🎯 Objectifs du chapitre cliquer pour développer

Modéliser une chute verticale avec frottement visqueux \(\vec{f}=-k\vec{v}\)
Établir l'équation différentielle \(\dfrac{dv}{dt}=g-\dfrac{k}{m}v\) (forme \(y'=a\,y+b\))
Caractériser la vitesse limite \(v_{lim}=mg/k\) et le temps caractéristique \(\tau=m/k\)
Établir la loi horaire \(v(t)=v_{lim}(1-e^{-t/\tau})\) et exploiter des résultats expérimentaux

Fiche résumé — Chute verticale avec frottement fluide

Chapitre 8 | Terminale STL — spécialité Physique-chimie et mathématiques | Physique-Chimie

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

1. Force de frottement fluide

Force qui s'oppose au mouvement, proportionnelle à la vitesse :

\(\vec{f}=-k\,\vec{v}\)

\(k>0\) : coefficient de frottement (kg·s⁻¹). Le signe − : \(\vec{f}\) freine (opposée à \(\vec{v}\)).

2. Équation différentielle

2ᵉ loi de Newton (axe vers le bas) :

\(m\dfrac{dv}{dt}=mg-kv\;\Rightarrow\;\dfrac{dv}{dt}=g-\dfrac{k}{m}v\)

Lien maths : forme \(y'=a\,y+b\) avec \(a=-\dfrac{k}{m}\), \(b=g\).

3. Régime permanent

La vitesse ne varie plus :

\(\dfrac{dv}{dt}=0\)

Le frottement compense le poids : \(k\,v_{lim}=mg\).

4. Vitesse limite

\(v_{lim}=\dfrac{m\,g}{k}\)

Vitesse maximale atteinte, en m·s⁻¹.

Piège : régime permanent ⇔ \(\frac{dv}{dt}=0\), pas \(v=0\).

5. Loi horaire v(t)

Avec \(v(0)=0\) :

\(v(t)=v_{lim}\left(1-e^{-t/\tau}\right)\)

\(v(0)=0\) ; \(v\to v_{lim}\) car \(e^{-t/\tau}\to0\).

6. Temps caractéristique τ

\(\tau=\dfrac{m}{k}\quad(\text{en s})\)

Intersection tangente à l'origine / asymptote \(v_{lim}\).
À \(t=\tau\) : \(v\approx\mathbf{63\%}\) de \(v_{lim}\) (car \(e^{-1}\approx0{,}37\)).

7. Allure de la courbe v(t)

8. Exploiter une courbe

\(v_{lim}\) = valeur du plateau (régime permanent).
\(\tau\) = abscisse où \(v=0{,}63\,v_{lim}\) (ou intersection tangente/asymptote).

9. Protocole (bille dans un fluide)

2 repères A, B (distance \(d\)) dans la zone basse (régime permanent).
Chronométrer \(\Delta t\) de A à B.

\(v_{lim}=\dfrac{d}{\Delta t}\)

Exemple type

\(m=6{,}0\ \text{g}\), \(k=0{,}15\ \text{kg·s}^{-1}\), \(g=9{,}81\ \text{m·s}^{-2}\).
\(v_{lim}=\dfrac{mg}{k}=\dfrac{6{,}0\times10^{-3}\times9{,}81}{0{,}15}\approx0{,}39\ \text{m·s}^{-1}\) ; \(\tau=\dfrac{m}{k}=\dfrac{6{,}0\times10^{-3}}{0{,}15}=0{,}040\ \text{s}\).
\(v(t)=0{,}39\left(1-e^{-t/0{,}040}\right)\) ; à \(t=\tau\), \(v\approx0{,}63\times0{,}39\approx0{,}25\ \text{m·s}^{-1}\).