Fiche résumé — Produit scalaire
Chapitre 11 | Terminale Bac Pro | Mathématiques
Formule avec normes et angle
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \times |\vec{v}| \times \cos\theta\)
- \(\theta = 0°\) : \(\vec{u}\cdot\vec{v} = |\vec{u}|\,|\vec{v}|\)
- \(\theta = 90°\) : \(\vec{u}\cdot\vec{v} = 0\)
- \(\theta = 180°\) : \(\vec{u}\cdot\vec{v} = -|\vec{u}|\,|\vec{v}|\)
Formule avec coordonnées
\(\vec{u}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix} \cdot \vec{v}\begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix} = ac + bd\)
Formule la plus pratique en exercice. Valable en repère orthonormé uniquement.
Orthogonalité
\(\vec{u} \perp \vec{v} \;\Longleftrightarrow\; \vec{u}\cdot\vec{v} = 0\)
- Si \(ac + bd = 0\) : vecteurs perpendiculaires
- Deux droites sont perpendiculaires ssi leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux
Calcul d'un angle
\(\cos\theta = \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}| \times |\vec{v}|}\)
\(\theta = \arccos\!\left(\dfrac{ac+bd}{\sqrt{a^2+b^2}\,\sqrt{c^2+d^2}}\right)\)
\(\theta \in [0°\,;\,180°]\). Calculatrice en mode DEG.
Propriétés
- \(\vec{u}\cdot\vec{v} = \vec{v}\cdot\vec{u}\) (commutativité)
- \(\vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w}) = \vec{u}\cdot\vec{v} + \vec{u}\cdot\vec{w}\)
- \((k\,\vec{u})\cdot\vec{v} = k\,(\vec{u}\cdot\vec{v})\)
- \(\vec{u}\cdot\vec{u} = |\vec{u}|^2\) (carré scalaire)
Vecteur normal et équation de droite
\(\vec{n}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\) normal \(\Rightarrow\) droite : \(ax + by + c = 0\)
- Si \(\vec{u}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\) est directeur, alors \(\vec{n}\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}\) est normal
- \(c\) se trouve en injectant un point connu
Distance d'un point à une droite
\(d(M,\,d) = \dfrac{|ax_M + by_M + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\)
Droite \(d : ax + by + c = 0\), point \(M(x_M\,;\,y_M)\). Valeur absolue au numérateur, racine au dénominateur.
Extension en 3D
\(\vec{u}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix} \cdot \vec{v}\begin{pmatrix}d\\e\\f\end{pmatrix} = ad + be + cf\)
\(|\vec{u}| = \sqrt{a^2+b^2+c^2}\)
Toutes les propriétés (orthogonalité, angle, etc.) restent identiques en 3D.
Piège 1 : Le produit scalaire est un nombre (scalaire), pas un vecteur. On ne peut pas écrire \((\vec{u}\cdot\vec{v})\cdot\vec{w}\).
Piège 2 : Dans la formule de distance point-droite, ne pas oublier la valeur absolue au numérateur. Sans elle, le résultat peut être négatif, ce qui est absurde pour une distance.
Piège 3 : La formule par coordonnées \(ac + bd\) ne fonctionne qu'en repère orthonormé. Vérifier que le repère l'est avant de l'appliquer.
Astuce 1 : Si \(\vec{u}\cdot\vec{v} > 0\), l'angle est aigu (\(< 90°\)). Si \(\vec{u}\cdot\vec{v} < 0\), l'angle est obtus (\(> 90°\)). Cela permet de vérifier rapidement la cohérence du résultat.
Astuce 2 : Pour trouver un vecteur normal à partir d'un vecteur directeur \(\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\), il suffit d'échanger les coordonnées et de changer un signe : \(\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}\).