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Exercices – Chapitre 11

Produit scalaire  |  Terminale Bac Pro  |  ERA · TMA · ICCER (Grpt 1)

Compétences travaillées :
Exercice 1 8 questions – une seule bonne réponse par question Socle

Q1. Le produit scalaire \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) avec \(\vec{u}\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}4\\-1\end{pmatrix}\) vaut :

a) 11   b) 5   c) -5   d) 14

Q2. Si \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\), les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont :

a) colinéaires   b) orthogonaux   c) de même norme   d) opposés

Q3. La norme du vecteur \(\vec{u}\begin{pmatrix}5\\12\end{pmatrix}\) vaut :

a) 17   b) \(\sqrt{17}\)   c) 13   d) 169

Q4. La formule du produit scalaire avec les coordonnées est :

a) \(\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1 y_1 + x_2 y_2\)   b) \(\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1 x_2 + y_1 y_2\)   c) \(\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1 y_2 - x_2 y_1\)   d) \(\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1 x_2 - y_1 y_2\)

Q5. Si \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos\theta\), et que \(\theta = 90°\), alors \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) vaut :

a) 1   b) -1   c) 0   d) \(\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|\)

Q6. Le vecteur normal à la droite d'équation \(3x - 2y + 7 = 0\) est :

a) \(\begin{pmatrix}-2\\3\end{pmatrix}\)   b) \(\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}\)   c) \(\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}\)   d) \(\begin{pmatrix}3\\7\end{pmatrix}\)

Q7. La distance du point \(P(1\,;\,0)\) à la droite \(x + y - 3 = 0\) vaut :

a) \(\dfrac{2}{\sqrt{2}}\)   b) \(\sqrt{2}\)   c) 2   d) 1

Q8. L'identité de polarisation s'écrit :

a) \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2\)   b) \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \dfrac{1}{2}\left(\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2\right)\)   c) \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|\)   d) \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}+\vec{v}\|^2\)

Q1 : b) \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \times 4 + 3 \times (-1) = 8 - 3 = 5\).

Q2 : b) Le produit scalaire nul caractérise l'orthogonalité.

Q3 : c) \(\|\vec{u}\| = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\).

Q4 : b) \(\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1 x_2 + y_1 y_2\).

Q5 : c) \(\cos(90°) = 0\), donc \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\).

Q6 : b) Pour \(ax + by + c = 0\), le vecteur normal est \(\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}\).

Q7 : b) \(d = \dfrac{|1 + 0 - 3|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \dfrac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}\).

Q8 : b) L'identité de polarisation est \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \dfrac{1}{2}\left(\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2\right)\).

Exercice 2 Calcul direct du produit scalaire Socle

Calculer le produit scalaire \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) dans chaque cas :

a) \(\vec{u}\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}\)
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = …\)
b) \(\vec{u}\begin{pmatrix}-2\\5\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}\)
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = …\)
c) \(\vec{u}\begin{pmatrix}6\\-1\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}2\\12\end{pmatrix}\)
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = …\)

Rappel : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1 x_2 + y_1 y_2\).

a) \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \times 1 + 2 \times 4 = 3 + 8 = 11\)

b) \(\vec{u} \cdot \vec{v} = (-2) \times 4 + 5 \times 3 = -8 + 15 = 7\)

c) \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 6 \times 2 + (-1) \times 12 = 12 - 12 = 0\). Les vecteurs sont orthogonaux.

Exercice 3 Norme d'un vecteur Socle

Calculer la norme de chaque vecteur. Donner la valeur exacte puis la valeur arrondie au dixième.

a) \(\vec{u}\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}\)
\(\|\vec{u}\| = …\)
b) \(\vec{v}\begin{pmatrix}-1\\7\end{pmatrix}\)
\(\|\vec{v}\| = …\)
c) \(\vec{w}\begin{pmatrix}5\\-5\end{pmatrix}\)
\(\|\vec{w}\| = …\)

Rappel : \(\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}\).

a) \(\|\vec{u}\| = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25}\) → \(\|\vec{u}\| = 5\)

b) \(\|\vec{v}\| = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\) → \(\|\vec{v}\| \approx 7{,}1\)

c) \(\|\vec{w}\| = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\) → \(\|\vec{w}\| \approx 7{,}1\)

Exercice 4 Angle entre deux vecteurs Socle

On donne \(\vec{u}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}\).

1. Calculer \(\vec{u} \cdot \vec{v}\).
2. Calculer \(\|\vec{u}\|\) et \(\|\vec{v}\|\).
3. En déduire l'angle \(\theta\) entre \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\).
Réponses : ………………………………

1. \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \times 2 + 1 \times 0 = 2\).

2. \(\|\vec{u}\| = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}\) et \(\|\vec{v}\| = \sqrt{4} = 2\).

3. \(\cos\theta = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|} = \dfrac{2}{\sqrt{2} \times 2} = \dfrac{2}{2\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\).
\(\theta = 45°\).

Exercice 5 Calculer un produit scalaire avec les coordonnées — méthode guidée Socle
Méthode : Pour calculer \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) avec \(\vec{u}\begin{pmatrix}x_1\\y_1\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}x_2\\y_2\end{pmatrix}\), on applique :
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1 \times x_2 + y_1 \times y_2\)

On donne \(\vec{u}\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix}\).

1. Compléter le calcul du produit scalaire :

\(\vec{u} \cdot \vec{v} = \boxed{\phantom{4}} \times \boxed{\phantom{2}} + \boxed{\phantom{3}} \times \boxed{\phantom{5}}\)
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = \boxed{\phantom{8}} + \boxed{\phantom{15}} = \boxed{\phantom{23}}\)

2. Calculer \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) avec \(\vec{a}\begin{pmatrix}5\\-2\end{pmatrix}\) et \(\vec{b}\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}\) :

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = \boxed{\phantom{5}} \times \boxed{\phantom{3}} + (\boxed{\phantom{-2}}) \times \boxed{\phantom{4}}\)
\(\vec{a} \cdot \vec{b} = \boxed{\phantom{15}} + (\boxed{\phantom{-8}}) = \boxed{\phantom{7}}\)

3. Un menuisier agenceur place deux tasseaux sur un plan. Le premier tasseau suit la direction \(\vec{t_1}\begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix}\) et le second \(\vec{t_2}\begin{pmatrix}0\\4\end{pmatrix}\). Calculer \(\vec{t_1} \cdot \vec{t_2}\). Que peut-on en conclure ?
\(\vec{t_1} \cdot \vec{t_2} =\) ……   Conclusion : ……

1. \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 4 \times 2 + 3 \times 5 = 8 + 15 =\) \(23\)

2. \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 5 \times 3 + (-2) \times 4 = 15 - 8 =\) \(7\)

3. \(\vec{t_1} \cdot \vec{t_2} = 6 \times 0 + 0 \times 4 = 0\). Le produit scalaire est nul, donc les deux tasseaux sont perpendiculaires.

Exercice 6 Produit scalaire avec normes et angle — pas à pas Socle
Formule : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos\theta\)
où \(\theta\) est l'angle entre les deux vecteurs.

Deux poutres de charpente forment un angle de \(60°\). La première poutre mesure 4 m et la seconde 3 m. On modélise leurs directions par \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) avec \(\|\vec{u}\| = 4\), \(\|\vec{v}\| = 3\) et \(\theta = 60°\).

1. Rappeler la valeur de \(\cos(60°)\) :

QCM :   a) \(\cos(60°) = 0\)   b) \(\cos(60°) = 0{,}5\)   c) \(\cos(60°) = 1\)   d) \(\cos(60°) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

2. Compléter le calcul du produit scalaire :

\(\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos\theta\)
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = \boxed{\phantom{4}} \times \boxed{\phantom{3}} \times \boxed{\phantom{0{,}5}}\)
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = \boxed{\phantom{6}}\)

3. Même question avec \(\|\vec{u}\| = 5\), \(\|\vec{v}\| = 2\) et \(\theta = 90°\).

Rappel : \(\cos(90°) = 0\). Si l'angle est droit, le produit scalaire est toujours nul !

\(\vec{u} \cdot \vec{v} =\) ……

1. Réponse b) \(\cos(60°) = 0{,}5\)

2. \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 4 \times 3 \times 0{,}5 =\) \(6\)

3. \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 5 \times 2 \times \cos(90°) = 10 \times 0 =\) \(0\). Les vecteurs sont perpendiculaires.

