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Fiche résumé — Mouvement dans un champ de gravitation (lois de Kepler)

Chapitre 11 | Terminale générale (spécialité) | Physique-Chimie

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026, 00:45

1. Force et champ de gravitation

Deux corps de masses \(m_A\), \(m_B\) distants de \(d\) s'attirent avec la force :

\(F=G\,\dfrac{m_A\,m_B}{d^2}\)

\(G=6{,}67\times10^{-11}\) SI. Un astre de masse \(M\) crée un champ radial \(\mathcal{G}=G\dfrac{M}{r^2}\) (N·kg⁻¹), dirigé vers son centre ; \(\vec{F}=m\,\vec{\mathcal{G}}\).

Astuce : au sol, \(\mathcal{G}\approx9{,}8\) N·kg⁻¹ : c'est le champ de pesanteur \(g\).

2. Les trois lois de Kepler

  • 1ʳᵉ (orbites) : trajectoire elliptique, l'astre central à un foyer.
  • 2ᵉ (aires) : le rayon balaie des aires égales en durées égales → plus rapide près de l'astre.
  • 3ᵉ (périodes) : \(\dfrac{T^2}{a^3}=\text{constante}\).
Loi des aires (2ᵉ loi de Kepler)Le segment Soleil-comète balaie des aires égales en des durées égales : la comète va plus vite au périhélie (près du Soleil) qu’à l’aphélie.Soleilpérihélieaphélievvaires balayées égales pendant des durées égales
Orbite elliptique (Soleil à un foyer) ; aires égales en durées égales.
Piège : la constante dépend de l'astre central : même système seulement.

3. Accélération centripète

Mouvement circulaire uniforme : \(\vec{v}\) tangent, \(\vec{a}\) dirigée vers le centre (centripète) :

\(a=\dfrac{v^2}{r}\)

Cohérent avec la 2ᵉ loi : la gravitation, seule force, est aussi centripète et « courbe » la trajectoire.

Satellite en orbite circulaireLa vitesse v est tangente à l’orbite ; la force de gravitation F est centripète (dirigée vers l’astre central).astresatellitevFr
Mouvement circulaire uniforme : v tangente, a centripète (vers le centre).
Piège : « uniforme » = valeur constante, mais la direction change → \(\vec{a}\neq\vec{0}\).

4. Satellite circulaire

En égalant gravitation et masse × accélération centripète (\(m\) se simplifie) :

\(v=\sqrt{\dfrac{G\,M}{r}}\;,\quad T=2\pi\sqrt{\dfrac{r^3}{G\,M}}\)

\(v\) ne dépend pas de la masse du satellite ; orbite haute = satellite lent. On retrouve \(\dfrac{T^2}{r^3}=\dfrac{4\pi^2}{GM}\) (3ᵉ loi).

Géostationnaire : \(T\approx23\)h\(56\)min, plan équatorial, même sens ; altitude unique ≈ 36 000 km.

Exemple type — vitesse d'un satellite

Un satellite décrit une orbite circulaire de rayon \(r=7{,}0\times10^{6}\) m autour de la Terre (\(G=6{,}67\times10^{-11}\) SI, \(M_T=6{,}0\times10^{24}\) kg).

La 2ᵉ loi projetée sur la normale donne \(\dfrac{G\,M_T\,m}{r^2}=m\,\dfrac{v^2}{r}\), d'où \(v=\sqrt{\dfrac{G\,M_T}{r}}\).

\(v=\sqrt{\dfrac{6{,}67\times10^{-11}\times6{,}0\times10^{24}}{7{,}0\times10^{6}}}\approx\sqrt{5{,}7\times10^{7}}\approx7{,}6\times10^{3}\) m·s⁻¹.

Résumé express — Méthode type

1Identifier la seule force : la gravitation, dirigée vers le centre
2Écrire la 2ᵉ loi avec \(a=\dfrac{v^2}{r}\) : \(G\dfrac{Mm}{r^2}=m\dfrac{v^2}{r}\)
3En déduire \(v=\sqrt{GM/r}\) puis \(T=\dfrac{2\pi r}{v}\) (attention : \(r=R_T+h\))
4Pour comparer deux corps d'un même système : \(\dfrac{T_1^2}{a_1^3}=\dfrac{T_2^2}{a_2^3}\)
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