Chapitre 8 – Chute verticale avec frottement fluide
Chapitre 8 | Terminale STL — spécialité Physique-chimie et mathématiques | Physique-Chimie
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
⏱ Durée de lecture estimée : ~22 min
Objectifs du chapitre :
- Modéliser la chute verticale d'un corps dans un fluide par une force de frottement visqueux \(\vec{f}=-k\,\vec{v}\).
- Établir l'équation différentielle vérifiée par la vitesse : \(m\,\dfrac{dv}{dt}=mg-k\,v\), soit \(\dfrac{dv}{dt}=g-\dfrac{k}{m}\,v\) (forme \(y'=a\,y+b\)).
- Caractériser le régime permanent et la vitesse limite \(v_{lim}=\dfrac{mg}{k}\).
- Identifier le temps caractéristique \(\tau=\dfrac{m}{k}\) et sa signification (tangente à l'origine, 63 % de \(v_{lim}\)).
- Établir la loi horaire de la vitesse \(v(t)=v_{lim}\left(1-e^{-t/\tau}\right)\).
- Exploiter des résultats expérimentaux pour repérer le régime permanent et estimer le temps caractéristique.
- Mettre en œuvre un protocole pour mesurer la vitesse en régime permanent (chute d'une bille dans un fluide visqueux).
Situation. On lâche une petite bille d'acier, sans vitesse initiale, à la surface d'une éprouvette remplie de glycérine. Elle plonge, accélère… mais très vite sa vitesse cesse d'augmenter : la bille descend alors à vitesse constante, régulière, comme si elle « tombait au ralenti ». Un parachutiste, un grêlon, une goutte de pluie, une bulle qui remonte dans un soda : tous atteignent de la même façon une vitesse qui ne varie plus. Comment décrire cette évolution ? Pourquoi la vitesse plafonne-t-elle ? Au bout de combien de temps ? Ce chapitre modélise la chute avec frottement fluide et résout, en physique, une équation différentielle de la forme \(y'=a\,y+b\) rencontrée en mathématiques.
1. Les forces qui s'exercent sur la bille
Définition — frottement fluide visqueux
Un corps qui se déplace dans un fluide (liquide ou gaz) subit une force de frottement fluide \(\vec{f}\) qui s'oppose à son mouvement. Pour une bille lente dans un liquide visqueux (glycérine, huile), on modélise cette force comme proportionnelle à la vitesse :
\(\vec{f}=-k\,\vec{v}\)
\(k\) est le coefficient de frottement (en kg·s\(^{-1}\)), toujours positif ; il dépend du fluide et de la bille. Le signe \(-\) traduit que \(\vec{f}\) est de sens opposé à la vitesse \(\vec{v}\) : la force freine toujours le mouvement.
Pendant sa chute, la bille (masse \(m\)) est soumise à trois forces verticales. On choisit un axe vertical \(Oz\) orienté vers le bas, dans le sens du mouvement. La vitesse \(v\) est alors positive.
Bilan des forces (axe descendant)
- le poids \(\vec{P}\), vers le bas, de valeur \(P=mg\) ;
- la poussée d'Archimède \(\vec{\Pi}\), vers le haut (souvent négligée pour une bille dense dans un liquide, ou intégrée au poids apparent) ;
- le frottement fluide \(\vec{f}=-k\,\vec{v}\), vers le haut tant que la bille descend, de valeur \(f=k\,v\).
Mini-exercice 1. Une bille descend dans de l'huile à la vitesse \(v=0{,}20\ \text{m·s}^{-1}\). Le coefficient de frottement vaut \(k=0{,}015\ \text{kg·s}^{-1}\). Calculer la valeur \(f\) de la force de frottement et préciser son sens.
\(f=k\,v=0{,}015\times0{,}20=3{,}0\times10^{-3}\ \text{N}\). La bille descend, donc \(\vec{f}\) est dirigée vers le haut (opposée à \(\vec{v}\)) : elle freine la chute.