Exercice 7 Vérifier si deux vecteurs sont perpendiculaires — méthode guidée Socle
Règle : Deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont perpendiculaires (orthogonaux) si et seulement si \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\).
Étapes : 1) Calculer le produit scalaire → 2) Regarder s'il vaut 0 → 3) Conclure.
1. \(\vec{u}\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}6\\-4\end{pmatrix}\). Compléter :

\(\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \times \boxed{\phantom{6}} + 3 \times (\boxed{\phantom{-4}})\)
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = \boxed{\phantom{12}} + (\boxed{\phantom{-12}}) = \boxed{\phantom{0}}\)
Conclusion : \(\vec{u} \cdot \vec{v} \boxed{\phantom{=}} 0\), donc les vecteurs …………

2. \(\vec{a}\begin{pmatrix}1\\5\end{pmatrix}\) et \(\vec{b}\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}\). Les vecteurs sont-ils perpendiculaires ?
\(\vec{a} \cdot \vec{b} =\) ……   Perpendiculaires : oui / non
3. Un charpentier vérifie l'équerrage de deux pièces de bois. La première suit la direction \(\vec{p}\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}\) et la seconde \(\vec{q}\begin{pmatrix}-4\\10\end{pmatrix}\). L'assemblage est-il à angle droit ?
\(\vec{p} \cdot \vec{q} =\) ……   Angle droit : oui / non

1. \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \times 6 + 3 \times (-4) = 12 - 12 = 0\). Les vecteurs sont perpendiculaires (orthogonaux).

2. \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \times 3 + 5 \times 2 = 3 + 10 = 13 \neq 0\). Les vecteurs ne sont pas perpendiculaires.

3. \(\vec{p} \cdot \vec{q} = 5 \times (-4) + 2 \times 10 = -20 + 20 = 0\). Oui, l'assemblage est à angle droit.

Exercice 8 Calculer une norme — contexte professionnel guidé Socle
Rappel
La norme d'un vecteur \(\vec{u}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\) est : \(\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}\)
C'est la longueur du vecteur — en pratique, une distance sur plan.

Un menuisier agenceur lit sur un plan les coordonnées de plusieurs pièces de bois :

PièceVecteurCalcul \(x^2 + y^2\)Longueur \(\|\vec{v}\|\)
Tasseau A\(\vec{v_1}\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}\)\(\boxed{\phantom{9}} + \boxed{\phantom{16}} = \boxed{\phantom{25}}\)\(\sqrt{\boxed{\phantom{25}}} = \boxed{\phantom{5}}\)
Montant B\(\vec{v_2}\begin{pmatrix}5\\0\end{pmatrix}\)\(\boxed{\phantom{25}} + \boxed{\phantom{0}} = \boxed{\phantom{25}}\)\(\sqrt{\boxed{\phantom{25}}} = \boxed{\phantom{5}}\)
Traverse C\(\vec{v_3}\begin{pmatrix}0\\7\end{pmatrix}\)\(\boxed{\phantom{0}} + \boxed{\phantom{49}} = \boxed{\phantom{49}}\)\(\sqrt{\boxed{\phantom{49}}} = \boxed{\phantom{7}}\)
Chant D\(\vec{v_4}\begin{pmatrix}6\\8\end{pmatrix}\)\(\boxed{\phantom{36}} + \boxed{\phantom{64}} = \boxed{\phantom{100}}\)\(\sqrt{\boxed{\phantom{100}}} = \boxed{\phantom{10}}\)
Pièce\(x^2 + y^2\)\(\|\vec{v}\|\)
Tasseau A\(9 + 16 = 25\)\(5\)
Montant B\(25 + 0 = 25\)\(5\)
Traverse C\(0 + 49 = 49\)\(7\)
Chant D\(36 + 64 = 100\)\(10\)

Astuce : reconnaître les triplets pythagoriciens 3-4-5 et 6-8-10 donne directement un résultat entier.

Exercice 9 Identifier le vecteur normal d'une droite — guidé Socle
Règle
Si la droite a pour équation \(ax + by + c = 0\), alors le vecteur normal est \(\vec{n}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\).
Ce vecteur est perpendiculaire à la droite.

Donner le vecteur normal à chaque droite :

Équation de la droiteVecteur normal \(\vec{n}\)
\(2x + 5y - 7 = 0\)\(\vec{n} = \begin{pmatrix}\boxed{\phantom{2}}\\\boxed{\phantom{5}}\end{pmatrix}\)
\(-3x + y + 1 = 0\)\(\vec{n} = \begin{pmatrix}\boxed{\phantom{-3}}\\\boxed{\phantom{1}}\end{pmatrix}\)
\(x - 4y = 0\)\(\vec{n} = \begin{pmatrix}\boxed{\phantom{1}}\\\boxed{\phantom{-4}}\end{pmatrix}\)
\(y = 3x - 2\) (à réécrire sous la forme \(ax + by + c = 0\))\(\vec{n} = \begin{pmatrix}\boxed{\phantom{-3}}\\\boxed{\phantom{1}}\end{pmatrix}\)

Application : Un technicien de maintenance vérifie l'orientation d'un mur modélisé par l'équation \(4x - 3y + 12 = 0\). Donner le vecteur normal à ce mur et sa norme.

\(\vec{n} =\) ………   \(\|\vec{n}\| =\) ………
DroiteVecteur normal
\(2x + 5y - 7 = 0\)\(\vec{n}\begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix}\)
\(-3x + y + 1 = 0\)\(\vec{n}\begin{pmatrix}-3\\1\end{pmatrix}\)
\(x - 4y = 0\)\(\vec{n}\begin{pmatrix}1\\-4\end{pmatrix}\)
\(y = 3x - 2\) → \(-3x + y + 2 = 0\)\(\vec{n}\begin{pmatrix}-3\\1\end{pmatrix}\)

Application : \(4x - 3y + 12 = 0\) → \(\vec{n}\begin{pmatrix}4\\-3\end{pmatrix}\). \(\|\vec{n}\| = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} =\) \(5\).

Exercice 10 Distance d'un point à une droite — guidé pas à pas Socle
Formule
La distance du point \(M(x_0\,;\,y_0)\) à la droite \(ax + by + c = 0\) est : \[d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\] Étapes : 1) Calculer \(ax_0 + by_0 + c\) → 2) Prendre la valeur absolue → 3) Diviser par \(\sqrt{a^2 + b^2}\).

Exemple guidé : Distance du point \(P(1\,;\,2)\) à la droite \(3x + 4y - 5 = 0\).

Étape 1 : \(ax_0 + by_0 + c = 3 \times 1 + 4 \times 2 + (-5) = 3 + 8 - 5 = \boxed{6}\)
Étape 2 : \(|6| = 6\)
Étape 3 : \(\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)
Résultat : \(d = \dfrac{6}{5} = \boxed{1{,}2}\) unités

À toi : Calculer la distance du point \(A(3\,;\,1)\) à la droite \(5x - 12y + 3 = 0\).

Étape 1 : \(5 \times \boxed{\phantom{3}} + (-12) \times \boxed{\phantom{1}} + 3 = \boxed{\phantom{15}} + \boxed{\phantom{-12}} + 3 = \boxed{\phantom{6}}\)
Étape 2 : valeur absolue = \(\boxed{\phantom{6}}\)
Étape 3 : \(\sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{\boxed{\phantom{25}} + \boxed{\phantom{144}}} = \sqrt{\boxed{\phantom{169}}} = \boxed{\phantom{13}}\)
Résultat : \(d = \dfrac{\boxed{\phantom{6}}}{\boxed{\phantom{13}}}\) unités

Étape 1 : \(5 \times 3 + (-12) \times 1 + 3 = 15 - 12 + 3 = 6\).

Étape 2 : \(|6| = 6\).

Étape 3 : \(\sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\).

\(d = \dfrac{6}{13} \approx 0{,}46\) unités.

Exercice 11 Orthogonalité Standard

Déterminer si les vecteurs suivants sont orthogonaux :

a) \(\vec{u}\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix}\)
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = … \quad\) Orthogonaux : oui / non
b) \(\vec{u}\begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}-1\\5\end{pmatrix}\)
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = … \quad\) Orthogonaux : oui / non
c) \(\vec{u}\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}6\\-8\end{pmatrix}\)
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = … \quad\) Orthogonaux : oui / non

a) \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \times 4 + (-2) \times 6 = 12 - 12 = 0\) → orthogonaux.

b) \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 5 \times (-1) + 1 \times 5 = -5 + 5 = 0\) → orthogonaux.

c) \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 4 \times 6 + 3 \times (-8) = 24 - 24 = 0\) → orthogonaux.

Exercice 12 Identité de polarisation Standard

On donne \(\vec{u}\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\).

