Terminale Bac Pro · Classes ERA, TMA, ICCER (Grpt 1)
Dernière mise à jour : 29 avril 2026
Programme complémentaire — poursuite d'études
Ce module fait partie du programme complémentaire de Terminale Bac Pro : il prépare la poursuite d'études (BTS et au-delà) et se traite dans le cadre de l'accompagnement au choix d'orientation.
Il ne fait pas partie du programme évalué en CCF.
Objectifs du chapitre :
Calculer un produit scalaire par les trois formules (norme/angle, coordonnées, développement)
Démontrer l’orthogonalité de deux vecteurs ou de deux droites
Calculer l’angle entre deux vecteurs (ou deux droites, deux plans)
Écrire l’équation d’une droite à partir de son vecteur normal
Calculer la distance d’un point à une droite
Appliquer ces outils à des problèmes professionnels (plans de construction, réseaux, forces)
Situation professionnelle — Vérification d'équerrage et angles de construction
Une technicienne d'agencement vérifie si les rebords d'un plan de travail en L sont bien perpendiculaires, et calcule les angles de coupe des lames d'un plancher en biais. Le produit scalaire est l'outil mathématique qui permet de répondre à ces questions.
Visualisation interactive
Modifiez les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) ci-dessous ou chargez un exemple pour voir le produit scalaire et l’angle calculés en temps réel.
\(\vec{u} \cdot \vec{v}\) = —
\(|\vec{u}|\) = — | \(|\vec{v}|\) = —
Angle \(\theta\) = —
Vecteurs orthogonaux (θ = 90°)
1. Trois définitions du produit scalaire
1.1 Définition par les normes et l’angle
Définition
Soient \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs non nuls et \(\theta\) l’angle entre eux (\(0 \leq \theta \leq \pi\)).
\[
\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \times |\vec{v}| \times \cos(\theta)
\]
Si l’un des vecteurs est le vecteur nul, on pose \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\).
Cas particuliers
Si \(\theta = 0°\) : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \times |\vec{v}|\) (vecteurs de même sens)
Si \(\theta = 180°\) : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = -|\vec{u}| \times |\vec{v}|\) (vecteurs de sens opposé)
Quand l’utiliser ?
Quand on connaît les longueurs des deux vecteurs et l’angle entre eux — par exemple la composante d’une force, le travail d’une force, un angle mesuré sur un plan.
1.2 Définition par les coordonnées
Définition
Dans un repère orthonormé, si \(\vec{u}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix}\) :
\[
\vec{u} \cdot \vec{v} = ac + bd
\]
Quand l’utiliser ?
Quand on dispose des coordonnées des vecteurs (plans cotés, système de coordonnées). C’est la formule la plus pratique sur plan ou en bureau d’études.
Calcule le produit scalaire \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) pour \(\vec{u} = \begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}\) et \(\vec{v} = \begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}\).
Quand l’utiliser ?
Quand on connaît les normes des vecteurs et la norme de leur somme ou différence, mais pas directement l’angle (géométrie plane avec longueurs de côtés connues, triangle).
Attention
Le produit scalaire n’est pas associatif : \((\vec{u} \cdot \vec{v}) \cdot \vec{w}\) n’a pas de sens car \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) est un nombre, pas un vecteur.
3. Orthogonalité
Définition & caractérisation
Deux vecteurs non nuls \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont orthogonaux si et seulement si :
\[
\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0
\]
Deux droites sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux.
Méthode — Vérifier l’orthogonalité
Lire ou calculer les coordonnées des vecteurs directeurs \(\vec{u}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix}\).
Calculer \(\vec{u} \cdot \vec{v} = ac + bd\).
Si le résultat est zéro : les vecteurs sont orthogonaux (droites perpendiculaires).
Exemple
\(\vec{u}\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix}\) :
\[
\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \times 4 + (-2) \times 6 = 12 - 12 = 0
\]
Conclusion : \(\vec{u} \perp \vec{v}\), les droites de direction \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont perpendiculaires.
ERA / TMA
Sur un plan de coupe, la cloison A a pour vecteur directeur \(\vec{u}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\) et la cloison B \(\vec{v}\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\).
\(\vec{u}\cdot\vec{v} = 1\times0 + 0\times1 = 0\) → les cloisons sont bien perpendiculaires.
ICCER (Grpt 1)
Deux canalisations ont pour vecteurs directeurs \(\vec{u}\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}\).
\(\vec{u}\cdot\vec{v} = 6-6 = 0\) → les canalisations se coupent à 90°.
Application
Les deux rebords d'un plan de travail ont pour vecteurs directeurs \(\vec{u} = \begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}\) et \(\vec{v} = \begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}\). Sont-ils perpendiculaires ?
Obtenir \(\theta = \arccos(\ldots)\) à la calculatrice (mode DEG).