2. L'équation différentielle de la vitesse
Méthode — établir l'équation différentielle (2ᵉ loi de Newton)
- Choisir le système (la bille) et un axe \(Oz\) vertical descendant.
- Faire le bilan des forces projetées sur \(Oz\) : poids \(+mg\) (vers le bas, positif), frottement \(-k\,v\) (vers le haut, négatif).
- Appliquer la 2ᵉ loi de Newton en projection : \(m\,a_z=\sum F_z\), avec \(a_z=\dfrac{dv}{dt}\).
Équation différentielle vérifiée par la vitesse
La projection de la 2ᵉ loi de Newton sur l'axe descendant donne :
\(m\,\dfrac{dv}{dt}=mg-k\,v\)
En divisant par \(m\), on obtient la forme usuelle :
\(\dfrac{dv}{dt}=g-\dfrac{k}{m}\,v\)
Lien avec les mathématiques
Cette équation est une équation différentielle linéaire du premier ordre de la forme \(y'=a\,y+b\) (voir chapitre de maths correspondant), avec ici :
\(a=-\dfrac{k}{m}\ (<0)\qquad b=g\)
L'inconnue \(y\) est la fonction \(v(t)\) et \(y'=\dfrac{dv}{dt}\). Résoudre le mouvement de la bille en physique, c'est résoudre cette équation \(y'=a\,y+b\) en mathématiques.
Mini-exercice 2. On donne \(m=8{,}0\ \text{g}\), \(k=0{,}012\ \text{kg·s}^{-1}\) et \(g=9{,}81\ \text{m·s}^{-2}\). Écrire l'équation différentielle \(\dfrac{dv}{dt}=g-\dfrac{k}{m}\,v\) avec les valeurs numériques, puis identifier \(a\) et \(b\).
\(\dfrac{k}{m}=\dfrac{0{,}012}{8{,}0\times10^{-3}}=1{,}5\ \text{s}^{-1}\). L'équation s'écrit \(\dfrac{dv}{dt}=9{,}81-1{,}5\,v\). On identifie \(a=-\dfrac{k}{m}=-1{,}5\ \text{s}^{-1}\) et \(b=g=9{,}81\ \text{m·s}^{-2}\).
3. Régime permanent et vitesse limite
Définition — régime permanent, vitesse limite
Au bout d'un certain temps, la vitesse n'évolue plus : on dit que la bille a atteint le régime permanent (ou régime asymptotique). La vitesse est alors constante et vaut la vitesse limite \(v_{lim}\). Comme la vitesse ne varie plus :
régime permanent \(\;\Longleftrightarrow\;\dfrac{dv}{dt}=0\)
Expression de la vitesse limite
En régime permanent, \(\dfrac{dv}{dt}=0\). L'équation \(\dfrac{dv}{dt}=g-\dfrac{k}{m}\,v\) devient :
\(0=g-\dfrac{k}{m}\,v_{lim}\quad\Longrightarrow\quad v_{lim}=\dfrac{m\,g}{k}\)
Interprétation : en régime permanent, le frottement compense exactement le poids (\(k\,v_{lim}=mg\)), la force résultante est nulle, donc la bille descend à vitesse constante.
Exemple travaillé — vitesse limite. Une bille de masse \(m=5{,}0\ \text{g}\) tombe dans un fluide où \(k=0{,}10\ \text{kg·s}^{-1}\). Avec \(g=9{,}81\ \text{m·s}^{-2}\) :
\(v_{lim}=\dfrac{m\,g}{k}=\dfrac{5{,}0\times10^{-3}\times9{,}81}{0{,}10}=\dfrac{0{,}0491}{0{,}10}\approx0{,}49\ \text{m·s}^{-1}\)
La bille finit par descendre à environ \(0{,}49\ \text{m·s}^{-1}\), vitesse qu'elle ne dépassera pas.