1. Calculer \(\|\vec{u}\|^2\), \(\|\vec{v}\|^2\) et \(\|\vec{u}+\vec{v}\|^2\).
2. Vérifier l'identité de polarisation : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \dfrac{1}{2}\left(\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2\right)\).
3. Vérifier en calculant directement \(\vec{u} \cdot \vec{v}\).
Réponses : ………………………………

1. \(\|\vec{u}\|^2 = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13\).
\(\|\vec{v}\|^2 = 1^2 + (-1)^2 = 1 + 1 = 2\).
\(\vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}\), donc \(\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 = 9 + 4 = 13\).

2. \(\dfrac{1}{2}(13 - 13 - 2) = \dfrac{1}{2} \times (-2) = -1\).
Par l'identité de polarisation : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = -1\).

3. Vérification directe : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \times 1 + 3 \times (-1) = 2 - 3 = -1\) ✓.

Exercice 13 Angle entre deux vecteurs – cas général Standard

On donne les points \(A(1\,;\,2)\), \(B(4\,;\,6)\) et \(C(5\,;\,1)\).

1. Calculer les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
2. Calculer \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\).
3. Calculer les normes \(\|\overrightarrow{AB}\|\) et \(\|\overrightarrow{AC}\|\).
4. En déduire la mesure de l'angle \(\widehat{BAC}\) en degrés. Arrondir au degré.
Réponses : ………………………………

1. \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}4\\-1\end{pmatrix}\).

2. \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 3 \times 4 + 4 \times (-1) = 12 - 4 = 8\).

3. \(\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{9 + 16} = 5\) et \(\|\overrightarrow{AC}\| = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17} \approx 4{,}12\).

4. \(\cos(\widehat{BAC}) = \dfrac{8}{5\sqrt{17}} = \dfrac{8}{5 \times 4{,}123} = \dfrac{8}{20{,}615} \approx 0{,}388\).
\(\widehat{BAC} = \arccos(0{,}388) \approx 67°\).

Exercice 14 Équation de droite par vecteur normal Approfondissement

On donne le point \(A(2\,;\,-1)\) et le vecteur normal \(\vec{n}\begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix}\).

1. Déterminer l'équation cartésienne de la droite \((d)\) passant par \(A\) et de vecteur normal \(\vec{n}\).
2. Vérifier que \(A\) appartient bien à \((d)\).
3. Donner un vecteur directeur de \((d)\).
4. Le point \(B(3\,;\,-2{,}4)\) appartient-il à \((d)\) ?
Réponses : ………………………………

1. \(3(x - 2) + 5(y - (-1)) = 0\) → \(3x - 6 + 5y + 5 = 0\) → \(3x + 5y - 1 = 0\).

2. \(3 \times 2 + 5 \times (-1) - 1 = 6 - 5 - 1 = 0\) ✓.

3. Vecteur directeur : \(\vec{d}\begin{pmatrix}5\\-3\end{pmatrix}\) (ou \(\begin{pmatrix}-5\\3\end{pmatrix}\)).

4. \(3 \times 3 + 5 \times (-2{,}4) - 1 = 9 - 12 - 1 = -4 \neq 0\). \(B\) n'appartient pas à \((d)\).

Exercice 15 Distance d'un point à une droite Approfondissement

La droite \((d)\) a pour équation \(4x - 3y + 6 = 0\).

1. Calculer la distance du point \(P(3\,;\,2)\) à la droite \((d)\).
2. Calculer la distance du point \(Q(0\,;\,2)\) à la droite \((d)\).
3. Le point \(R(3\,;\,6)\) appartient-il à la droite \((d)\) ? Justifier par le calcul de la distance.
Formule : la distance du point \(M(x_0\,;\,y_0)\) à la droite \(ax + by + c = 0\) est \(\displaystyle d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\)
Réponses : ………………………………

On a \(a = 4\), \(b = -3\), \(c = 6\) et \(\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\).

1. \(d(P,(d)) = \dfrac{|4 \times 3 + (-3) \times 2 + 6|}{5} = \dfrac{|12 - 6 + 6|}{5} = \dfrac{12}{5}\) → \(d = 2{,}4\) unités.

2. \(d(Q,(d)) = \dfrac{|4 \times 0 + (-3) \times 2 + 6|}{5} = \dfrac{|0 - 6 + 6|}{5} = \dfrac{0}{5}\) → \(d = 0\) : \(Q\) est sur la droite.

3. \(d(R,(d)) = \dfrac{|4 \times 3 + (-3) \times 6 + 6|}{5} = \dfrac{|12 - 18 + 6|}{5} = \dfrac{0}{5} = 0\). \(R\) appartient à la droite \((d)\).

Exercice 16 Produit scalaire et angle — contexte installation thermique Standard
Contexte : Un technicien chauffagiste installe deux conduites dans un couloir technique. La conduite A suit la direction \(\vec{u}\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}\) et la conduite B suit la direction \(\vec{v}\begin{pmatrix}-3\\4\end{pmatrix}\) (unité : 1 dm).
1. Calculer \(\vec{u} \cdot \vec{v}\).
2. Calculer \(\|\vec{u}\|\) et \(\|\vec{v}\|\).
3. En déduire l'angle entre les deux conduites. Conclure sur leur orientation.
Réponses : ………………………………

1. \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 4 \times (-3) + 3 \times 4 = -12 + 12 =\) \(0\).

2. \(\|\vec{u}\| = \sqrt{16 + 9} = 5\) et \(\|\vec{v}\| = \sqrt{9 + 16} = 5\).

3. \(\cos\theta = \dfrac{0}{5 \times 5} = 0\), donc \(\theta = 90°\). Les deux conduites sont perpendiculaires.

Exercice 17 Équation d'une droite via le vecteur normal Standard

Un menuisier agenceur modélise la coupe d'un panneau par une droite. On donne le point \(P(3\,;\,-2)\) et le vecteur normal \(\vec{n}\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}\).

1. Écrire l'équation de la droite \((d)\) passant par \(P\) et de vecteur normal \(\vec{n}\).
Rappel : \(a(x - x_0) + b(y - y_0) = 0\) puis développer.
2. Vérifier que \(P\) appartient à \((d)\).
3. Donner un vecteur directeur de \((d)\).
4. Le point \(Q(0\,;\,2)\) appartient-il à \((d)\) ?
Réponses : ………………………………

1. \(2(x - 3) + 3(y - (-2)) = 0\) → \(2x - 6 + 3y + 6 = 0\) → \(2x + 3y = 0\).

2. \(2 \times 3 + 3 \times (-2) = 6 - 6 = 0\) ✓.

3. Vecteur directeur : \(\vec{d}\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}\) (ou \(\begin{pmatrix}-3\\2\end{pmatrix}\) — perpendiculaire au vecteur normal).

4. \(2 \times 0 + 3 \times 2 = 6 \neq 0\). \(Q\) n'appartient pas à \((d)\).

Exercice 18 Distance d'un point à une droite — application professionnelle Standard
Contexte : Sur le plan d'un bâtiment (unité : 1 m), une canalisation suit la droite d'équation \(3x - 4y + 12 = 0\). Un technicien installateur doit poser un équipement au point \(M(1\,;\,4)\). Calculer la distance entre l'équipement et la canalisation.
1. Identifier \(a\), \(b\), \(c\) dans l'équation \(3x - 4y + 12 = 0\).
2. Calculer \(ax_0 + by_0 + c\) pour le point \(M(1\,;\,4)\).
3. Calculer \(\sqrt{a^2 + b^2}\).
4. En déduire la distance de \(M\) à la droite. L'équipement peut-il être posé à moins de 20 cm de la canalisation ?
Réponses : ………………………………

1. \(a = 3\), \(b = -4\), \(c = 12\).

2. \(3 \times 1 + (-4) \times 4 + 12 = 3 - 16 + 12 = -1\). \(|{-1}| = 1\).

3. \(\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\).

4. \(d = \dfrac{1}{5} = 0{,}2\) m = 20 cm. L'équipement est exactement à 20 cm de la canalisation — à la limite autorisée.

Exercice 19 Angle dans un triangle — contexte charpente Standard
Contexte : Un charpentier calcule les angles d'une ferme de toit. Le triangle de base a ses sommets en \(A(0\,;\,0)\), \(B(6\,;\,0)\) et \(C(3\,;\,4)\) (unité : 1 m).
1. Calculer les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
2. Calculer \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\), puis les normes \(\|\overrightarrow{AB}\|\) et \(\|\overrightarrow{AC}\|\).
3. Calculer l'angle \(\widehat{BAC}\) en degrés (arrondir au degré).
4. Vérifier que le triangle est isocèle en calculant \(\|\overrightarrow{BC}\|\).
Réponses : ………………………………

1. \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}\).

2. \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 6 \times 3 + 0 \times 4 = 18\). \(\|\overrightarrow{AB}\| = 6\) et \(\|\overrightarrow{AC}\| = \sqrt{9+16} = 5\).

