Chapitre 8 | Terminale STL — spécialité Physique-chimie et mathématiques | Physique-Chimie
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
Exercices progressifs corrigés. On prendra \(g=9{,}81\ \text{m·s}^{-2}\). Cherche chaque exercice avant de dérouler la correction.
Une bille descend dans de la glycérine. Le coefficient de frottement vaut \(k=0{,}25\ \text{kg·s}^{-1}\).
(a) Rappeler l'expression vectorielle de la force de frottement fluide. (b) Calculer sa valeur \(f\) quand la bille descend à \(v=0{,}30\ \text{m·s}^{-1}\). (c) Préciser le sens de \(\vec{f}\).
(a) \(\vec{f}=-k\,\vec{v}\), opposée à la vitesse.
(b) \(f=k\,v=0{,}25\times0{,}30=0{,}075\ \text{N}=7{,}5\times10^{-2}\ \text{N}\).
(c) La bille descend, donc \(\vec{f}\) est dirigée vers le haut : elle freine la chute.
Une bille de masse \(m\) tombe dans un fluide en subissant le poids et le frottement \(\vec{f}=-k\,\vec{v}\). On oriente l'axe \(Oz\) vers le bas.
(a) Faire le bilan des forces projetées sur \(Oz\). (b) En appliquant la 2ᵉ loi de Newton, établir l'équation différentielle vérifiée par \(v\). (c) La mettre sous la forme \(\dfrac{dv}{dt}=g-\dfrac{k}{m}v\) et identifier \(a\) et \(b\) dans \(y'=a\,y+b\).
(a) Projetées sur l'axe descendant : poids \(+mg\) ; frottement \(-k\,v\).
(b) 2ᵉ loi de Newton : \(m\,a_z=\sum F_z\) avec \(a_z=\dfrac{dv}{dt}\), donc \(m\dfrac{dv}{dt}=mg-k\,v\).
(c) En divisant par \(m\) : \(\dfrac{dv}{dt}=g-\dfrac{k}{m}v\). On a \(a=-\dfrac{k}{m}\) et \(b=g\).
Une bille d'acier de masse \(m=7{,}0\ \text{g}\) chute dans de l'huile ; le coefficient de frottement vaut \(k=0{,}14\ \text{kg·s}^{-1}\).
(a) Écrire la condition de régime permanent. (b) En déduire l'expression puis la valeur de la vitesse limite \(v_{lim}\).
(a) En régime permanent, la vitesse ne varie plus : \(\dfrac{dv}{dt}=0\).
(b) \(0=g-\dfrac{k}{m}v_{lim}\Rightarrow v_{lim}=\dfrac{mg}{k}=\dfrac{7{,}0\times10^{-3}\times9{,}81}{0{,}14}=\dfrac{0{,}0687}{0{,}14}\approx0{,}49\ \text{m·s}^{-1}\).
Une bille a une masse \(m=10{,}0\ \text{g}\) et subit un frottement caractérisé par \(k=0{,}20\ \text{kg·s}^{-1}\).
(a) Calculer la vitesse limite \(v_{lim}\). (b) Calculer le temps caractéristique \(\tau=\dfrac{m}{k}\). (c) Quelle vitesse la bille a-t-elle atteinte à \(t=\tau\) ? (d) Au bout de combien de temps peut-on considérer le régime permanent atteint ?
(a) \(v_{lim}=\dfrac{mg}{k}=\dfrac{10{,}0\times10^{-3}\times9{,}81}{0{,}20}=\dfrac{0{,}0981}{0{,}20}\approx0{,}49\ \text{m·s}^{-1}\).
(b) \(\tau=\dfrac{m}{k}=\dfrac{10{,}0\times10^{-3}}{0{,}20}=0{,}050\ \text{s}\).
(c) À \(t=\tau\) : \(v(\tau)=v_{lim}(1-e^{-1})\approx0{,}63\times0{,}49\approx0{,}31\ \text{m·s}^{-1}\).
(d) Après \(3\tau\) à \(5\tau\), soit environ \(0{,}15\) à \(0{,}25\ \text{s}\) (à \(5\tau\), \(v>99\%\ v_{lim}\)).
On admet que \(v(t)=v_{lim}\left(1-e^{-t/\tau}\right)\) est solution de l'équation différentielle.
(a) Vérifier la valeur \(v(0)\). (b) Que vaut \(v(t)\) quand \(t\to+\infty\) ? Justifier avec la limite de l'exponentielle. (c) On donne \(v_{lim}=0{,}40\ \text{m·s}^{-1}\) et \(\tau=0{,}10\ \text{s}\). Calculer \(v(t)\) à \(t=0{,}10\ \text{s}\) puis à \(t=0{,}20\ \text{s}\) (on prendra \(e^{-1}\approx0{,}37\), \(e^{-2}\approx0{,}14\)).
(a) \(v(0)=v_{lim}(1-e^{0})=v_{lim}(1-1)=0\) : la bille part sans vitesse.
(b) Quand \(t\to+\infty\), \(e^{-t/\tau}\to0\), donc \(v(t)\to v_{lim}\) : régime permanent.
