🎯 Objectifs du chapitre cliquer pour développer

Connaître la définition de \(i\) et la forme algébrique d'un nombre complexe.
Effectuer des opérations (addition, multiplication) sur les complexes.
Calculer le module et le conjugué d'un nombre complexe.
Représenter un complexe dans le plan complexe.
Passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique (et inversement).
Résoudre une équation du second degré à discriminant négatif.
Utiliser les complexes pour les impédances en courant alternatif (électrotechnique).

Fiche résumé — Nombres complexes

Chapitre 10 | Terminale Bac Pro | Mathématiques

⚑ Programme complémentaire — poursuite d'études (non évalué en CCF)

Dernière mise à jour : 29 juin 2026

Plan complexe : affixe \(z = a + ib\), module \(|z| = OM\), argument \(\theta\).

Définition

\(i^2 = -1\)

\(z = a + ib\)

\(a = \text{Re}(z)\) : partie réelle
\(b = \text{Im}(z)\) : partie imaginaire
\(b = 0\) : réel | \(a = 0\) : imaginaire pur

Conjugué et module

\(\bar{z} = a - ib\)

\(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\)

\(z \times \bar{z} = |z|^2 = a^2 + b^2\)
\(|z_1 \times z_2| = |z_1| \times |z_2|\)

Opérations (\(z_1 = a + ib\), \(z_2 = c + id\))

\(z_1 + z_2 = (a+c) + i(b+d)\)

\(z_1 \times z_2 = (ac - bd) + i(ad + bc)\)

Pour la multiplication : développer puis remplacer \(i^2\) par \(-1\).

Plan complexe

\(z = a + ib\) correspond au point \(M(a\,;\,b)\)
Axe horizontal = axe réel (Re)
Axe vertical = axe imaginaire (Im)
\(|z| = OM\) (distance à l'origine)

Forme trigonométrique

\(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\)

\(r = |z| = \sqrt{a^2+b^2}\)
\(\cos\theta = \dfrac{a}{r}\) ; \(\sin\theta = \dfrac{b}{r}\)
\(\theta\) = argument de \(z\)

Formule d'Euler

\(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\)

Forme exponentielle : \(z = r\,e^{i\theta}\)

Identité remarquable : \(e^{i\pi} + 1 = 0\)

Applications géométriques

Distance : \(AB = |z_B - z_A|\)

Milieu : \(z_I = \dfrac{z_A + z_B}{2}\)

Résolution d'équations

\(z^2 = -a \;\;(a > 0)\) \(\Longrightarrow\) \(z = \pm\, i\sqrt{a}\)

\(az^2 + bz + c = 0\) avec \(\Delta < 0\) \(\Longrightarrow\) \(z = \dfrac{-b \pm i\sqrt{|\Delta|}}{2a}\)

Les deux solutions sont toujours conjuguées l'une de l'autre.

Application professionnelle — Impédances

\(Z = R + jX\) | \(|Z| = \sqrt{R^2 + X^2}\) | \(I = \dfrac{U}{|Z|}\)

Circuit RLC : \(Z = R + j\!\left(L\omega - \dfrac{1}{C\omega}\right)\)

Résonance : \(L\omega = \frac{1}{C\omega}\), alors \(Z = R\) (purement résistif).

Piège 1 : Ne pas confondre \(i^2 = -1\) et \(i = -1\). Le nombre \(i\) n'est pas un réel, on ne peut pas le placer sur la droite des réels.

Piège 2 : Lors de la multiplication, ne pas oublier de remplacer \(i^2\) par \(-1\). L'erreur classique est de garder \(i^2\) sans simplifier.

Piège 3 : Pour \(\Delta < 0\), c'est \(\sqrt{|\Delta|}\) (racine de la valeur absolue de \(\Delta\)), pas \(\sqrt{\Delta}\) qui n'existe pas dans \(\mathbb{R}\).

Astuce 1 : Retenir les puissances de \(i\) : \(i^0=1\), \(i^1=i\), \(i^2=-1\), \(i^3=-i\), \(i^4=1\), puis le cycle recommence.

Astuce 2 : Pour vérifier une multiplication : \(|z_1 \times z_2| = |z_1| \times |z_2|\). Calculer les modules séparément permet de contrôler le résultat.

Astuce 3 : En électricité, \(j\) remplace \(i\) pour éviter la confusion avec l'intensité. Les formules restent identiques.