3. \(\cos(\widehat{BAC}) = \dfrac{18}{6 \times 5} = \dfrac{18}{30} = 0{,}6\). \(\widehat{BAC} = \arccos(0{,}6) \approx 53°\).

4. \(\overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix}-3\\4\end{pmatrix}\). \(\|\overrightarrow{BC}\| = \sqrt{9+16} = 5 = \|\overrightarrow{AC}\|\). Le triangle est isocèle en \(C\) (\(AC = BC = 5\) m).

Exercice 20 Produit scalaire par l'identité de polarisation — charpente Standard

Dans un triangle \(ABC\), on connaît les longueurs des côtés : \(AB = 5\) m, \(BC = 7\) m, \(AC = 8\) m. On pose \(\vec{u} = \overrightarrow{BA}\) et \(\vec{v} = \overrightarrow{BC}\).

1. Identifier \(\|\vec{u}\|\), \(\|\vec{v}\|\) et \(\|\vec{u} - \vec{v}\|\) à partir des données.
Indication : \(\vec{u} - \vec{v} = \overrightarrow{BA} - \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CA}\), donc \(\|\vec{u}-\vec{v}\| = CA = 8\).
2. Utiliser la formule \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \dfrac{1}{2}\!\left(\|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2 - \|\vec{u}-\vec{v}\|^2\right)\) pour calculer \(\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}\).
3. En déduire l'angle \(\widehat{ABC}\) (arrondir au degré).
Réponses : ………………………………

1. \(\|\vec{u}\| = AB = 5\), \(\|\vec{v}\| = BC = 7\), \(\|\vec{u}-\vec{v}\| = CA = 8\).

2. \(\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = \dfrac{1}{2}(25 + 49 - 64) = \dfrac{1}{2} \times 10 =\) \(5\).

3. \(\cos(\widehat{ABC}) = \dfrac{5}{5 \times 7} = \dfrac{5}{35} = \dfrac{1}{7} \approx 0{,}143\). \(\widehat{ABC} = \arccos(0{,}143) \approx 82°\).

Exercice 21 Vecteur normal et équation de droite — plan d'atelier Standard
Contexte : Dans un atelier de menuiserie, deux murs sont modélisés par des droites. Le mur A passe par les points \(E(1\,;\,3)\) et \(F(4\,;\,5)\). Le mur B est perpendiculaire au mur A et passe par \(G(2\,;\,1)\).
1. Calculer le vecteur directeur \(\overrightarrow{EF}\) du mur A.
2. Écrire l'équation du mur B (le vecteur directeur de A est le vecteur normal de B).
3. Calculer la distance entre le point \(H(6\,;\,0)\) et le mur B.
Réponses : ………………………………

1. \(\overrightarrow{EF} = \begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}\).

2. Vecteur normal à B = \(\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}\). Équation de B passant par \(G(2\,;\,1)\) : \(3(x-2) + 2(y-1) = 0\) → \(3x + 2y - 8 = 0\). \(3x + 2y - 8 = 0\).

3. \(d(H, B) = \dfrac{|3 \times 6 + 2 \times 0 - 8|}{\sqrt{9+4}} = \dfrac{|18 - 8|}{\sqrt{13}} = \dfrac{10}{\sqrt{13}} \approx\) \(2{,}77\) unités.

Exercice 22 Angles et distances dans un réseau de distribution Standard
Contexte : Un installateur de pompes à chaleur trace le réseau de liaisons entre 3 unités. Les unités sont aux positions \(A(0\,;\,0)\), \(B(5\,;\,2)\) et \(C(3\,;\,7)\) sur le plan (unité : 1 m).
1. Calculer les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
2. Calculer les longueurs \(AB\), \(AC\) et \(BC\). Arrondir au centième.
3. Calculer l'angle \(\widehat{BAC}\). Arrondir au degré.
4. La droite reliant \(A\) à \(B\) a pour équation \(2x - 5y = 0\). Vérifier que \(C\) n'est pas sur cette droite, puis calculer la distance de \(C\) à la droite \((AB)\).
Réponses : ………………………………

1. \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}3\\7\end{pmatrix}\).

2. \(AB = \sqrt{25+4} = \sqrt{29} \approx 5{,}39\) m. \(AC = \sqrt{9+49} = \sqrt{58} \approx 7{,}62\) m. \(\overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix}-2\\5\end{pmatrix}\), \(BC = \sqrt{4+25} = \sqrt{29} \approx 5{,}39\) m.

3. \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 15 + 14 = 29\). \(\cos(\widehat{BAC}) = \dfrac{29}{\sqrt{29}\sqrt{58}} = \dfrac{29}{\sqrt{1682}} \approx \dfrac{29}{41{,}01} \approx 0{,}707\). \(\widehat{BAC} \approx 45°\).

4. \(2 \times 3 - 5 \times 7 = 6 - 35 = -29 \neq 0\) → \(C\) n'est pas sur \((AB)\) ✓.
\(d = \dfrac{|-29|}{\sqrt{4+25}} = \dfrac{29}{\sqrt{29}} = \sqrt{29} \approx\) \(5{,}39\) m.

Exercice 23 Plan d'aménagement d'un magasin Approfondissement
Contexte : Un agenceur d'espace réalise le plan d'implantation d'un magasin. Sur le plan (unité : 1 m), les quatre coins de la pièce sont \(A(0\,;\,0)\), \(B(10\,;\,0)\), \(C(10\,;\,6)\) et \(D(0\,;\,6)\). Un îlot central est défini par les points \(E(3\,;\,2)\) et \(F(7\,;\,4)\).
1. Calculer les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AD}\). Vérifier que les murs \([AB]\) et \([AD]\) sont perpendiculaires.
2. Calculer le vecteur \(\overrightarrow{EF}\) et sa norme (longueur de la diagonale de l'îlot).
3. L'agenceur trace un couloir de circulation le long de la droite passant par \(E\) et \(F\). Déterminer l'équation de cette droite.
4. Un point de vente \(P(5\,;\,1)\) est prévu. Calculer la distance de \(P\) au couloir de circulation. Est-ce suffisant pour le passage d'un chariot de 80 cm de large ?
5. L'agenceur place un panneau signalétique en \(G(8\,;\,5)\). Calculer l'angle \(\widehat{EGF}\).
Réponses : ………………………………

1. \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}10\\0\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{AD} = \begin{pmatrix}0\\6\end{pmatrix}\).
\(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = 10 \times 0 + 0 \times 6 = 0\) → les murs sont perpendiculaires ✓.

2. \(\overrightarrow{EF} = \begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}\). \(\|\overrightarrow{EF}\| = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \approx 4{,}47\) m.

3. Vecteur directeur \(\overrightarrow{EF} = \begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}\), donc vecteur normal \(\vec{n} = \begin{pmatrix}2\\-4\end{pmatrix}\), soit \(\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}\).
Droite par \(E(3\,;\,2)\) : \(1(x-3) + (-2)(y-2) = 0\) → \(x - 2y + 1 = 0\).
Vérification avec \(F(7\,;\,4)\) : \(7 - 8 + 1 = 0\) ✓. \(x - 2y + 1 = 0\).

4. \(d(P,(d)) = \dfrac{|1 \times 5 + (-2) \times 1 + 1|}{\sqrt{1 + 4}} = \dfrac{|5 - 2 + 1|}{\sqrt{5}} = \dfrac{4}{\sqrt{5}} = \dfrac{4\sqrt{5}}{5} \approx 1{,}79\) m.
La distance est de 1,79 m, largement suffisante pour un chariot de 0,80 m.

5. \(\overrightarrow{GE} = \begin{pmatrix}-5\\-3\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{GF} = \begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}\).
\(\overrightarrow{GE} \cdot \overrightarrow{GF} = 5 + 3 = 8\).
\(\|\overrightarrow{GE}\| = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34}\) et \(\|\overrightarrow{GF}\| = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}\).
\(\cos(\widehat{EGF}) = \dfrac{8}{\sqrt{34} \times \sqrt{2}} = \dfrac{8}{\sqrt{68}} = \dfrac{8}{2\sqrt{17}} \approx \dfrac{8}{8{,}246} \approx 0{,}970\).
\(\widehat{EGF} = \arccos(0{,}970) \approx 14°\).

