi. \(\blacksquare\)
La description d'ensembles en compréhension et en extension se transpose directement aux listes Python, où les conditions permettent de travailler la logique :
# En extension
impairs = [1, 3, 5, 7]
# En compréhension : {n entier | 0 <= n <= 7 et n impair}
impairs = [n for n in range(8) if n % 2 == 1] # [1, 3, 5, 7]La condition if n % 2 == 1 correspond à la propriété caractéristique de l'ensemble en compréhension.
❌ Confondre \(\in\) et \(\subset\).
✅ \(2 \in \mathbb{N}\) (élément) ; \(\{2\} \subset \mathbb{N}\) (ensemble).
❌ Confondre une implication et sa réciproque.
✅ « Si… alors… » ne se retourne pas librement : la réciproque se démontre séparément.
❌ Nier un « pour tout » par un autre « pour tout ».
✅ La négation d'un « pour tout » est un « il existe … non ».
❌ Croire que le « ou » mathématique est exclusif.
✅ Le « ou » est inclusif : « \(P\) ou \(Q\) » reste vraie quand les deux le sont.
❌ Choisir un contre-exemple qui ne vérifie pas l'hypothèse.
✅ Un contre-exemple doit vérifier l'hypothèse et contredire la conclusion.