Devoir Surveillé – Chapitre 11

Produit scalaire | T^le Bac Pro

🎯 Objectifs du chapitre cliquer pour développer

Calculer un produit scalaire par les trois formules (norme/angle, coordonnées, développement)
Démontrer l’orthogonalité de deux vecteurs ou de deux droites
Calculer l’angle entre deux vecteurs (ou deux droites, deux plans)
Écrire l’équation d’une droite à partir de son vecteur normal
Calculer la distance d’un point à une droite
Appliquer ces outils à des problèmes professionnels (plans de construction, réseaux, forces)

🕑 Durée : 1 heure

🧮 Calculatrice : autorisée

✍ Barème : 20 points

📄 Documents : non autorisés

Exercice 1 – Produit scalaire avec les coordonnées (guidé) 10 points

On donne les vecteurs \(\vec{u}\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}\).

1. (2 pts) Compléter le calcul du produit scalaire \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) :

\(\vec{u} \cdot \vec{v} = \boxed{\phantom{3}} \times \boxed{\phantom{2}} + \boxed{\phantom{4}} \times (\boxed{\phantom{-1}})\)
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = \boxed{\phantom{6}} + (\boxed{\phantom{-4}}) = \boxed{\phantom{2}}\)

2. (2 pts) Calculer la norme de \(\vec{u}\). Compléter :

Rappel : \(\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}\)

\(\|\vec{u}\| = \sqrt{\boxed{\phantom{3}}^2 + \boxed{\phantom{4}}^2} = \sqrt{\boxed{\phantom{9}} + \boxed{\phantom{16}}} = \sqrt{\boxed{\phantom{25}}} = \boxed{\phantom{5}}\)

3. (2 pts) Calculer la norme de \(\vec{v}\) (arrondir au dixième) :

4. (2 pts) En déduire l'angle \(\theta\) entre \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\). Compléter :

Formule : \(\cos\theta = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|}\)

\(\cos\theta = \dfrac{\boxed{\phantom{2}}}{\boxed{\phantom{5}} \times \boxed{\phantom{2{,}24}}} = \dfrac{2}{\boxed{\phantom{11{,}18}}} \approx \boxed{\phantom{0{,}179}}\)
\(\theta = \arccos(\boxed{\phantom{0{,}179}}) \approx \boxed{\phantom{80}}°\)

5. (2 pts) On donne \(\vec{w}\begin{pmatrix}4\\-3\end{pmatrix}\). Les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{w}\) sont-ils perpendiculaires ? Compléter :

\(\vec{u} \cdot \vec{w} = 3 \times \boxed{\phantom{4}} + 4 \times (\boxed{\phantom{-3}}) = \boxed{\phantom{12}} + (\boxed{\phantom{-12}}) = \boxed{\phantom{0}}\)
Le produit scalaire …… 0, donc les vecteurs …………

1. \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \times 2 + 4 \times (-1) = 6 - 4 = 2\).

2. \(\|\vec{u}\| = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\).

3. \(\|\vec{v}\| = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \approx 2{,}24\).

4. \(\cos\theta = \dfrac{2}{5 \times 2{,}24} = \dfrac{2}{11{,}18} \approx 0{,}179\). \(\theta = \arccos(0{,}179) \approx 80°\).

5. \(\vec{u} \cdot \vec{w} = 12 - 12 = 0\). Le produit scalaire vaut 0, donc les vecteurs sont perpendiculaires (orthogonaux).

Exercice 2 – Perpendicularité en menuiserie (guidé) 10 points

Contexte : Un menuisier agenceur réalise le plan d'un meuble d'angle. Sur le plan (unité : 1 cm), les coins du meuble sont \(A(0\,;\,0)\), \(B(80\,;\,0)\) et \(C(80\,;\,60)\). Une étagère diagonale relie \(A\) à \(C\).

1. (2 pts) Calculer le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) et le vecteur \(\overrightarrow{AC}\). Compléter :

\(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}\boxed{\phantom{80}}\\\boxed{\phantom{0}}\end{pmatrix}\) \(\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}\boxed{\phantom{80}}\\\boxed{\phantom{60}}\end{pmatrix}\)

2. (2 pts) Calculer les vecteurs \(\overrightarrow{BA}\) et \(\overrightarrow{BC}\), puis vérifier que l'angle en \(B\) est droit :

\(\overrightarrow{BA} = \begin{pmatrix}\boxed{\phantom{-80}}\\\boxed{\phantom{0}}\end{pmatrix}\) \(\overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix}\boxed{\phantom{0}}\\\boxed{\phantom{60}}\end{pmatrix}\)
\(\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = \boxed{\phantom{-80}} \times \boxed{\phantom{0}} + \boxed{\phantom{0}} \times \boxed{\phantom{60}} = \boxed{\phantom{0}}\)