Exercice 24 Réseau de tuyauteries et composantes de force Approfondissement
Contexte : Un technicien chauffagiste installe un réseau de chauffage dans un bâtiment. Sur le plan (unité : 1 m), la chaudière est en \(A(0\,;\,0)\), un radiateur est en \(B(8\,;\,0)\) et un second radiateur est en \(C(8\,;\,6)\). Une force de poussée de la pompe agit dans la direction du tuyau \([AB]\) avec une intensité de 500 N. On représente cette force par le vecteur \(\vec{F} = 500\,\vec{e}_{AB}\) où \(\vec{e}_{AB}\) est le vecteur unitaire de \(\overrightarrow{AB}\).
1. Calculer les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
2. Vérifier que l'angle au coin \(B\) (angle \(\widehat{ABC}\)) est un angle droit, en utilisant le produit scalaire des vecteurs \(\overrightarrow{BA}\) et \(\overrightarrow{BC}\).
3. Calculer la longueur totale de tuyauterie si le technicien relie \(A \to B \to C\).
4. Un tuyau diagonal relie directement \(A\) à \(C\). Calculer sa longueur et l'angle \(\alpha\) qu'il fait avec l'horizontale.
5. La force de la pompe est \(\vec{F}\begin{pmatrix}500\\0\end{pmatrix}\) (en newtons). Un tuyau incliné suit la direction \(\overrightarrow{AC}\). Calculer la composante de \(\vec{F}\) dans la direction de \(\overrightarrow{AC}\) à l'aide de la projection : \(\text{comp} = \dfrac{\vec{F} \cdot \overrightarrow{AC}}{\|\overrightarrow{AC}\|}\). Arrondir au newton.
Réponses : ………………………………

1. \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}8\\0\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}8\\6\end{pmatrix}\).

2. \(\overrightarrow{BA} = \begin{pmatrix}-8\\0\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix}0\\6\end{pmatrix}\).
\(\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = (-8) \times 0 + 0 \times 6 = 0\). L'angle en \(B\) est droit ✓.

3. \(AB = 8\) m et \(BC = 6\) m. Longueur totale : \(8 + 6 = 14\) m.

4. \(\|\overrightarrow{AC}\| = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10\) m.
\(\tan(\alpha) = \dfrac{6}{8} = 0{,}75\), donc \(\alpha = \arctan(0{,}75) \approx 37°\).
Le tuyau diagonal mesure 10 m et fait un angle de 37° avec l'horizontale.

5. \(\vec{F} \cdot \overrightarrow{AC} = 500 \times 8 + 0 \times 6 = 4\,000\).
\(\text{comp} = \dfrac{4\,000}{10} = 400\) N.
La composante de la force dans la direction de \(\overrightarrow{AC}\) est de 400 N.

Exercice 25 Optimisation de tracé — réseau de canalisations Approfondissement
Contexte : Un plombier chauffagiste relie trois radiateurs sur un plan (unité : 1 m). Les radiateurs sont en \(R_1(0\,;\,0)\), \(R_2(6\,;\,0)\) et \(R_3(3\,;\,5)\). Il doit trouver le point \(P(x\,;\,0)\) sur le segment \([R_1 R_2]\) qui minimise la distance totale \(PR_1 + PR_2 + PR_3\).
1. Calculer les vecteurs \(\overrightarrow{R_1R_2}\) et \(\overrightarrow{R_1R_3}\).
2. Calculer le produit scalaire \(\overrightarrow{R_1R_2} \cdot \overrightarrow{R_1R_3}\) et l'angle \(\widehat{R_2 R_1 R_3}\).
3. Déterminer l'équation de la droite \((R_1 R_3)\) et la distance de \(R_2\) à cette droite. Interpréter : quelle est la distance minimale entre \(R_2\) et le tuyau \([R_1 R_3]\) ?
4. Calculer la longueur du tuyau en ligne brisée \(R_1 \to R_2 \to R_3\) et la longueur du tuyau direct \(R_1 \to R_3\). Quelle option est la plus économique en matériel ?
Réponses : ………………………………

1. \(\overrightarrow{R_1R_2} = \begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{R_1R_3} = \begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix}\).

2. \(\overrightarrow{R_1R_2} \cdot \overrightarrow{R_1R_3} = 18 + 0 = 18\). \(\|\overrightarrow{R_1R_2}\| = 6\), \(\|\overrightarrow{R_1R_3}\| = \sqrt{9+25} = \sqrt{34}\).
\(\cos(\widehat{R_2R_1R_3}) = \dfrac{18}{6\sqrt{34}} = \dfrac{3}{\sqrt{34}} \approx 0{,}514\). \(\widehat{R_2R_1R_3} \approx 59°\).

3. Direction \(\overrightarrow{R_1R_3} = \begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix}\), vecteur normal \(\begin{pmatrix}5\\-3\end{pmatrix}\). Droite \((R_1R_3)\) passant par \((0,0)\) : \(5x - 3y = 0\).
\(d(R_2, (R_1R_3)) = \dfrac{|5 \times 6 - 3 \times 0|}{\sqrt{25+9}} = \dfrac{30}{\sqrt{34}} \approx\) \(5{,}14\) m. C'est la distance minimale entre \(R_2\) et le tuyau \([R_1R_3]\).

4. Ligne brisée : \(R_1R_2 + R_2R_3\). \(R_2R_3 = \sqrt{9+25} = \sqrt{34} \approx 5{,}83\) m. Total : \(6 + 5{,}83 \approx 11{,}83\) m.
Tuyau direct : \(R_1R_3 = \sqrt{34} \approx 5{,}83\) m.
Le tuyau direct est beaucoup plus court (5,83 m contre 11,83 m).

Exercice 26 Projection orthogonale et travail d'une force Approfondissement
Contexte : En physique du bâtiment, le travail d'une force \(\vec{F}\) lors d'un déplacement \(\vec{d}\) est \(W = \vec{F} \cdot \vec{d}\). Un technicien de maintenance déplace un équipement selon \(\vec{d}\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}\) (en mètres) avec une force \(\vec{F}\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}\) (en newtons).
1. Calculer le travail \(W = \vec{F} \cdot \vec{d}\) (en joules).
2. Calculer \(\|\vec{d}\|\) et \(\|\vec{F}\|\). Arrondir au centième.
3. En déduire l'angle entre la force et le déplacement. Arrondir au degré.
4. La projection de \(\vec{F}\) sur \(\vec{d}\) est \(\text{proj} = \dfrac{\vec{F}\cdot\vec{d}}{\|\vec{d}\|}\). Calculer cette projection et interpréter physiquement.
5. Si le technicien exerce la même force mais dans la direction exacte du déplacement, quel travail obtiendrait-il ? Comparer.
Réponses : ………………………………

1. \(W = 10 \times 4 + 5 \times 3 = 40 + 15 =\) \(55\) J.

2. \(\|\vec{d}\| = \sqrt{16+9} = 5\) m. \(\|\vec{F}\| = \sqrt{100+25} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5} \approx\) \(11{,}18\) N.

3. \(\cos\theta = \dfrac{55}{5 \times 11{,}18} = \dfrac{55}{55{,}9} \approx 0{,}984\). \(\theta \approx 10°\).

4. \(\text{proj} = \dfrac{55}{5} = 11\) N. La composante efficace de la force dans la direction du déplacement est de 11 N.

5. Si \(\vec{F}\) était alignée avec \(\vec{d}\), \(W = \|\vec{F}\| \times \|\vec{d}\| = 11{,}18 \times 5 \approx 55{,}9\) J. Le gain serait faible (0,9 J) car l'angle est déjà petit (10°).

Exercice 27 Géométrie du triangle — théorème de la médiane Approfondissement

On considère le triangle \(ABC\) avec \(A(1\,;\,1)\), \(B(7\,;\,1)\) et \(C(4\,;\,5)\).

1. Calculer les longueurs \(AB\), \(BC\), \(CA\). Quelle est la nature du triangle ?
2. Soit \(M\) le milieu de \([BC]\). Calculer les coordonnées de \(M\) et la longueur \(AM\) (médiane).
3. La formule de la médiane est \(AM^2 = \dfrac{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2}{4}\). Vérifier cette formule.
Indication : utiliser le produit scalaire pour développer \(AM^2 = |\overrightarrow{AM}|^2\).
4. Calculer les angles du triangle (les 3 angles en \(A\), \(B\), \(C\)).
Réponses : ………………………………

1. \(AB = 6\). \(\overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix}-3\\4\end{pmatrix}\), \(BC = 5\). \(\overrightarrow{CA} = \begin{pmatrix}-3\\-4\end{pmatrix}\), \(CA = 5\).
Triangle isocèle en \(C\) car \(CA = CB = 5\) (les deux côtés issus de \(C\) sont égaux), tandis que \(AB = 6\).

2. \(M = \left(\dfrac{7+4}{2}\,;\,\dfrac{1+5}{2}\right) = (5{,}5\,;\,3)\). \(\overrightarrow{AM} = \begin{pmatrix}4{,}5\\2\end{pmatrix}\). \(AM = \sqrt{20{,}25+4} = \sqrt{24{,}25} \approx\) \(4{,}92\) m.