Mini-exercice 3. Une bille de masse \(m=12\ \text{g}\) chute dans de la glycérine ; le coefficient de frottement vaut \(k=0{,}30\ \text{kg·s}^{-1}\). Calculer sa vitesse limite (\(g=9{,}81\ \text{m·s}^{-2}\)).
\(v_{lim}=\dfrac{m\,g}{k}=\dfrac{12\times10^{-3}\times9{,}81}{0{,}30}=\dfrac{0{,}1177}{0{,}30}\approx0{,}39\ \text{m·s}^{-1}\).
4. La loi horaire v(t)
Solution de l'équation différentielle
La bille part sans vitesse initiale : \(v(0)=0\). La solution de \(\dfrac{dv}{dt}=g-\dfrac{k}{m}\,v\) qui vérifie cette condition est :
\(v(t)=v_{lim}\left(1-e^{-t/\tau}\right)\qquad\text{avec}\quad v_{lim}=\dfrac{mg}{k}\quad\text{et}\quad\tau=\dfrac{m}{k}\)
On vérifie les deux comportements limites :
- à \(t=0\) : \(e^{0}=1\), donc \(v(0)=v_{lim}(1-1)=0\) ✔ (départ sans vitesse) ;
- quand \(t\to+\infty\) : \(e^{-t/\tau}\to0\), donc \(v(t)\to v_{lim}\) ✔ (régime permanent).
Lien avec les mathématiques — limite de l'exponentielle
Le comportement \(v(t)\to v_{lim}\) repose sur la limite \(\displaystyle\lim_{t\to+\infty}e^{-t/\tau}=0\) (l'exponentielle d'un nombre qui tend vers \(-\infty\) tend vers \(0\)). C'est cette propriété qui « aplatit » la courbe vers l'asymptote horizontale \(v=v_{lim}\).
5. Le temps caractéristique τ
Définition — temps caractéristique
Le temps caractéristique \(\tau=\dfrac{m}{k}\) (en secondes) fixe la durée nécessaire pour atteindre (presque) le régime permanent. Deux propriétés géométriques et numériques le caractérisent sur la courbe \(v(t)\) :
- c'est l'abscisse du point d'intersection entre la tangente à l'origine et l'asymptote \(v=v_{lim}\) ;
- à l'instant \(t=\tau\), la vitesse a atteint environ 63 % de la vitesse limite.
Pourquoi 63 % ?
À \(t=\tau\), on a \(e^{-\tau/\tau}=e^{-1}\approx0{,}37\). Donc :
\(v(\tau)=v_{lim}\left(1-e^{-1}\right)=v_{lim}\times(1-0{,}37)\approx0{,}63\,v_{lim}\)
Autrement dit, au bout d'un temps caractéristique, la vitesse a franchi 63 % de sa valeur limite. On considère en pratique le régime permanent atteint après \(3\tau\) à \(5\tau\) (à \(5\tau\), \(v\) vaut plus de 99 % de \(v_{lim}\)).
La courbe ci-dessous représente \(v(t)=v_{lim}(1-e^{-t/\tau})\). Elle montre les trois repères à connaître : la tangente à l'origine (en pointillés), l'asymptote \(v=v_{lim}\), et le repère des 63 % à \(t=\tau\).
Exemple travaillé — temps caractéristique. Reprenons \(m=5{,}0\ \text{g}\) et \(k=0{,}10\ \text{kg·s}^{-1}\) (\(v_{lim}\approx0{,}49\ \text{m·s}^{-1}\)).
\(\tau=\dfrac{m}{k}=\dfrac{5{,}0\times10^{-3}}{0{,}10}=0{,}050\ \text{s}\)
À \(t=\tau=0{,}050\ \text{s}\), la vitesse vaut \(v(\tau)\approx0{,}63\times0{,}49\approx0{,}31\ \text{m·s}^{-1}\). Le régime permanent est quasi atteint après \(5\tau\approx0{,}25\ \text{s}\).