Vérifier la cohérence : si \(\vec{u}\cdot\vec{v} > 0\) alors \(\theta < 90°\) ; si \(\vec{u}\cdot\vec{v} < 0\) alors \(\theta > 90°\).
Exemple menuiserie — Angle d’une arête de meuble
Contexte menuiserie
Un meuble a deux arêtes représentées par les vecteurs \(\vec{u}\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}\) (arête horizontale) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}\) (arête inclinée). Calculer l’angle entre ces deux arêtes.
Conclusion : L’angle entre les deux arêtes du meuble est d’environ 57,5°. Ce n’est pas un angle droit — la découpe des pièces devra être faite à 57,5° (et non à 45°).
Exemple professionnel — Angle entre deux canalisations
Contexte professionnel
Deux canalisations d’un réseau de distribution ont pour vecteurs directeurs \(\vec{u}\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}-1\\4\end{pmatrix}\). Calculer l’angle de raccordement.
Conclusion : L’angle de raccordement entre les deux canalisations est d’environ 70,4°. Il faut prévoir un coude adapté (ou deux coudes de 45°) lors du montage.
Application
Un menuisier coupe une lame selon deux directions : \(\vec{u} = \begin{pmatrix}5\\0\end{pmatrix}\) et \(\vec{v} = \begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}\). Calcule l'angle entre les deux directions (arrondi au degré).
Définition
Un vecteur normal à une droite \(d\) est un vecteur perpendiculaire à tout vecteur directeur de \(d\).
Si \(\vec{n}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\) est un vecteur normal à la droite \(d\), alors l’équation de \(d\) est de la forme :
\[
ax + by + c = 0
\]
où \(c \in \mathbb{R}\) est déterminé par les coordonnées d’un point connu de la droite.
Lien vecteur normal / vecteur directeur
Si le vecteur directeur de \(d\) est \(\vec{u}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\), alors un vecteur normal est \(\vec{n}\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}\) (rotation de 90°).
Méthode — Écrire l’équation d’une droite
Identifier le vecteur normal \(\vec{n}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\).
Écrire l’équation \(ax + by + c = 0\).
Injecter les coordonnées d’un point connu \(M(x_0; y_0)\) pour trouver \(c\) :
\(c = -ax_0 - by_0\).
Exemple
Droite passant par \(A(2\,;\,3)\) de vecteur normal \(\vec{n}\begin{pmatrix}4\\-1\end{pmatrix}\).
Forme générale : \(4x - y + c = 0\)
Point \(A(2\,;\,3)\) : \(4(2) - 3 + c = 0 \Rightarrow 8 - 3 + c = 0 \Rightarrow c = -5\)
Équation finale : \(\boxed{4x - y - 5 = 0}\)
6. Distance d’un point à une droite
Formule
La distance du point \(M(x_M\,;\,y_M)\) à la droite \(d : ax + by + c = 0\) est :
\[
d(M,\, d) = \frac{|ax_M + by_M + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}
\]
Attention
Ne pas oublier la valeur absolue au numérateur et la racine carrée au dénominateur. La distance est toujours positive ou nulle.
Méthode
Mettre la droite sous la forme \(ax + by + c = 0\).
Substituer les coordonnées de \(M\) dans \(ax + by + c\).
Prendre la valeur absolue.
Diviser par \(\sqrt{a^2 + b^2}\) (= norme du vecteur normal).
Exemple
Distance du point \(P(1\,;\,5)\) à la droite \(d : 3x - 4y + 2 = 0\).
\[
d(P,\, d) = \frac{|3(1) - 4(5) + 2|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|3 - 20 + 2|}{\sqrt{9+16}} = \frac{|-15|}{5} = \frac{15}{5} = 3
\]
La distance est de 3 unités.
7. Exemple complet ERA/TMA — Plan d’une pièce
ERA / TMA — Plan de construction
Énoncé
On dispose du plan d’une pièce dans un repère orthonormé (en cm, 1 unité = 10 cm).
Cloison 1 (mur porteur) : passe par \(A(0\,;\,0)\) et \(B(8\,;\,0)\) — vecteur directeur \(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}8\\0\end{pmatrix}\).
Cloison 2 (mur latéral) : passe par \(A(0\,;\,0)\) et \(C(0\,;\,5)\) — vecteur directeur \(\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}0\\5\end{pmatrix}\).
Cloison 3 (cloison oblique) : passe par \(D(3\,;\,0)\) et \(E(8\,;\,4)\) — vecteur directeur \(\overrightarrow{DE}\begin{pmatrix}5\\4\end{pmatrix}\).
Question 1 — Les cloisons 1 et 2 sont-elles perpendiculaires ?