3. \(\dfrac{2 \times 36 + 2 \times 25 - 25}{4} = \dfrac{72 + 50 - 25}{4} = \dfrac{97}{4} = 24{,}25 = AM^2\) ✓.

4. Angle en \(A\) : \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix} = 18\). \(\cos A = \dfrac{18}{6 \times 5} = 0{,}6\). \(A \approx 53°\).
Par symétrie (\(BC = CA\)), les angles en \(B\) et \(C\) sont égaux : \(B = C = \dfrac{180° - 53°}{2} \approx 63{,}5°\).

Exercice 28 Perpendiculaire abaissée d'un point sur une droite Approfondissement
Contexte : Sur un plan de coupe (unité : 1 cm), un artisan menuisier doit tracer la perpendiculaire depuis le point \(P(5\,;\,8)\) sur la droite \((d) : 2x + y - 10 = 0\). Le pied de la perpendiculaire \(H\) est le point de \((d)\) le plus proche de \(P\).
1. Vérifier que \(P\) n'appartient pas à \((d)\).
2. La perpendiculaire à \((d)\) par \(P\) a pour vecteur directeur \(\vec{n}\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}\) (vecteur normal de \((d)\)). Écrire l'équation paramétrique de cette perpendiculaire : \(x = 5 + 2t\), \(y = 8 + t\).
3. Trouver \(t\) tel que le point \((5+2t\,;\,8+t)\) appartienne à \((d)\).
4. En déduire les coordonnées de \(H\) et la distance \(PH\) (vérifier avec la formule de la distance point-droite).
Réponses : ………………………………

1. \(2 \times 5 + 8 - 10 = 8 \neq 0\). \(P\) n'appartient pas à \((d)\) ✓.

2. La perpendiculaire a pour vecteur directeur le vecteur normal à \((d)\) : \(\vec{n}\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}\). Droite par \(P\) : \((x,y) = (5,8) + t(2,1)\).

3. On substitue dans \(2x + y - 10 = 0\) : \(2(5+2t) + (8+t) - 10 = 0\) → \(10 + 4t + 8 + t - 10 = 0\) → \(5t + 8 = 0\) → \(t = -\dfrac{8}{5} = -1{,}6\).

4. \(H = (5 + 2 \times (-1{,}6)\,;\,8 + (-1{,}6)) = (5 - 3{,}2\,;\,6{,}4) =\) \((1{,}8\,;\,6{,}4)\).
\(PH = \sqrt{(5-1{,}8)^2 + (8-6{,}4)^2} = \sqrt{10{,}24 + 2{,}56} = \sqrt{12{,}8} \approx 3{,}58\) cm.
Vérification : \(d(P,(d)) = \dfrac{|10+8-10|}{\sqrt{4+1}} = \dfrac{8}{\sqrt{5}} = \dfrac{8\sqrt{5}}{5} \approx 3{,}58\) ✓.

Exercice 29 Produit scalaire dans l'espace — calcul de puissance électrique Approfondissement
Contexte : En électricité, la puissance active d'un circuit alternatif est \(P = UI\cos\varphi\) où \(U\) et \(I\) sont les valeurs efficaces et \(\varphi\) l'angle de déphasage. On peut l'écrire \(P = \vec{U} \cdot \vec{I}\) dans un espace de phaseurs, avec \(\|\vec{U}\| = U\), \(\|\vec{I}\| = I\) et l'angle entre les deux phaseurs vaut \(\varphi\). Un technicien CVC mesure : \(U = 230\) V, \(I = 4{,}5\) A et \(\varphi = 30°\).
1. Calculer la puissance active \(P = UI\cos\varphi\). Donner le résultat en watts, arrondir à l'unité.
2. La puissance apparente est \(S = UI\). Calculer \(S\) en voltampères (VA).
3. Le facteur de puissance est \(\cos\varphi = \dfrac{P}{S}\). Donner sa valeur et interpréter : est-ce un bon facteur de puissance ?
4. On souhaite améliorer le facteur de puissance à \(\cos\varphi' = 0{,}95\). Avec \(I' = \dfrac{P}{U\cos\varphi'}\), calculer la nouvelle intensité nécessaire. Comparer à \(I = 4{,}5\) A.
Réponses : ………………………………

1. \(P = 230 \times 4{,}5 \times \cos 30° = 1035 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 1035 \times 0{,}866 \approx\) \(896\) W.

2. \(S = 230 \times 4{,}5 =\) \(1035\) VA.

3. \(\cos\varphi = \dfrac{896}{1035} \approx 0{,}866\). C'est correct (supérieur à 0,8) mais peut être amélioré.

4. \(I' = \dfrac{896}{230 \times 0{,}95} = \dfrac{896}{218{,}5} \approx\) \(4{,}10\) A. L'intensité diminue de 4,5 A à 4,1 A — économie d'énergie réactive et réduction des pertes par effet Joule dans les câbles.

Exercice 30 Problème d'implantation — type BTS agencement Approfondissement
Contexte : Un conducteur de travaux reçoit le plan d'une boutique rectangulaire avec les coins \(O(0\,;\,0)\), \(A(12\,;\,0)\), \(B(12\,;\,8)\) et \(C(0\,;\,8)\) (unité : 1 m). Une allée centrale suit la droite \((d) : x - 2y + 4 = 0\). Un pilier de soutènement se trouve en \(P(4\,;\,6)\).
1. Vérifier que la droite \((d)\) passe par les points \(A' = (-4\,;\,0)\) et \(B' = (0\,;\,2)\).
2. Calculer la distance du pilier \(P\) à l'allée \((d)\). Le pilier gêne-t-il le passage si l'allée doit avoir 2 m de large de chaque côté ?
3. Donner le vecteur normal \(\vec{n}\) à \((d)\) et écrire l'équation de la droite perpendiculaire à \((d)\) passant par \(P\).
4. Calculer l'angle que fait l'allée \((d)\) avec le mur \(OA\) (de direction horizontale). Le revêtement sera posé en bandes parallèles à l'allée — quel angle de coupe faut-il régler sur la scie ?
5. Un comptoir est centré en \(K(8\,;\,4)\). Calculer la distance de \(K\) à l'allée \((d)\) et vérifier que le comptoir ne gêne pas la circulation.
Réponses : ………………………………

1. \(A'(-4\,;\,0)\) : \(-4 - 0 + 4 = 0\) ✓. \(B'(0\,;\,2)\) : \(0 - 4 + 4 = 0\) ✓.

2. \(d(P,(d)) = \dfrac{|4 - 12 + 4|}{\sqrt{1+4}} = \dfrac{4}{\sqrt{5}} \approx\) \(1{,}79\) m. L'allée devant avoir 2 m de large de chaque côté, le pilier (à 1,79 m) est dans la zone de circulation — il gêne le passage.

3. \(\vec{n}\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}\). Droite par \(P(4\,;\,6)\) : \(1(x-4) - 2(y-6) = 0\) → \(x - 2y + 8 = 0\).

4. Direction de \((d)\) : vecteur directeur \(\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}\). Direction du mur \(OA\) : \(\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\).
\(\cos\alpha = \dfrac{2 \times 1 + 1 \times 0}{\sqrt{5} \times 1} = \dfrac{2}{\sqrt{5}} \approx 0{,}894\). \(\alpha = \arccos(0{,}894) \approx\) \(26{,}6°\). Angle de coupe à régler : 26,6°.

5. \(d(K,(d)) = \dfrac{|8 - 8 + 4|}{\sqrt{5}} = \dfrac{4}{\sqrt{5}} \approx 1{,}79\) m. Le comptoir est également à 1,79 m de l'allée — il est aussi dans la zone de 2 m et doit être déplacé.

Exercice 31 Vérification de perpendiculaire et équation de cloison Approfondissement
Contexte : Un menuisier agenceur travaille sur le plan d'une pièce (unité : 1 dm). Les murs sont définis par les points \(A(0\,;\,0)\), \(B(15\,;\,0)\), \(C(15\,;\,9)\), \(D(0\,;\,9)\). Une cloison de séparation part du point \(E(6\,;\,0)\) (sur \([AB]\)) vers un point \(F\) sur le mur \([CD]\), avec un angle de 90° avec \([AB]\).
1. Donner le vecteur directeur du mur \([AB]\) et le vecteur normal à ce mur.
2. Déterminer l'équation de la droite \((EF)\) perpendiculaire à \([AB]\) passant par \(E(6\,;\,0)\).
3. Trouver les coordonnées de \(F\), intersection de \((EF)\) avec le mur \([CD]\) (d'équation \(y = 9\)).
4. Calculer la longueur de la cloison \([EF]\). L'installateur commande des rails de cloison en barres de 1,20 m ; combien de barres complètes sont nécessaires ?
5. Un poteau porteur est situé en \(P(9\,;\,5)\). Calculer sa distance à la cloison \((EF)\) et vérifier qu'il ne se trouve pas dans l'axe de la cloison.
Réponses : ………………………………

1. Vecteur directeur de \([AB]\) : \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}15\\0\end{pmatrix}\), soit \(\vec{d} = \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\). Vecteur normal : \(\vec{n} = \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\).

