Mouvement dans un champ de gravitation (lois de Kepler) | Physique-Chimie | Terminale spécialité
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026, 00:45
Deux corps de masses \(m_A\) et \(m_B\), séparés d'une distance \(d\), s'attirent. Donnée : \(G = 6{,}67\times 10^{-11}\) N·m\(^2\)·kg\(^{-2}\).
1. Écris l'expression de la valeur de la force. 2. Calcule-la pour \(m_A = m_B = 1{,}0\times 10^{3}\) kg et \(d = 2{,}0\) m.
1. \(F = G\,\dfrac{m_A\,m_B}{d^2}\).
2. \(F = 6{,}67\times 10^{-11}\times\dfrac{(1{,}0\times 10^{3})^2}{2{,}0^2}=6{,}67\times 10^{-11}\times\dfrac{10^{6}}{4}\approx 1{,}7\times 10^{-5}\) N (très faible).
Le champ de gravitation créé par un astre de masse \(M\) à la distance \(r\) de son centre a pour valeur \(\mathcal{G}=\dfrac{G\,M}{r^2}\).
Calcule le champ de gravitation à la surface de la Terre. Données : \(M_T = 6{,}0\times 10^{24}\) kg, \(R_T = 6{,}4\times 10^{6}\) m.
\(\mathcal{G}=\dfrac{6{,}67\times 10^{-11}\times 6{,}0\times 10^{24}}{(6{,}4\times 10^{6})^2}=\dfrac{4{,}0\times 10^{14}}{4{,}1\times 10^{13}}\approx 9{,}8\) N·kg\(^{-1}\).
On retrouve bien \(\mathcal{G}\approx g\approx 9{,}8\) N·kg\(^{-1}\) à la surface de la Terre.
Pour un satellite en orbite circulaire de rayon \(r\) autour d'un astre de masse \(M\), la deuxième loi de Newton conduit à \(v=\sqrt{\dfrac{G\,M}{r}}\).
1. Le rayon de l'orbite intervient-il ? La masse du satellite intervient-elle ? 2. Calcule \(v\) pour \(r = 7{,}0\times 10^{6}\) m (Terre, \(M_T = 6{,}0\times 10^{24}\) kg).
1. La vitesse dépend de \(M\) et de \(r\) mais pas de la masse du satellite. Plus l'orbite est haute (\(r\) grand), plus \(v\) est faible.
2. \(v=\sqrt{\dfrac{6{,}67\times 10^{-11}\times 6{,}0\times 10^{24}}{7{,}0\times 10^{6}}}=\sqrt{5{,}7\times 10^{7}}\approx 7{,}6\times 10^{3}\) m·s\(^{-1}\) (soit ≈ 7,6 km/s).
Pour les planètes du système solaire, le rapport \(\dfrac{T^2}{a^3}\) est constant (\(T\) période, \(a\) demi-grand axe).
La Terre a \(a_T = 1{,}0\) UA et \(T_T = 1{,}0\) an. Mars a \(a_M = 1{,}52\) UA. Estime la période de révolution de Mars.
\(\dfrac{T_M^2}{a_M^3}=\dfrac{T_T^2}{a_T^3}\Rightarrow T_M^2=T_T^2\times\dfrac{a_M^3}{a_T^3}=1{,}0^2\times\dfrac{1{,}52^3}{1{,}0^3}=1{,}52^3\approx 3{,}51\).
\(T_M=\sqrt{3{,}51}\approx 1{,}9\) an. (La valeur réelle est ≈ 1,88 an.)
1. Qu'est-ce qu'un satellite géostationnaire ? 2. Quelle est sa période de révolution ? 3. Dans quel plan doit se trouver son orbite ?
1. Un satellite géostationnaire paraît immobile pour un observateur terrestre : il reste toujours au-dessus du même point de la surface.
2. Il tourne à la même vitesse angulaire que la Terre : sa période est de 24 h (un jour sidéral, ≈ 23 h 56 min).
3. Son orbite est nécessairement dans le plan équatorial, et son sens est celui de la rotation terrestre.
Un satellite décrit une orbite circulaire de rayon \(r = 7{,}0\times 10^{6}\) m autour de la Terre à la vitesse \(v = 7{,}6\times 10^{3}\) m·s\(^{-1}\) (exercice 3).
1. Exprime la période \(T\) en fonction de \(r\) et \(v\). 2. Calcule \(T\) (en minutes). 3. Ce satellite peut-il être géostationnaire ?
1. Le satellite parcourt la circonférence \(2\pi r\) en une période à vitesse \(v\) : \(T=\dfrac{2\pi r}{v}\).
2. \(T=\dfrac{2\pi\times 7{,}0\times 10^{6}}{7{,}6\times 10^{3}}\approx 5{,}8\times 10^{3}\) s \(\approx 96\) min.
3. Non : sa période (≈ 96 min) est très inférieure à 24 h, il ne peut donc pas être géostationnaire (il faudrait une orbite bien plus haute, \(r\approx 4{,}2\times 10^{7}\) m).