Conclusion : Le produit scalaire est nul, donc les cloisons 1 et 2 sont perpendiculaires. L’angle entre les deux murs est bien de 90°. ✓
Question 2 — Angle de la cloison oblique avec le mur porteur
Vecteur directeur du mur porteur (normalisé) : \(\vec{u}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\), de la cloison oblique : \(\vec{v}\begin{pmatrix}5\\4\end{pmatrix}\).
Produit scalaire : \(\vec{u}\cdot\vec{v} = 1\times5 + 0\times4 = 5\)
Conclusion : La cloison oblique fait un angle d’environ 38,7° avec le mur porteur. Cette information est indispensable pour la découpe des lames de parquet, du placo ou des carreaux en bordure.
Question 3 — Équation de la cloison oblique et distance du point \(F(5\,;\,3)\)
Vecteur directeur \(\overrightarrow{DE}\begin{pmatrix}5\\4\end{pmatrix}\) → vecteur normal \(\vec{n}\begin{pmatrix}-4\\5\end{pmatrix}\).
Équation : \(-4x + 5y + c = 0\). Point \(D(3\,;\,0)\) : \(-12 + 0 + c = 0 \Rightarrow c = 12\).
Équation de la cloison oblique : \(-4x + 5y + 12 = 0\).
Distance de \(F(5\,;\,3)\) à la cloison :
\[
d = \frac{|-4(5)+5(3)+12|}{\sqrt{16+25}} = \frac{|-20+15+12|}{\sqrt{41}} = \frac{|7|}{\sqrt{41}} \approx \frac{7}{6{,}40} \approx 1{,}09
\]
Conclusion : Le point \(F\) (prise électrique envisagée) est à environ 1,09 unité ≈ 10,9 cm de la cloison oblique. Vérifier que l’espace est suffisant pour la boîtier d’encastrement.
8. Exemple complet professionnel — Réseau de canalisations
ICCER (Grpt 1) — Dimensionnement de fixation
Énoncé
Dans le plan d’une installation sanitaire (repère en mètres) :
Canalisation principale (CP) : vecteur directeur \(\vec{u}\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}\)
Conclusion : Les deux canalisations forment un angle d’environ 81,9°. Le raccord n’est pas à 90° ; prévoir des joints souples ou un raccord coudé spécifique.
Question 2 — Composante d’une force selon CP (dimensionnement de fixation)
Une force de traction \(\vec{F}\) de norme 500 N est appliquée à 30° de la direction de la canalisation principale. Calculer la composante de \(\vec{F}\) selon CP.
Conclusion : La composante axiale de la force vaut environ 433 N. Avec un coefficient de sécurité de 1,5, la fixation doit être homologuée pour au moins \(433 \times 1{,}5 \approx 650\text{ N}\).
Question 3 — Équation de CP et distance de la fixation \(P(5\,;\,4)\)
Vecteur directeur de CP : \(\vec{u}\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}\) → vecteur normal : \(\vec{n}\begin{pmatrix}-2\\4\end{pmatrix}\), simplifié en \(\vec{n}\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}\).
Équation de CP : \(-x + 2y + c = 0\). Point \(R(2\,;\,1)\) : \(-2+2+c=0 \Rightarrow c=0\).
Équation de CP : \(-x + 2y = 0\).
Distance de \(P(5\,;\,4)\) à CP :
\[
d = \frac{|-5 + 2(4)|}{\sqrt{1+4}} = \frac{|-5+8|}{\sqrt{5}} = \frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5} \approx 1{,}34\text{ m}
\]
Conclusion : La fixation murale est à environ 1,34 m de la canalisation principale. Vérifier que les colliers de fixation disponibles ont une longueur suffisante.
9. Introduction au produit scalaire dans l’espace
Extension en 3D
Dans l’espace, si \(\vec{u}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}d\\e\\f\end{pmatrix}\) :
\[
\vec{u} \cdot \vec{v} = ad + be + cf
\]
La formule de l’angle reste identique :
\[
\cos(\theta) = \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|\times|\vec{v}|}
\qquad \text{avec} \qquad |\vec{u}| = \sqrt{a^2+b^2+c^2}
\]
Toutes les propriétés (commutativité, bilinéarité, orthogonalité) restent valables.
Exemple professionnel — Angle entre deux conduites 3D
Deux conduites en espace 3D ont pour vecteurs directeurs \(\vec{u}\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}\).
\[
\vec{u}\cdot\vec{v} = 1\times2 + 2\times(-1) + 2\times2 = 2 - 2 + 4 = 4
\]
\[
|\vec{u}| = \sqrt{1+4+4} = \sqrt{9} = 3 \qquad ; \qquad |\vec{v}| = \sqrt{4+1+4} = \sqrt{9} = 3
\]
\[
\cos(\theta) = \frac{4}{3 \times 3} = \frac{4}{9} \approx 0{,}444 \qquad \Rightarrow \qquad \theta = \arccos\!\left(\frac{4}{9}\right) \approx 63{,}6°
\]
L’angle de raccordement des deux conduites en 3D est d’environ 63,6°.
