Fiche résumé — Nombres complexes
Chapitre 10 | Terminale Bac Pro | Mathématiques
Définition
\(i^2 = -1\)
\(z = a + ib\)
- \(a = \text{Re}(z)\) : partie réelle
- \(b = \text{Im}(z)\) : partie imaginaire
- \(b = 0\) : réel | \(a = 0\) : imaginaire pur
Conjugué et module
\(\bar{z} = a - ib\)
\(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\)
- \(z \times \bar{z} = |z|^2 = a^2 + b^2\)
- \(|z_1 \times z_2| = |z_1| \times |z_2|\)
Opérations (\(z_1 = a + ib\), \(z_2 = c + id\))
\(z_1 + z_2 = (a+c) + i(b+d)\)
\(z_1 \times z_2 = (ac - bd) + i(ad + bc)\)
Pour la multiplication : développer puis remplacer \(i^2\) par \(-1\).
Plan complexe
- \(z = a + ib\) correspond au point \(M(a\,;\,b)\)
- Axe horizontal = axe réel (Re)
- Axe vertical = axe imaginaire (Im)
- \(|z| = OM\) (distance à l'origine)
Forme trigonométrique
\(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\)
- \(r = |z| = \sqrt{a^2+b^2}\)
- \(\cos\theta = \dfrac{a}{r}\) ; \(\sin\theta = \dfrac{b}{r}\)
- \(\theta\) = argument de \(z\)
Formule d'Euler
\(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\)
Forme exponentielle : \(z = r\,e^{i\theta}\)
Identité remarquable : \(e^{i\pi} + 1 = 0\)
Applications géométriques
Distance : \(AB = |z_B - z_A|\)
Milieu : \(z_I = \dfrac{z_A + z_B}{2}\)
Résolution d'équations
\(z^2 = -a \;\;(a > 0)\) \(\Longrightarrow\) \(z = \pm\, i\sqrt{a}\)
\(az^2 + bz + c = 0\) avec \(\Delta < 0\) \(\Longrightarrow\) \(z = \dfrac{-b \pm i\sqrt{|\Delta|}}{2a}\)
Les deux solutions sont toujours conjuguées l'une de l'autre.
Application professionnelle — Impédances
\(Z = R + jX\) | \(|Z| = \sqrt{R^2 + X^2}\) | \(I = \dfrac{U}{|Z|}\)
Circuit RLC : \(Z = R + j\!\left(L\omega - \dfrac{1}{C\omega}\right)\)
Résonance : \(L\omega = \frac{1}{C\omega}\), alors \(Z = R\) (purement résistif).
Piège 1 : Ne pas confondre \(i^2 = -1\) et \(i = -1\). Le nombre \(i\) n'est pas un réel, on ne peut pas le placer sur la droite des réels.
Piège 2 : Lors de la multiplication, ne pas oublier de remplacer \(i^2\) par \(-1\). L'erreur classique est de garder \(i^2\) sans simplifier.
Piège 3 : Pour \(\Delta < 0\), c'est \(\sqrt{|\Delta|}\) (racine de la valeur absolue de \(\Delta\)), pas \(\sqrt{\Delta}\) qui n'existe pas dans \(\mathbb{R}\).
Astuce 1 : Retenir les puissances de \(i\) : \(i^0=1\), \(i^1=i\), \(i^2=-1\), \(i^3=-i\), \(i^4=1\), puis le cycle recommence.
Astuce 2 : Pour vérifier une multiplication : \(|z_1 \times z_2| = |z_1| \times |z_2|\). Calculer les modules séparément permet de contrôler le résultat.
Astuce 3 : En électricité, \(j\) remplace \(i\) pour éviter la confusion avec l'intensité. Les formules restent identiques.