3. (2 pts) Calculer la longueur de l'étagère diagonale \(AC\) (en cm) :

\(AC = \|\overrightarrow{AC}\| = \sqrt{\boxed{\phantom{80}}^2 + \boxed{\phantom{60}}^2} = \sqrt{\boxed{\phantom{6400}} + \boxed{\phantom{3600}}} = \sqrt{\boxed{\phantom{10000}}} = \boxed{\phantom{100}}\) cm

4. (2 pts) Calculer l'angle \(\alpha\) que fait l'étagère diagonale avec le côté \([AB]\) :

Méthode : \(\cos\alpha = \dfrac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{\|\overrightarrow{AB}\| \times \|\overrightarrow{AC}\|}\)

5. (2 pts) Le menuisier veut fixer une équerre à 45° depuis \(A\). Cette équerre suit la direction \(\vec{e}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\). Est-elle perpendiculaire au côté \([AB]\) ?

1. \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}80\\0\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}80\\60\end{pmatrix}\).

2. \(\overrightarrow{BA} = \begin{pmatrix}-80\\0\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix}0\\60\end{pmatrix}\). \(\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = (-80) \times 0 + 0 \times 60 = 0\). L'angle en \(B\) est droit.

3. \(AC = \sqrt{6400 + 3600} = \sqrt{10000} = 100\) cm.

4. \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 80 \times 80 + 0 \times 60 = 6400\). \(\cos\alpha = \dfrac{6400}{80 \times 100} = \dfrac{6400}{8000} = 0{,}8\). \(\alpha = \arccos(0{,}8) \approx 37°\).

5. \(\overrightarrow{AB} \cdot \vec{e} = 80 \times 1 + 0 \times 1 = 80 \neq 0\). L'équerre n'est pas perpendiculaire au côté \([AB]\) (elle fait un angle de 45° avec l'horizontale, pas 90°).

Exercice 1 – Produit scalaire, norme et angle 7 points

On donne les vecteurs \(\vec{u}\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}\).

1. (1,5 pt) Calculer le produit scalaire \(\vec{u} \cdot \vec{v}\).

2. (1,5 pt) Calculer les normes \(\|\vec{u}\|\) et \(\|\vec{v}\|\).

3. (2 pts) En déduire la mesure de l'angle \(\theta\) entre \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\). Arrondir au degré.

4. (2 pts) On donne \(\vec{w}\begin{pmatrix}4\\-3\end{pmatrix}\). Vérifier que \(\vec{w}\) est orthogonal à \(\vec{u}\). Justifier par le produit scalaire.

1. \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \times 2 + 4 \times (-1) = 6 - 4 = 2\).

2. \(\|\vec{u}\| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\).
\(\|\vec{v}\| = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \approx 2{,}24\).

3. \(\cos\theta = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|} = \dfrac{2}{5\sqrt{5}} = \dfrac{2}{5 \times 2{,}236} = \dfrac{2}{11{,}18} \approx 0{,}1789\).
\(\theta = \arccos(0{,}1789) \approx 80°\).

4. \(\vec{u} \cdot \vec{w} = 3 \times 4 + 4 \times (-3) = 12 - 12 = 0\).
Le produit scalaire est nul, donc \(\vec{w}\) est orthogonal à \(\vec{u}\).

Exercice 2 – Droites : équation cartésienne, vecteur normal et distance 7 points

1. (2 pts) La droite \((d_1)\) passe par \(A(1\,;\,3)\) et admet \(\vec{n}\begin{pmatrix}2\\-5\end{pmatrix}\) comme vecteur normal. Déterminer l'équation cartésienne de \((d_1)\).

2. (2 pts) La droite \((d_2)\) a pour équation \(3x + 4y - 12 = 0\). Donner un vecteur normal et un vecteur directeur de \((d_2)\). Vérifier que le point \(B(0\,;\,3)\) appartient à \((d_2)\).

3. (3 pts) Calculer la distance du point \(P(5\,;\,1)\) à la droite \((d_2)\) d'équation \(3x + 4y - 12 = 0\). Interpréter le résultat.

1. L'équation cartésienne d'une droite de vecteur normal \(\vec{n}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\) passant par \(A(x_A\,;\,y_A)\) est \(a(x - x_A) + b(y - y_A) = 0\).
\(2(x - 1) + (-5)(y - 3) = 0\) → \(2x - 2 - 5y + 15 = 0\) → \(2x - 5y + 13 = 0\).