2. La cloison est perpendiculaire à \([AB]\), donc de direction \(\vec{n} = \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\). Équation de \((EF)\) : vecteur normal = \(\vec{d} = \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\), donc équation \(1 \cdot x + 0 \cdot y + c = 0\). Point \(E(6\,;\,0)\) : \(6 + c = 0\), \(c = -6\). \((EF) : x = 6\).

3. Intersection avec \([CD]\) : \(y = 9\) et \(x = 6\), donc \(F = (6\,;\,9)\).

4. \(\overrightarrow{EF} = \begin{pmatrix}0\\9\end{pmatrix}\), donc \(\|EF\| = 9\) dm = \(0{,}9\) m. Pour 0,9 m avec des barres de 1,20 m : 1 barre suffit.

5. Distance de \(P(9\,;\,5)\) à la droite \(x = 6\) (équation \(x - 6 = 0\)) :
\(d = \dfrac{|9 - 6|}{\sqrt{1}} = 3\) dm = \(0{,}3\) m. Le poteau est à 0,3 m de la cloison — il n'est pas dans l'axe (\(x \neq 6\)) et ne gêne pas la pose.

Exercice 32 Angle de coupe et distance — pose de revêtement en diagonale Approfondissement
Contexte : Un poseur de cuisines installe un carrelage en diagonale dans une cuisine rectangulaire. L'axe de pose des carreaux suit la droite \((d) : 3x - 4y + 12 = 0\) (unité : 1 dm). Le mur du fond est la droite \((m) : y = 0\). Une prise d'eau est en \(P(5\,;\,3)\).
1. Donner un vecteur directeur de \((d)\) et un vecteur directeur de \((m)\).
2. Calculer l'angle entre la droite de pose \((d)\) et le mur \((m)\). À quel angle doit-on régler la scie pour couper les carreaux le long de l'axe de pose ?
3. Calculer la distance de la prise d'eau \(P(5\,;\,3)\) à la droite de pose \((d)\).
4. Si les carreaux ont une largeur de 4 dm, la prise se trouve-t-elle sous un carreau ou dans un joint ? (Comparer la distance à la demi-largeur.)
5. Écrire l'équation de la droite passant par \(P\) et perpendiculaire à \((d)\). Interprétation : cette droite donne la direction du joint le plus proche de \(P\).
Réponses : ………………………………

1. Pour \(3x - 4y + 12 = 0\) : vecteur normal \(\vec{n} = \begin{pmatrix}3\\-4\end{pmatrix}\), vecteur directeur \(\vec{u} = \begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}\). Pour \((m)\) : \(y = 0\), vecteur directeur \(\vec{v} = \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\).

2. \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 4 \times 1 + 3 \times 0 = 4\). \(\|\vec{u}\| = \sqrt{16+9} = 5\), \(\|\vec{v}\| = 1\).
\(\cos\theta = \dfrac{4}{5 \times 1} = 0{,}8\). \(\theta = \arccos(0{,}8) \approx 36{,}9°\). La scie doit être réglée à environ 37°.

3. \(d(P,(d)) = \dfrac{|3 \times 5 - 4 \times 3 + 12|}{\sqrt{9+16}} = \dfrac{|15 - 12 + 12|}{5} = \dfrac{15}{5} =\) \(3\) dm.

4. Demi-largeur des carreaux : \(4/2 = 2\) dm. Distance = 3 dm > 2 dm : la prise se trouve au-delà d'un carreau entier, dans le carreau suivant (pas dans un joint). Il faudra découper soigneusement le carreau pour contourner la prise.

5. Droite perpendiculaire à \((d)\) passant par \(P(5\,;\,3)\) : vecteur normal = vecteur directeur de \((d)\) = \(\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}\). Vecteur normal à la perpendiculaire : \(\begin{pmatrix}3\\-4\end{pmatrix}\), donc équation \(3(x-5) - 4(y-3) = 0\) → \(3x - 4y - 3 = 0\).

Exercice 33 Réseau de chauffage — angles de raccordement et longueurs Approfondissement
Contexte : Un technicien chauffagiste conçoit le plan d'un réseau de distribution de chaleur dans un bâtiment industriel. Sur le plan (unité : 1 m), la chaudière est en \(O(0\,;\,0)\), le nœud de distribution en \(N(8\,;\,4)\), et deux radiateurs en \(R_1(14\,;\,2)\) et \(R_2(10\,;\,9)\).
1. Calculer les vecteurs \(\overrightarrow{ON}\), \(\overrightarrow{NR_1}\) et \(\overrightarrow{NR_2}\).
2. Calculer les longueurs de tuyau \(ON\), \(NR_1\) et \(NR_2\). Donner la longueur totale du réseau.
3. Calculer l'angle \(\widehat{R_1 N R_2}\) (angle entre les deux tuyaux de sortie au nœud \(N\)). Est-ce un angle droit ?
4. L'entreprise pose une isolation autour de chaque tuyau. Le coût d'isolation est de 12 €/m. Calculer le coût total d'isolation du réseau.
5. Un robinet de réglage doit être placé sur le tuyau \([NR_2]\) à 3 m du nœud \(N\). Calculer ses coordonnées (arrondir à deux décimales).
Réponses : ………………………………

1. \(\overrightarrow{ON} = \begin{pmatrix}8\\4\end{pmatrix}\) ; \(\overrightarrow{NR_1} = \begin{pmatrix}6\\-2\end{pmatrix}\) ; \(\overrightarrow{NR_2} = \begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix}\).

2. \(\|ON\| = \sqrt{64+16} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} \approx 8{,}94\) m.
\(\|NR_1\| = \sqrt{36+4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \approx 6{,}32\) m.
\(\|NR_2\| = \sqrt{4+25} = \sqrt{29} \approx 5{,}39\) m.
Longueur totale : \(8{,}94 + 6{,}32 + 5{,}39 \approx 20{,}65\) m.

3. \(\overrightarrow{NR_1} \cdot \overrightarrow{NR_2} = 6 \times 2 + (-2) \times 5 = 12 - 10 = 2 \neq 0\). Pas un angle droit.
\(\cos(\widehat{R_1NR_2}) = \dfrac{2}{\sqrt{40} \times \sqrt{29}} = \dfrac{2}{\sqrt{1160}} \approx \dfrac{2}{34{,}06} \approx 0{,}0587\).
\(\widehat{R_1NR_2} = \arccos(0{,}0587) \approx 86{,}6°\) — presque perpendiculaire mais pas exactement.

4. Coût d'isolation : \(20{,}65 \times 12 \approx\) \(247{,}8\) €.

5. Vecteur unitaire \(\overrightarrow{NR_2}\) : \(\dfrac{1}{\sqrt{29}}\begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix}\). Point à 3 m de \(N\) dans la direction \(NR_2\) :
\(\left(8 + \dfrac{3 \times 2}{\sqrt{29}}\,;\,4 + \dfrac{3 \times 5}{\sqrt{29}}\right) = \left(8 + \dfrac{6}{5{,}385}\,;\,4 + \dfrac{15}{5{,}385}\right) \approx\) \((9{,}11\,;\,6{,}79)\).

Exercice 34 Identité de polarisation — application géométrique dans un triangle Approfondissement
Contexte : Un architecte d'intérieur vérifie les dimensions d'un espace triangulaire \(ABC\) sur plan (unité : 1 dm). On donne \(A(0\,;\,0)\), \(B(10\,;\,0)\) et \(C(4\,;\,7)\).
1. Calculer les longueurs \(AB\), \(AC\) et \(BC\).
2. En utilisant l'identité de polarisation \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{2}\left(\|AB\|^2 + \|AC\|^2 - \|BC\|^2\right)\), calculer \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\) sans utiliser les coordonnées.
3. Vérifier le résultat en calculant directement \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\) avec les coordonnées.
4. En déduire l'angle \(\widehat{BAC}\). L'espace triangulaire présente-t-il un angle obtus en \(A\) ?
5. Calculer la hauteur issue de \(A\) dans le triangle \(ABC\) (distance de \(A\) à la droite \((BC)\)). L'architecte souhaite placer une étagère le long de ce côté à 2 dm du mur \((BC)\) : est-ce possible sans dépasser la hauteur ?
Réponses : ………………………………

1. \(AB = 10\) dm. \(AC = \sqrt{16+49} = \sqrt{65} \approx 8{,}06\) dm. \(BC = \sqrt{(10-4)^2+(0-7)^2} = \sqrt{36+49} = \sqrt{85} \approx 9{,}22\) dm.