Équation de droite (vect. normal \(\vec{n}(a;b)\))
\(ax+by+c=0\)
\(c\) trouvé par un point de la droite
Distance point–droite
\(d = \dfrac{|ax_M+by_M+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
Valeur absolue obligatoire
Produit scalaire 3D
\(\vec{u}\cdot\vec{v}=ad+be+cf\)
Extension directe du cas 2D
À retenir :
Le produit scalaire est un nombre (scalaire), pas un vecteur.
\(\vec{u}\cdot\vec{v} = 0\) (avec \(\vec{u}\neq\vec{0}\) et \(\vec{v}\neq\vec{0}\)) ↔ vecteurs perpendiculaires.
Pour l’angle : toujours diviser par le produit des normes.
Pour la distance point-droite : valeur absolue au numérateur, racine carrée au dénominateur.
Le vecteur normal de la droite \(ax+by+c=0\) est \(\vec{n}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\).
11. Exercices corrigés
Exercice 1 — ERA/TMA
Sur un plan de menuiserie, deux rebords d’un plan de travail sont modélisés par les vecteurs \(\vec{u}\begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}\).
2. Le produit scalaire est nul, donc oui : les deux rebords sont perpendiculaires. L’angle est exactement 90°.
3. Sans objet puisqu’ils sont perpendiculaires (\(\theta = 90°\)).
Exercice 2 — Installation thermique
Un collecteur de distribution a pour vecteur directeur \(\vec{u}\begin{pmatrix}5\\3\end{pmatrix}\). Une dérivation part du point \(A(2\,;\,1)\) avec le vecteur directeur \(\vec{v}\begin{pmatrix}2\\-4\end{pmatrix}\).
Calculer l’angle entre le collecteur et la dérivation.
Écrire l’équation de la droite portant la dérivation.
Calculer la distance du point \(B(6\,;\,3)\) à cette droite.
2. Équation de la dérivation :
Vecteur directeur \(\vec{v}\begin{pmatrix}2\\-4\end{pmatrix}\) → vecteur normal \(\vec{n}\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}\), simplifié en \(\vec{n}\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}\).
Forme : \(2x+y+c=0\). Point \(A(2\,;\,1)\) : \(4+1+c=0 \Rightarrow c=-5\).
Équation : \(2x+y-5=0\)
3. Un tuyau perpendiculaire à la façade est parallèle au vecteur normal \(\vec{n}\begin{pmatrix}3\\-5\end{pmatrix}\). Son vecteur directeur est \(\begin{pmatrix}3\\-5\end{pmatrix}\), son vecteur normal est donc \(\begin{pmatrix}5\\3\end{pmatrix}\).
Forme : \(5x+3y+c=0\). Point \(P(0\,;\,3)\) : \(0+9+c=0 \Rightarrow c=-9\).
Équation du tuyau : \(5x+3y-9=0\).
Exercice 4 — Produit scalaire et forces
Une fixation subit une force \(\vec{F}\) de norme \(|\vec{F}|=800\) N. Cette force forme un angle de 40° avec l’axe de la canalisation défini par le vecteur unitaire \(\vec{u}\) (\(|\vec{u}|=1\)).
Calculer le produit scalaire \(\vec{F}\cdot\vec{u}\).
En déduire la composante de la force dans l’axe de la canalisation.
La fixation est homologuée pour 700 N dans l’axe. Est-elle suffisante ? (sans coefficient de sécurité)
3. 613 N < 700 N, donc la fixation est suffisante (sans coefficient de sécurité). En pratique, avec un coefficient de 1,3, il faudrait \(613 \times 1{,}3 \approx 797\) N, ce qui dépasse les 700 N : il faudrait alors une fixation homologuée à au moins 800 N.
Ch11 — Produit scalaire | Terminale Bac Pro ERA, TMA, ICCER | 2025–2026
Erreurs fréquentes
❌
Confondre produit scalaire et produit vectoriel
Le produit scalaire \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) donne un nombre, pas un vecteur. Conseil : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = ac + bd\) — résultat numérique, utilisé pour tester l'orthogonalité.
❌
Oublier la valeur absolue dans la formule de distance
La distance d'un point à une droite est toujours positive. Conseil : utiliser \(\dfrac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\) — les barres sont indispensables.
❌
Mal appliquer la formule de l'angle
\(\cos\theta = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \times |\vec{v}|}\) — on divise par le produit des normes, pas par leur somme. Conseil : calculer les normes séparément avant d'appliquer la formule.
❌
Conclure à la perpendicularité sans calculer le produit scalaire
Un angle visuellement droit ne suffit pas — il faut vérifier que \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\). Conseil : toujours calculer le produit scalaire pour une démonstration rigoureuse.