2. Vecteur normal : \(\vec{n}\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}\). Vecteur directeur : \(\vec{d}\begin{pmatrix}4\\-3\end{pmatrix}\) (ou \(\begin{pmatrix}-4\\3\end{pmatrix}\)).
Vérification : \(3 \times 0 + 4 \times 3 - 12 = 0 + 12 - 12 = 0\) ✓ : \(B\) appartient à \((d_2)\).

3. Formule : \(d(P, (d_2)) = \dfrac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\).
\(d(P, (d_2)) = \dfrac{|3 \times 5 + 4 \times 1 - 12|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \dfrac{|15 + 4 - 12|}{\sqrt{25}} = \dfrac{7}{5} = 1{,}4\) unités.
Le point \(P\) se trouve à 1,4 unités de la droite \((d_2)\).

Exercice 3 – Vérification de perpendicularité (contexte agencement) 6 points

Contexte : Un agenceur d'espace réalise le plan d'aménagement d'un local commercial. Sur le plan (unité : 1 m), les coins de la pièce principale sont \(A(0\,;\,0)\), \(B(7\,;\,0)\), \(C(7\,;\,5)\) et \(D(0\,;\,5)\). Une cloison part de \(E(3\,;\,0)\) et rejoint \(F(3\,;\,4)\).

1. (1,5 pt) Calculer les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{EF}\). Vérifier par le produit scalaire que la cloison \([EF]\) est perpendiculaire au mur \([AB]\).

2. (1,5 pt) L'agenceur trace un second mur allant de \(G(3\,;\,4)\) à \(H(7\,;\,4)\). Ce mur est-il perpendiculaire à la cloison \([EF]\) ? Justifier par le produit scalaire.

3. (1,5 pt) L'agenceur vérifie l'équerrage par la méthode 3-4-5. Il mesure 3 m le long de \([EF]\) depuis \(E\) et 4 m le long de \([AB]\) depuis \(E\). La diagonale devrait mesurer 5 m. Justifier mathématiquement cette méthode.

4. (1,5 pt) Déterminer l'équation de la droite support de la cloison \((EF)\). Le point \(K(3\,;\,6)\) est-il dans le prolongement de cette cloison ?

1. \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}7\\0\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{EF} = \begin{pmatrix}0\\4\end{pmatrix}\).
\(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{EF} = 7 \times 0 + 0 \times 4 = 0\). Le produit scalaire est nul : la cloison est perpendiculaire au mur.

2. \(\overrightarrow{GH} = \begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}\).
\(\overrightarrow{EF} \cdot \overrightarrow{GH} = 0 \times 4 + 4 \times 0 = 0\). Le produit scalaire est nul : le mur \([GH]\) est perpendiculaire à la cloison \([EF]\).

3. Depuis \(E(3\,;\,0)\), 3 m le long de \([EF]\) mène au point \(P(3\,;\,3)\). 4 m le long de \([AB]\) depuis \(E\) mène au point \(Q(7\,;\,0)\).
\(PQ = \sqrt{(7-3)^2 + (0-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\) m.
C'est le triplet pythagoricien \(3^2 + 4^2 = 5^2\). Si la diagonale mesure bien 5 m, l'angle en \(E\) est droit.

4. La droite \((EF)\) passe par \(E(3\,;\,0)\) avec un vecteur directeur \(\begin{pmatrix}0\\4\end{pmatrix}\). Comme les abscisses sont constantes, l'équation est \(x = 3\).
Le point \(K(3\,;\,6)\) vérifie \(x = 3\), donc \(K\) appartient au prolongement de la cloison.

Exercice 1 – Angles dans une charpente 10 points

Contexte : Un charpentier conçoit une toiture à deux pans. Sur le plan en coupe (unité : 1 m), le pied gauche de la charpente est en \(A(0\,;\,0)\), le pied droit en \(B(12\,;\,0)\) et le faîtage en \(C(6\,;\,5)\). Un contreventement relie le point \(D(3\,;\,0)\) au faîtage \(C\).

1. (2 pts) Calculer les vecteurs \(\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{BC}\). En déduire les longueurs des deux pans de toiture.

2. (2 pts) Calculer l'angle au faîtage \(\widehat{ACB}\) à l'aide du produit scalaire de \(\overrightarrow{CA}\) et \(\overrightarrow{CB}\). Arrondir au degré.

3. (2 pts) Calculer l'angle que fait le pan gauche \([AC]\) avec l'horizontale \([AB]\). Vérifier que la pente est d'environ 40°.

4. (2 pts) Calculer la longueur du contreventement \([DC]\) et l'angle que fait \([DC]\) avec l'horizontale.

5. (2 pts) Le charpentier veut savoir si le contreventement \([DC]\) est perpendiculaire au pan gauche \([AC]\). Justifier par le produit scalaire.

