🎯 Objectifs du chapitre cliquer pour développer

Repérer un point par son vecteur position dans un repère
Définir les vecteurs vitesse et accélération par dérivation
Calculer ces vecteurs par une approche discrète (chronophotographie)
Caractériser l'accélération selon la nature du mouvement
Décomposer l'accélération dans le repère de Frenet
Représenter les vecteurs d'un pointage avec un programme Python

Fiche résumé — Décrire un mouvement : vecteurs vitesse et accélération

Chapitre 9 | Terminale générale (spécialité) | Physique-Chimie

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

1. Position et vitesse

Dans un repère \((O\,;\,\vec{i},\vec{j})\) lié à un référentiel, le vecteur position repère le mobile :

\(\overrightarrow{OM}\begin{pmatrix}x(t)\\ y(t)\end{pmatrix}\)

Le vecteur vitesse est sa dérivée : \(\vec{v}=\dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{OM}}{\mathrm{d}t}\), soit \(v_x=\dot x\), \(v_y=\dot y\) (en m·s⁻¹).

Astuce : \(\vec{v}\) est toujours tangent à la trajectoire, dans le sens du mouvement.

2. Vecteur accélération

C'est la dérivée du vecteur vitesse (dérivée seconde de la position) :

\(\vec{a}=\dfrac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}\;,\quad a_x=\dot v_x\;,\quad a_y=\dot v_y\)

En m·s⁻². Elle traduit toute variation de \(\vec{v}\) : en valeur (accélère/freine) et en direction (tourne).

Piège : vitesse constante en valeur \(\neq\) accélération nulle (cas du circulaire uniforme).

3. Approche discrète (encadrement)

Sur une chronophotographie (pas de temps \(\tau\)), on estime au point \(M_i\) encadré par \(M_{i-1}\) et \(M_{i+1}\) :

\(\vec{v}(M_i)\approx\dfrac{\overrightarrow{M_{i-1}M_{i+1}}}{2\tau}\)

Puis \(\vec{a}(M_i)\approx\dfrac{\vec{v}_{i+1}-\vec{v}_{i-1}}{2\tau}\).

Astuce : la méthode centrée (point avant + point après) est plus précise que deux points consécutifs.

4. Nature du mouvement

Rectiligne uniforme : \(\vec{v}\) constant, donc \(\vec{a}=\vec{0}\).
Rectiligne unif. varié : \(\vec{a}\) constant, colinéaire à \(\vec{v}\) (même sens = accéléré ; opposé = freiné).
Circulaire uniforme : \(\vec{a}\) centripète (vers le centre), \(a=\dfrac{v^2}{R}\), avec \(v=\dfrac{2\pi R}{T}\).
Circulaire quelconque : \(\vec{a}\) a en plus une composante tangentielle \(a_t=\mathrm{d}v/\mathrm{d}t\) (voir carte 5).

Piège : \(\vec{a}\) centripète pointe vers le centre, jamais vers l'extérieur.

5. Repère de Frenet

Sur un cercle, deux vecteurs unitaires suivent le mobile : \(\vec u_t\) tangent, dans le sens du mouvement, et \(\vec u_n\) dirigé vers le centre.

\(\vec v=v\,\vec u_t\quad;\quad\vec a=\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\,\vec u_t+\dfrac{v^2}{R}\,\vec u_n\)

Norme : \(a=\sqrt{a_t^2+a_n^2}\). Si le mouvement est uniforme, \(a_t=0\) et il ne reste que \(a_n=v^2/R\).

Astuce : \(a_t\) dit si le mobile accélère ou ralentit ; \(a_n\) dit à quel point il tourne.

6. Capacité numérique — Python

À partir d'un pointage t, x, y, on calcule par la méthode centrée puis on trace avec quiver :

vx[i] = (x[i+1] - x[i-1]) / (t[i+1] - t[i-1])

Vitesses des indices 1 à \(N-2\), accélérations des indices 2 à \(N-3\) : les extrémités ne sont pas calculables.

Piège : une échelle pour les vitesses, une autre pour les accélérations, et jamais 0 à la place d'une valeur manquante.

Exemple type — vitesse par encadrement

Un mobile est repéré à intervalle régulier \(\tau=40\) ms. La distance \(M_1M_3\) mesurée vaut \(6{,}0\) cm. On cherche la vitesse au point \(M_2\).

\(\vec{v_2}\approx\dfrac{\overrightarrow{M_1M_3}}{2\tau}\), donc \(v_2\approx\dfrac{M_1M_3}{2\tau}=\dfrac{6{,}0\times10^{-2}}{2\times40\times10^{-3}}=\dfrac{6{,}0\times10^{-2}}{8{,}0\times10^{-2}}=0{,}75\) m·s⁻¹.

\(\vec{v_2}\) est tangent à la trajectoire en \(M_2\), dirigé dans le sens du mouvement (de \(M_1\) vers \(M_3\)).

Résumé express — Méthode type

1	Choisir référentiel et repère, écrire \(\overrightarrow{OM}\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}\)
2	Dériver (ou encadrer) pour obtenir \(\vec{v}\), puis \(\vec{a}\)
3	Calculer les valeurs \(v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}\) et \(a=\sqrt{a_x^2+a_y^2}\)
4	Conclure sur la nature du mouvement (\(\vec{a}=\vec{0}\), colinéaire, centripète)