2. \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{2}(100 + 65 - 85) = \dfrac{1}{2} \times 80 =\) \(40\).

3. \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}10\\0\end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}4\\7\end{pmatrix}\). \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 10 \times 4 + 0 \times 7 = 40\) ✓.

4. \(\cos(\widehat{BAC}) = \dfrac{40}{10 \times \sqrt{65}} = \dfrac{40}{10 \times 8{,}062} = \dfrac{40}{80{,}62} \approx 0{,}496\).
\(\widehat{BAC} = \arccos(0{,}496) \approx\) \(60{,}2°\). Le produit scalaire est positif donc l'angle est aigu — pas d'angle obtus en \(A\).

5. Droite \((BC)\) : direction \(\overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix}-6\\7\end{pmatrix}\), vecteur normal \(\vec{n} = \begin{pmatrix}7\\6\end{pmatrix}\). Équation : \(7(x-10) + 6(y-0) = 0\) → \(7x + 6y - 70 = 0\).
\(d(A,(BC)) = \dfrac{|7 \times 0 + 6 \times 0 - 70|}{\sqrt{49+36}} = \dfrac{70}{\sqrt{85}} \approx \dfrac{70}{9{,}22} \approx\) \(7{,}59\) dm.
Une étagère à 2 dm du mur \((BC)\) est bien possible : \(2 < 7{,}59\), l'espace disponible est suffisant.

Exercice 35 Projection et composante d'une force — travail en physique du bâtiment Approfondissement
Contexte : Un installateur de panneaux solaires exerce une force \(\vec{F}\) sur un panneau pour le faire coulisser le long d'un rail incliné. Le rail a une direction \(\vec{d}\begin{pmatrix}5\\3\end{pmatrix}\) (unité : dm). La force exercée est \(\vec{F}\begin{pmatrix}8\\2\end{pmatrix}\) (unité : N).
1. Calculer le produit scalaire \(\vec{F} \cdot \vec{d}\).
2. Calculer \(\|\vec{d}\|\) et \(\|\vec{F}\|\). En déduire l'angle \(\theta\) entre la force et le rail.
3. La composante de \(\vec{F}\) dans la direction du rail est \(F_{\parallel} = \|\vec{F}\| \cos\theta\). Calculer \(F_{\parallel}\) (en N). C'est la part de la force qui fait réellement avancer le panneau.
4. Le technicien doit déplacer le panneau sur une longueur de \(\|\vec{d}\| \approx 5{,}83\) dm le long du rail. Calculer le travail \(W = \vec{F} \cdot \vec{d}\) et interpréter en joules (1 N·dm = 0,1 J).
5. Si le technicien changeait la direction de sa force pour qu'elle soit exactement parallèle au rail, avec la même intensité \(\|\vec{F}\|\), quel serait le nouveau travail ? Comparer.
Réponses : ………………………………

1. \(\vec{F} \cdot \vec{d} = 8 \times 5 + 2 \times 3 = 40 + 6 =\) \(46\) N·dm.

2. \(\|\vec{d}\| = \sqrt{25+9} = \sqrt{34} \approx 5{,}83\) dm. \(\|\vec{F}\| = \sqrt{64+4} = \sqrt{68} \approx 8{,}25\) N.
\(\cos\theta = \dfrac{46}{\sqrt{34} \times \sqrt{68}} = \dfrac{46}{\sqrt{2312}} = \dfrac{46}{48{,}08} \approx 0{,}957\).
\(\theta \approx \arccos(0{,}957) \approx 17{,}1°\).

3. \(F_{\parallel} = \|\vec{F}\| \cos\theta = 8{,}25 \times 0{,}957 \approx\) \(7{,}90\) N.

4. \(W = \vec{F} \cdot \vec{d} = 46\) N·dm \(= 46 \times 0{,}1 =\) \(4{,}6\) J. C'est l'énergie fournie pour déplacer le panneau sur la longueur du rail.

5. Si \(\vec{F}\) est parallèle au rail : \(\theta = 0\), donc \(W' = \|\vec{F}\| \times \|\vec{d}\| = 8{,}25 \times 5{,}83 \approx\) \(48{,}10\) N·dm \(\approx 4{,}81\) J. En alignant la force sur le rail, on obtient un travail plus grand : moins d'énergie est perdue en composante perpendiculaire.

Exercice 36 Problème complet — implantation d'un atelier type BTS Approfondissement
Contexte : Un conducteur de travaux doit implanter les machines dans un atelier rectangulaire dont les coins sont \(O(0\,;\,0)\), \(A(20\,;\,0)\), \(B(20\,;\,12)\), \(C(0\,;\,12)\) (unité : 1 dm). Une voie de chariot suit la droite \((v) : 2x - 3y + 6 = 0\). Deux machines sont en \(M_1(4\,;\,8)\) et \(M_2(16\,;\,5)\).
1. Vérifier que la voie \((v)\) passe par les points \(Q_1(0\,;\,2)\) et \(Q_2(6\,;\,6)\).
2. Calculer la distance de chaque machine à la voie de chariot. Y a-t-il une zone de dégagement suffisante de 2 dm de part et d'autre de la voie ?
3. Calculer l'angle que fait la voie \((v)\) avec le mur \([OA]\) (axe des abscisses).
4. Un nouveau poste de travail doit être placé sur la droite perpendiculaire à \((v)\) passant par \(M_1\). Écrire l'équation de cette perpendiculaire.
5. Calculer les coordonnées du pied de la perpendiculaire depuis \(M_1\) sur \((v)\) (point le plus proche de \(M_1\) sur la voie). Ce point est-il dans la zone utile de l'atelier \([0\,;\,20] \times [0\,;\,12]\) ?
Réponses : ………………………………

1. \(Q_1(0\,;\,2)\) : \(2 \times 0 - 3 \times 2 + 6 = 0\) ✓. \(Q_2(6\,;\,6)\) : \(12 - 18 + 6 = 0\) ✓.

2. \(d(M_1,(v)) = \dfrac{|2 \times 4 - 3 \times 8 + 6|}{\sqrt{4+9}} = \dfrac{|8-24+6|}{\sqrt{13}} = \dfrac{10}{\sqrt{13}} \approx \dfrac{10}{3{,}606} \approx\) \(2{,}77\) dm.
\(d(M_2,(v)) = \dfrac{|2 \times 16 - 3 \times 5 + 6|}{\sqrt{13}} = \dfrac{|32-15+6|}{\sqrt{13}} = \dfrac{23}{\sqrt{13}} \approx \dfrac{23}{3{,}606} \approx\) \(6{,}38\) dm.
\(M_1\) est à 2,77 dm de la voie : supérieur à 2 dm, la zone de dégagement est juste suffisante pour \(M_1\). \(M_2\) est largement à l'écart.

3. Vecteur directeur de \((v)\) : \(\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}\). Vecteur directeur de \([OA]\) : \(\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\).
\(\cos\alpha = \dfrac{3}{\sqrt{13} \times 1} = \dfrac{3}{\sqrt{13}} \approx 0{,}832\).
\(\alpha = \arccos(0{,}832) \approx 33{,}7°\).

4. Perpendiculaire à \((v)\) par \(M_1(4\,;\,8)\) : vecteur normal à la perpendiculaire = vecteur directeur de \((v)\) = \(\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}\), donc équation \(3(x-4) + 2(y-8) = 0\) → \(3x + 2y - 28 = 0\).

5. Pied de la perpendiculaire : intersection de \((v)\) et \(3x + 2y - 28 = 0\).
De \((v)\) : \(y = \dfrac{2x+6}{3}\). Substituer dans la perpendiculaire : \(3x + 2 \cdot \dfrac{2x+6}{3} - 28 = 0\) → \(9x + 4x + 12 - 84 = 0\) → \(13x = 72\) → \(x = \dfrac{72}{13} \approx 5{,}54\).
\(y = \dfrac{2 \times 72/13 + 6}{3} = \dfrac{144/13 + 78/13}{3} = \dfrac{222}{39} \approx 5{,}69\).
Pied de perpendiculaire : \(H\approx(5{,}54\,;\,5{,}69)\). Ce point est bien dans la zone utile \([0\,;\,20] \times [0\,;\,12]\) ✓.

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