Mini-exercice 4. Une bille a une vitesse limite \(v_{lim}=0{,}40\ \text{m·s}^{-1}\) et un temps caractéristique \(\tau=0{,}20\ \text{s}\). (a) Quelle vitesse a-t-elle atteinte à \(t=\tau\) ? (b) Que vaut \(v\) pour \(t\) très grand ?
(a) À \(t=\tau\) : \(v(\tau)\approx0{,}63\times v_{lim}=0{,}63\times0{,}40\approx0{,}25\ \text{m·s}^{-1}\). (b) Pour \(t\) très grand, \(e^{-t/\tau}\to0\) donc \(v\to v_{lim}=0{,}40\ \text{m·s}^{-1}\) (régime permanent).
6. Animation — influence de m et de k
Fais varier la masse \(m\) de la bille et le coefficient de frottement \(k\) du fluide : observe comment changent la vitesse limite \(v_{lim}=mg/k\) et le temps caractéristique \(\tau=m/k\) (repère à 63 % en pointillés).
À observer sur l'animation
- Augmenter \(m\) (ou diminuer \(k\)) augmente \(v_{lim}=mg/k\) : la bille descend plus vite.
- Augmenter \(m\) (ou diminuer \(k\)) augmente aussi \(\tau=m/k\) : il faut plus de temps pour atteindre le régime permanent.
7. Exploiter des résultats expérimentaux
Méthode — repérer le régime permanent et estimer τ sur une courbe expérimentale
- Tracer \(v\) en fonction de \(t\) (ou lire un tableau de mesures).
- Régime permanent : repérer la zone où \(v\) ne varie plus (le « plateau ») ; sa valeur est la vitesse limite \(v_{lim}\).
- Temps caractéristique \(\tau\) : soit lire l'abscisse où \(v\) atteint \(0{,}63\,v_{lim}\), soit tracer la tangente à l'origine et lire son intersection avec l'asymptote.
Exemple travaillé — lecture d'un tableau. On enregistre la vitesse d'une bille lâchée dans de l'huile :
Régime permanent : à partir de \(t\approx0{,}6\ \text{s}\), la vitesse se stabilise vers \(0{,}50\ \text{m·s}^{-1}\) → \(v_{lim}\approx0{,}50\ \text{m·s}^{-1}\).
Temps caractéristique : on cherche l'instant où \(v=0{,}63\times0{,}50\approx0{,}32\ \text{m·s}^{-1}\). D'après le tableau, cela se produit entre \(0{,}1\) et \(0{,}2\ \text{s}\), soit \(\tau\approx0{,}15\ \text{s}\).
| \(t\) (s) | 0 | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,4 | 0,6 | 0,8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(v\) (m·s\(^{-1}\)) | 0 | 0,26 | 0,38 | 0,44 | 0,47 | 0,49 | 0,50 |
Temps caractéristique : on cherche l'instant où \(v=0{,}63\times0{,}50\approx0{,}32\ \text{m·s}^{-1}\). D'après le tableau, cela se produit entre \(0{,}1\) et \(0{,}2\ \text{s}\), soit \(\tau\approx0{,}15\ \text{s}\).
Mini-exercice 5. Sur une courbe expérimentale \(v(t)\), la vitesse se stabilise à \(v_{lim}=0{,}60\ \text{m·s}^{-1}\). À quelle valeur de vitesse doit-on lire l'abscisse pour estimer \(\tau\) ?
On lit l'abscisse correspondant à \(0{,}63\,v_{lim}=0{,}63\times0{,}60\approx0{,}38\ \text{m·s}^{-1}\). Cette abscisse vaut \(\tau\).
8. Protocole : mesurer la vitesse limite d'une bille
Capacité expérimentale
On mesure la vitesse en régime permanent (vitesse limite) d'une bille tombant dans un fluide visqueux, par exemple de la glycérine ou de l'huile.