1. \(\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}6\\5\end{pmatrix}\), \(\|\overrightarrow{AC}\| = \sqrt{36 + 25} = \sqrt{61} \approx 7{,}81\) m.
\(\overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix}-6\\5\end{pmatrix}\), \(\|\overrightarrow{BC}\| = \sqrt{36 + 25} = \sqrt{61} \approx 7{,}81\) m. La toiture est symétrique.

2. \(\overrightarrow{CA} = \begin{pmatrix}-6\\-5\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{CB} = \begin{pmatrix}6\\-5\end{pmatrix}\).
\(\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = (-6) \times 6 + (-5) \times (-5) = -36 + 25 = -11\).
\(\cos(\widehat{ACB}) = \dfrac{-11}{\sqrt{61} \times \sqrt{61}} = \dfrac{-11}{61} \approx -0{,}180\).
\(\widehat{ACB} = \arccos(-0{,}180) \approx 100°\).

3. \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}12\\0\end{pmatrix}\). \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 12 \times 6 + 0 \times 5 = 72\).
\(\cos\alpha = \dfrac{72}{12 \times \sqrt{61}} = \dfrac{72}{12 \times 7{,}81} = \dfrac{72}{93{,}72} \approx 0{,}768\).
\(\alpha = \arccos(0{,}768) \approx 40°\) ✓.

4. \(\overrightarrow{DC} = \begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix}\). \(\|\overrightarrow{DC}\| = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34} \approx 5{,}83\) m.
Angle avec l'horizontale : \(\tan\beta = \dfrac{5}{3}\), \(\beta = \arctan(1{,}667) \approx 59°\).

5. \(\overrightarrow{DC} \cdot \overrightarrow{AC} = 3 \times 6 + 5 \times 5 = 18 + 25 = 43 \neq 0\).
Le produit scalaire n'est pas nul, donc le contreventement n'est pas perpendiculaire au pan gauche.

Exercice 2 – Projection d'une force sur un plan incliné 10 points

Contexte : Un technicien étudie la descente d'une charge sur un plan incliné. Le plan incliné fait un angle de \(30°\) avec l'horizontale. La force de pesanteur est \(\vec{P}\begin{pmatrix}0\\-800\end{pmatrix}\) (en newtons). Le vecteur directeur du plan incliné est \(\vec{d}\begin{pmatrix}\cos 30°\\\sin 30°\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{\sqrt{3}}{2}\\\frac{1}{2}\end{pmatrix}\).

1. (2 pts) Calculer \(\vec{P} \cdot \vec{d}\). Interpréter le signe du résultat.

2. (2 pts) Calculer la norme \(\|\vec{d}\|\). Montrer que \(\vec{d}\) est un vecteur unitaire.

3. (2 pts) En déduire la composante de \(\vec{P}\) le long du plan incliné : \(F_{\parallel} = \dfrac{\vec{P} \cdot \vec{d}}{\|\vec{d}\|}\). Donner la valeur en newtons.

4. (2 pts) Calculer la composante normale (perpendiculaire au plan) : \(F_{\perp} = \sqrt{\|\vec{P}\|^2 - F_{\parallel}^2}\). Vérifier que \(F_{\perp} = \|\vec{P}\| \times \cos 30°\).

5. (2 pts) Le technicien ajoute un frein qui exerce une force \(\vec{F_f}\begin{pmatrix}-200\\0\end{pmatrix}\). Calculer \(\vec{F_f} \cdot \vec{d}\) et en déduire la composante du freinage le long du plan. La charge est-elle en équilibre ?

1. \(\vec{P} \cdot \vec{d} = 0 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} + (-800) \times \dfrac{1}{2} = -400\). Le signe négatif indique que la pesanteur agit dans le sens opposé au vecteur \(\vec{d}\) orienté vers le haut du plan.

2. \(\|\vec{d}\| = \sqrt{\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4}} = \sqrt{1} = 1\). C'est bien un vecteur unitaire.

3. \(F_{\parallel} = \dfrac{-400}{1} = -400\) N. La composante le long du plan vaut 400 N dirigée vers le bas.

4. \(F_{\perp} = \sqrt{800^2 - 400^2} = \sqrt{640\,000 - 160\,000} = \sqrt{480\,000} \approx 693\) N.
Vérification : \(800 \times \cos 30° = 800 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 800 \times 0{,}866 = 693\) N ✓.

5. \(\vec{F_f} \cdot \vec{d} = (-200) \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} + 0 \times \dfrac{1}{2} = -100\sqrt{3} \approx -173\) N.
La composante de freinage le long du plan est d'environ 173 N. La force motrice le long du plan est de 400 N, le freinage ne compense que 173 N : la charge n'est pas en équilibre, elle glisse.

TOTAL : 20 points