(c) À \(t=\tau=0{,}10\ \text{s}\) : \(v=0{,}40(1-0{,}37)=0{,}40\times0{,}63\approx0{,}25\ \text{m·s}^{-1}\).
À \(t=2\tau=0{,}20\ \text{s}\) : \(v=0{,}40(1-0{,}14)=0{,}40\times0{,}86\approx0{,}34\ \text{m·s}^{-1}\).
On lâche une bille dans une huile et on enregistre sa vitesse :
| \(t\) (s) | 0 | 0,05 | 0,10 | 0,15 | 0,20 | 0,30 | 0,40 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(v\) (m·s\(^{-1}\)) | 0 | 0,22 | 0,35 | 0,42 | 0,46 | 0,49 | 0,50 |
(a) Identifier la vitesse limite \(v_{lim}\). (b) Estimer le temps caractéristique \(\tau\) (méthode des 63 %). (c) En déduire une estimation du rapport \(k/m\) sachant que \(\tau=m/k\).
(a) La vitesse se stabilise vers \(0{,}50\ \text{m·s}^{-1}\) à partir de \(t\approx0{,}30\ \text{s}\) → \(v_{lim}\approx0{,}50\ \text{m·s}^{-1}\).
(b) \(0{,}63\,v_{lim}=0{,}63\times0{,}50\approx0{,}32\ \text{m·s}^{-1}\). Cette valeur est atteinte entre \(t=0{,}05\) et \(0{,}10\ \text{s}\), soit \(\tau\approx0{,}08\ \text{s}\).
(c) \(\tau=\dfrac{m}{k}\Rightarrow\dfrac{k}{m}=\dfrac{1}{\tau}=\dfrac{1}{0{,}08}\approx13\ \text{s}^{-1}\).
Au laboratoire, on étudie la chute d'une bille d'acier de masse \(m=6{,}0\ \text{g}\) lâchée sans vitesse initiale dans une éprouvette de glycérine. Le coefficient de frottement fluide est \(k=0{,}15\ \text{kg·s}^{-1}\). On prendra \(g=9{,}81\ \text{m·s}^{-2}\).
Partie A — modélisation
(1) Établir l'équation différentielle vérifiée par la vitesse \(v\), sous la forme \(\dfrac{dv}{dt}=g-\dfrac{k}{m}v\). Donner les valeurs numériques de \(a\) et \(b\).
(2) Calculer la vitesse limite \(v_{lim}\) et le temps caractéristique \(\tau\).
(3) Écrire la loi horaire \(v(t)\) avec les valeurs numériques.
Partie B — exploitation expérimentale
Pour vérifier la modélisation, on mesure la vitesse limite : la bille, en régime permanent, parcourt \(d=12{,}0\ \text{cm}\) entre deux repères en \(\Delta t=0{,}31\ \text{s}\).
(4) Décrire brièvement où placer les deux repères sur l'éprouvette et pourquoi.
(5) Calculer la vitesse limite expérimentale \(v_{lim}^{exp}\).
(6) Comparer à la valeur théorique de la question (2) et commenter.
(1) 2ᵉ loi de Newton sur l'axe descendant : \(m\dfrac{dv}{dt}=mg-kv\), soit \(\dfrac{dv}{dt}=g-\dfrac{k}{m}v\).
\(\dfrac{k}{m}=\dfrac{0{,}15}{6{,}0\times10^{-3}}=25\ \text{s}^{-1}\). Donc \(a=-25\ \text{s}^{-1}\) et \(b=g=9{,}81\ \text{m·s}^{-2}\) : \(\dfrac{dv}{dt}=9{,}81-25\,v\).
(2) \(v_{lim}=\dfrac{mg}{k}=\dfrac{6{,}0\times10^{-3}\times9{,}81}{0{,}15}=\dfrac{0{,}0589}{0{,}15}\approx0{,}39\ \text{m·s}^{-1}\).
\(\tau=\dfrac{m}{k}=\dfrac{6{,}0\times10^{-3}}{0{,}15}=0{,}040\ \text{s}\).
(3) \(v(t)=v_{lim}\left(1-e^{-t/\tau}\right)=0{,}39\left(1-e^{-t/0{,}040}\right)\ \text{(m·s}^{-1}\text{)}\), soit \(v(t)=0{,}39\left(1-e^{-25\,t}\right)\).
(4) Les repères A et B doivent être placés dans la partie basse de l'éprouvette, où la bille a déjà atteint le régime permanent (vitesse constante). Sinon la vitesse mesurée ne serait pas la vitesse limite.
(5) \(v_{lim}^{exp}=\dfrac{d}{\Delta t}=\dfrac{12{,}0\times10^{-2}}{0{,}31}=\dfrac{0{,}120}{0{,}31}\approx0{,}39\ \text{m·s}^{-1}\).
(6) \(v_{lim}^{exp}\approx0{,}39\ \text{m·s}^{-1}\), en très bon accord avec la valeur théorique \(v_{lim}\approx0{,}39\ \text{m·s}^{-1}\) : le modèle de frottement \(\vec{f}=-k\vec{v}\) décrit correctement la chute de la bille dans la glycérine.