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L'essentiel :
- Symboles : \(\in\) (appartient), \(\notin\), \(\subset\) (inclus), \(\cup\) (réunion), \(\cap\) (intersection), \(\overline{A}\) (complémentaire), \(\varnothing\) (ensemble vide), \(\operatorname{Card}\) (cardinal).
- \(\in\) relie un élément à un ensemble ; \(\subset\) relie deux ensembles.
- Le « ou » mathématique est inclusif. La négation échange « et »/« ou » et « pour tout »/« il existe ».
- Une implication et sa contraposée ont la même valeur ; l'implication et sa réciproque, non.
- Un contre-exemple suffit pour prouver qu'un énoncé « pour tout … » est faux.
Définitions clés
Définition
Ensemble : collection d'éléments, décrit en extension \(\{1,3,5\}\) ou en compréhension \(\{\,n\in\mathbb{N}\mid n \text{ impair}\,\}\). L'ordre et les répétitions ne comptent pas.
Définition
Inclusion : \(A\subset B\) signifie que tout élément de \(A\) est dans \(B\). Double inclusion : \(A=B \iff (A\subset B \text{ et } B\subset A)\).
Définition
Couple : \((a\,;b)\), donnée ordonnée, \((a\,;b)\neq(b\,;a)\) en général. Produit cartésien : \(A\times B=\{(a\,;b)\mid a\in A \text{ et } b\in B\}\).
Définition
Statut : une égalité est une identité (vraie pour tout) ou une équation (valeurs à trouver) ; une lettre est variable, inconnue ou paramètre.
À connaître par cœur
Opérations sur les ensembles
\[x \in A \cup B \iff x\in A \ \text{ou}\ x\in B\]
\[x \in A \cap B \iff x\in A \ \text{et}\ x\in B\]
\[x \in \overline{A} \iff x\in E \ \text{et}\ x\notin A\]
Lois de De Morgan
\[\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B} \qquad \overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}\]
Cardinal et produit cartésien
\[\operatorname{Card}(A \times B) = \operatorname{Card}(A) \times \operatorname{Card}(B)\]
Ensembles de nombres emboîtés
\[\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\]
Négations à connaître
- Négation de « \(x = a\) » : « \(x \neq a\) » ; de « \(x \gt a\) » : « \(x \leqslant a\) ».
- Négation de « \(P\) et \(Q\) » : « (non \(P\)) ou (non \(Q\)) » ; de « \(P\) ou \(Q\) » : « (non \(P\)) et (non \(Q\)) ».
- Négation de « pour tout \(x\), \(P(x)\) » : « il existe \(x\) tel que (non \(P(x)\)) ».
- Négation de « il existe \(x\) tel que \(P(x)\) » : « pour tout \(x\), (non \(P(x)\)) ».
Implication et ses variantes
- Implication : \(P\Rightarrow Q\). \(P\) suffisante, \(Q\) nécessaire.
- Réciproque : \(Q\Rightarrow P\) (pas forcément vraie).
- Contraposée : (non \(Q\))\(\Rightarrow\)(non \(P\)), toujours vraie en même temps que l'implication.
- Équivalence : \(P\Leftrightarrow Q\) = les deux implications (condition nécessaire et suffisante).
Méthode — Opérations et démonstrations
Méthode — Réunion, intersection, complémentaire
- Repérer l'ensemble de référence \(E\).
- \(A\cap B\) : éléments présents dans les deux listes.
- \(A\cup B\) : toutes les listes réunies, sans répéter.
- \(\overline{A}\) : éléments de \(E\) absents de \(A\).
Méthode — Prouver ou réfuter
- Réfuter un « pour tout … » → un seul contre-exemple.
- Prouver \(P\Rightarrow Q\) difficile → prouver sa contraposée.
- Couvrir toutes les possibilités → disjonction des cas.
- Nier ce qu'on veut prouver mène à une absurdité → raisonnement par l'absurde (ex. \(\sqrt{2}\notin\mathbb{Q}\)).
Erreurs fréquentes
Attention
❌ Confondre \(\in\) et \(\subset\).
✅ \(2 \in \mathbb{N}\) (élément) ; \(\{2\} \subset \mathbb{N}\) (ensemble).
❌ Confondre implication et réciproque.
✅ \(P\Rightarrow Q\) ne donne pas \(Q\Rightarrow P\).
❌ Nier un « pour tout » par un autre « pour tout ».
✅ La négation d'un « pour tout » est un « il existe … non ».
❌ Oublier l'ordre dans un couple.
✅ \((1,2)\neq(2,1)\), alors que \(\{1,2\}=\{2,1\}\).
Exemple rapide
Exemple — un énoncé, plusieurs réponses
\(E=\{1,2,3,4,5,6\}\), \(A=\{1,2,3\}\), \(B=\{2,4,6\}\).
- \(A\cap B=\{2\}\) (éléments communs).
- \(A\cup B=\{1,2,3,4,6\}\) (tous, sans répéter).
- \(\overline{A}=\{4,5,6\}\) (le reste de \(E\)).
- \(\overline{A\cup B}=\{5\}=\overline{A}\cap\overline{B}\) (De Morgan).