Vocabulaire ensembliste et logique | Première générale (spécialité) | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
Soit \(A = \{-2, -1, 0, 1, 2\}\) et \(B = \{\,x \in \mathbb{Z} \mid x^2 \le 1\,\}\).
1. Déterminer \(B\) en extension.
2. Déterminer \(A \cap B\), \(A \cup B\) et le complémentaire \(\overline{B}\) de \(B\) dans \(A\).
3. Donner \(\operatorname{Card}(A)\), \(\operatorname{Card}(B)\) et \(\operatorname{Card}(A\cup B)\).
1. \(x^2\le 1 \iff -1\le x\le 1\), donc \(B = \{-1, 0, 1\}\).
2. \(A \cap B = \{-1,0,1\}\) ; \(A \cup B = \{-2,-1,0,1,2\} = A\) ; \(\overline{B}\) dans \(A\) vaut \(\{-2, 2\}\).
3. \(\operatorname{Card}(A)=5\) ; \(\operatorname{Card}(B)=3\) ; \(\operatorname{Card}(A\cup B)=5\).
On considère \(A = \{1,\,2,\,3,\,4\}\).
1. Compléter par \(\in\) ou \(\subset\) : \(3 \;\square\; A\) ; \(\{3\} \;\square\; A\) ; \(\{1,\,2\} \;\square\; A\) ; \(5 \;\square\; A\).
2. Vrai ou faux : \(\varnothing \subset A\) ? \(A \subset A\) ? \(A \in A\) ?
1. \(3 \in A\) (élément) ; \(\{3\} \subset A\) (ensemble) ; \(\{1,\,2\} \subset A\) ; \(5 \notin A\).
2. \(\varnothing \subset A\) : vrai ; \(A \subset A\) : vrai ; \(A \in A\) : faux (\(A\) n'est pas l'un des éléments \(1,2,3,4\)).
On pose \(E = \{1,2,3,4,5,6,7,8\}\), \(A = \{1,2,4,8\}\) et \(B = \{2,3,5,7\}\).
1. Déterminer \(A\cap B\), \(A\cup B\), \(\overline{A}\) et \(\overline{B}\).
2. Vérifier sur cet exemple que \(\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}\).
3. Calculer \(\operatorname{Card}(A\cup B)\) et vérifier \(\operatorname{Card}(A)+\operatorname{Card}(B)-\operatorname{Card}(A\cap B)\).
1. \(A\cap B=\{2\}\) ; \(A\cup B=\{1,2,3,4,5,7,8\}\) ; \(\overline{A}=\{3,5,6,7\}\) ; \(\overline{B}=\{1,4,6,8\}\).
2. \(\overline{A\cup B}=\{6\}\) et \(\overline{A}\cap\overline{B}=\{6\}\). Égalité vérifiée. ✓
3. \(\operatorname{Card}(A\cup B)=7\). Vérification : \(4+4-1=7\). ✓
Écrire la négation de chaque proposition, puis dire si la négation est vraie ou fausse.
1. « Pour tout réel \(x\), si \(x \gt 2\) alors \(x^2 \gt 4\). »
2. « Il existe un entier \(n\) tel que \(n^2 = 2\). »
3. « Pour tout réel \(x\), \(x^2 \geqslant 0\). »
1. « Il existe un réel \(x\) tel que \(x \gt 2\) et \(x^2 \le 4\) » — fausse (donc l'énoncé initial est vrai).
2. « Pour tout entier \(n\), \(n^2 \ne 2\) » — vraie (\(\sqrt{2}\) n'est pas entier).
3. « Il existe un réel \(x\) tel que \(x^2 \lt 0\) » — fausse (un carré est toujours positif).
Chacune des propositions suivantes est fausse. Donner un contre-exemple.
1. « Pour tout réel \(x\), \(x^2 \ge x\). »
2. « Pour tout réel \(x\), \(\sqrt{x^2} = x\). »
3. « La somme de deux nombres irrationnels est irrationnelle. »
1. \(x = \tfrac12\) : \(x^2 = \tfrac14 \lt \tfrac12 = x\). (L'inégalité n'est vraie que pour \(x \le 0\) ou \(x \ge 1\).)
2. \(x = -3\) : \(\sqrt{(-3)^2} = 3 \ne -3\) (la formule correcte est \(\sqrt{x^2}=|x|\)).
3. \(\sqrt{2}\) et \(-\sqrt{2}\) sont irrationnels, mais \(\sqrt{2}+(-\sqrt{2}) = 0\) est rationnel.
1. Pour l'implication « si \(n\) est un multiple de \(4\), alors \(n\) est pair », donner la réciproque et la contraposée, et préciser lesquelles sont vraies.
2. Reformuler « si \(n\) est un multiple de \(4\), alors \(n\) est pair » avec les expressions « condition nécessaire » et « condition suffisante ».
3. L'implication « \(x = 2 \Rightarrow x^2 = 4\) » est-elle une équivalence ? Justifier.
1. Réciproque : « si \(n\) est pair, alors \(n\) est un multiple de \(4\) » — fausse (\(n=6\)). Contraposée : « si \(n\) n'est pas pair, alors \(n\) n'est pas un multiple de \(4\) » — vraie.
2. « \(n\) multiple de \(4\) » est une condition suffisante pour « \(n\) pair » ; « \(n\) pair » est une condition nécessaire pour « \(n\) multiple de \(4\) ».
3. Non : la réciproque « \(x^2 = 4 \Rightarrow x = 2\) » est fausse (\(x=-2\)). Ce n'est donc pas une équivalence.
On pose \(A = \{1, 2\}\) et \(B = \{a, b, c\}\).
1. Écrire tous les éléments de \(A\times B\).
2. Donner \(\operatorname{Card}(A\times B)\) et vérifier avec la formule.
3. A-t-on \((1\,;a) = (a\,;1)\) ? Justifier.
1. \(A\times B = \{(1;a),(1;b),(1;c),(2;a),(2;b),(2;c)\}\).
2. \(\operatorname{Card}(A\times B) = 2\times 3 = 6\). ✓
3. Non : dans un couple, l'ordre compte, donc \((1\,;a) \ne (a\,;1)\).
Cet exercice mobilise les trois types de raisonnement du chapitre.
1. Démontrer par disjonction des cas que, pour tout entier \(n\), le nombre \(n^2 + n\) est pair.
2. Démontrer par contraposée que, pour tout entier \(n\), si \(n^2\) est pair alors \(n\) est pair.
3. Démontrer par l'absurde que \(\sqrt{2}\) n'est pas un nombre rationnel.
1. On factorise : \(n^2+n = n(n+1)\). Si \(n\) est pair, \(n(n+1)\) est multiple de \(2\) ; si \(n\) est impair, \(n+1\) est pair donc \(n(n+1)\) est multiple de \(2\). Dans tous les cas, \(n^2+n\) est pair.
2. Contraposée : « si \(n\) est impair, alors \(n^2\) est impair ». Si \(n=2k+1\), alors \(n^2 = 4k^2+4k+1 = 2(2k^2+2k)+1\) est impair. La contraposée est vraie, donc l'implication de départ aussi.
3. Supposons par l'absurde \(\sqrt{2} = \tfrac{p}{q}\) avec \(\tfrac{p}{q}\) irréductible. Alors \(p^2 = 2q^2\), donc \(p^2\) est pair, donc \(p\) est pair : \(p=2p'\). D'où \(4p'^2 = 2q^2\), soit \(q^2 = 2p'^2\), donc \(q\) est pair. \(p\) et \(q\) sont alors tous deux pairs : contradiction avec l'irréductibilité. Donc \(\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}\).