Protocole expérimental
- Remplir une éprouvette haute et transparente de fluide visqueux (glycérine, huile).
- Repérer sur la paroi deux traits \(A\) et \(B\), séparés d'une distance \(d\) connue (mesurée à la règle), situés dans la zone basse où la bille descend déjà à vitesse constante (régime permanent atteint).
- Lâcher la bille sans vitesse initiale à la surface du fluide.
- Chronométrer la durée \(\Delta t\) que met la bille pour aller de \(A\) à \(B\) (chronomètre, ou vidéo image par image).
- Calculer la vitesse limite : \(v_{lim}=\dfrac{d}{\Delta t}\).
- Répéter la mesure plusieurs fois pour améliorer la fiabilité (voir chapitre incertitudes).
Mini-exercice 6. Dans une éprouvette de glycérine, une bille en régime permanent parcourt la distance \(d=15{,}0\ \text{cm}\) entre deux repères en \(\Delta t=0{,}30\ \text{s}\). Calculer la vitesse limite \(v_{lim}\) en m·s\(^{-1}\).
\(v_{lim}=\dfrac{d}{\Delta t}=\dfrac{15{,}0\times10^{-2}}{0{,}30}=\dfrac{0{,}150}{0{,}30}=0{,}50\ \text{m·s}^{-1}\). Les repères doivent être placés assez bas pour que la bille ait déjà atteint le régime permanent.
Erreurs fréquentes
- ❌ Oublier le signe : écrire \(\vec{f}=+k\vec{v}\) → ✅ \(\vec{f}=-k\,\vec{v}\), la force freine (sens opposé à \(\vec{v}\)).
- ❌ Chercher \(v_{lim}\) en écrivant \(v=0\) → ✅ régime permanent = \(\dfrac{dv}{dt}=0\), pas \(v=0\).
- ❌ Confondre \(v_{lim}=mg/k\) et \(\tau=m/k\) → ✅ la vitesse limite est une vitesse (m·s⁻¹), le temps caractéristique est une durée (s).
- ❌ Croire que \(v=v_{lim}\) exactement à \(t=\tau\) → ✅ à \(t=\tau\), \(v\) n'atteint que 63 % de \(v_{lim}\).
- ❌ Placer les repères A et B trop haut → ✅ les placer dans la zone basse, où la bille descend déjà à vitesse constante.
- ❌ Oublier les conversions (g→kg, cm→m) → ✅ tout en unités SI avant de calculer.
À retenir
- Frottement fluide visqueux : \(\vec{f}=-k\,\vec{v}\) (\(k>0\), en kg·s⁻¹), opposé à la vitesse.
- 2ᵉ loi de Newton (axe descendant) : \(m\dfrac{dv}{dt}=mg-k\,v\), soit \(\dfrac{dv}{dt}=g-\dfrac{k}{m}v\) → forme \(y'=a\,y+b\) avec \(a=-\dfrac{k}{m}\), \(b=g\).
- Régime permanent : \(\dfrac{dv}{dt}=0\) → vitesse limite \(v_{lim}=\dfrac{mg}{k}\).
- Loi horaire : \(v(t)=v_{lim}\left(1-e^{-t/\tau}\right)\), avec \(v(0)=0\) et \(v\to v_{lim}\) car \(e^{-t/\tau}\to0\).
- Temps caractéristique \(\tau=\dfrac{m}{k}\) : intersection tangente à l'origine / asymptote ; \(v(\tau)\approx0{,}63\,v_{lim}\).
- Exploiter une courbe : \(v_{lim}\) = plateau ; \(\tau\) = abscisse où \(v=0{,}63\,v_{lim}\).
- Protocole : chute d'une bille dans un fluide visqueux ; \(v_{lim}=\dfrac{d}{\Delta t}\) entre deux repères bas (régime permanent).