🎯 Objectifs du chapitre cliquer pour développer

Calculer un produit scalaire par les trois formules (norme/angle, coordonnées, développement)
Démontrer l’orthogonalité de deux vecteurs ou de deux droites
Calculer l’angle entre deux vecteurs (ou deux droites, deux plans)
Écrire l’équation d’une droite à partir de son vecteur normal
Calculer la distance d’un point à une droite
Appliquer ces outils à des problèmes professionnels (plans de construction, réseaux, forces)

Fiche résumé — Produit scalaire

Chapitre 11 | Terminale Bac Pro | Mathématiques

⚑ Programme complémentaire — poursuite d'études (non évalué en CCF)

Dernière mise à jour : 29 juin 2026

\(\vec{u}\cdot\vec{v} = |\vec{u}|\,|\vec{v}|\cos\theta\) : la projection de \(\vec{v}\) sur \(\vec{u}\)

Formule avec normes et angle

\(\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \times |\vec{v}| \times \cos\theta\)

\(\theta = 0°\) : \(\vec{u}\cdot\vec{v} = |\vec{u}|\,|\vec{v}|\)
\(\theta = 90°\) : \(\vec{u}\cdot\vec{v} = 0\)
\(\theta = 180°\) : \(\vec{u}\cdot\vec{v} = -|\vec{u}|\,|\vec{v}|\)

Formule avec coordonnées

\(\vec{u}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix} \cdot \vec{v}\begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix} = ac + bd\)

Formule la plus pratique en exercice. Valable en repère orthonormé uniquement.

Orthogonalité

\(\vec{u} \perp \vec{v} \;\Longleftrightarrow\; \vec{u}\cdot\vec{v} = 0\)

Si \(ac + bd = 0\) : vecteurs perpendiculaires
Deux droites sont perpendiculaires ssi leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux

Calcul d'un angle

\(\cos\theta = \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}| \times |\vec{v}|}\)

\(\theta = \arccos\!\left(\dfrac{ac+bd}{\sqrt{a^2+b^2}\,\sqrt{c^2+d^2}}\right)\)

\(\theta \in [0°\,;\,180°]\). Calculatrice en mode DEG.

Propriétés

\(\vec{u}\cdot\vec{v} = \vec{v}\cdot\vec{u}\) (commutativité)
\(\vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w}) = \vec{u}\cdot\vec{v} + \vec{u}\cdot\vec{w}\)
\((k\,\vec{u})\cdot\vec{v} = k\,(\vec{u}\cdot\vec{v})\)
\(\vec{u}\cdot\vec{u} = |\vec{u}|^2\) (carré scalaire)

Vecteur normal et équation de droite

\(\vec{n}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\) normal \(\Rightarrow\) droite : \(ax + by + c = 0\)

Si \(\vec{u}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\) est directeur, alors \(\vec{n}\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}\) est normal
\(c\) se trouve en injectant un point connu

Distance d'un point à une droite

\(d(M,\,d) = \dfrac{|ax_M + by_M + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\)

Droite \(d : ax + by + c = 0\), point \(M(x_M\,;\,y_M)\). Valeur absolue au numérateur, racine au dénominateur.

Extension en 3D

\(\vec{u}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix} \cdot \vec{v}\begin{pmatrix}d\\e\\f\end{pmatrix} = ad + be + cf\) \(|\vec{u}| = \sqrt{a^2+b^2+c^2}\)

Toutes les propriétés (orthogonalité, angle, etc.) restent identiques en 3D.

Piège 1 : Le produit scalaire est un nombre (scalaire), pas un vecteur. On ne peut pas écrire \((\vec{u}\cdot\vec{v})\cdot\vec{w}\).

Piège 2 : Dans la formule de distance point-droite, ne pas oublier la valeur absolue au numérateur. Sans elle, le résultat peut être négatif, ce qui est absurde pour une distance.

Piège 3 : La formule par coordonnées \(ac + bd\) ne fonctionne qu'en repère orthonormé. Vérifier que le repère l'est avant de l'appliquer.

Astuce 1 : Si \(\vec{u}\cdot\vec{v} > 0\), l'angle est aigu (\(< 90°\)). Si \(\vec{u}\cdot\vec{v} < 0\), l'angle est obtus (\(> 90°\)). Cela permet de vérifier rapidement la cohérence du résultat.

Astuce 2 : Pour trouver un vecteur normal à partir d'un vecteur directeur \(\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\), il suffit d'échanger les coordonnées et de changer un signe : \(\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}\).