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Exercices – Chapitre 10

Nombres complexes  |  Terminale Bac Pro  |  ERA · TMA · ICCER (Grpt 1)

Dernière mise à jour : 11 mars 2026

Compétences travaillées :
Exercice 1 Identifier partie réelle et partie imaginaire Socle

Pour chaque nombre complexe, donner la partie réelle \(\text{Re}(z)\) et la partie imaginaire \(\text{Im}(z)\) :

Nombre complexe\(\text{Re}(z)\)\(\text{Im}(z)\)Nature
\(z_1 = 5 + 3i\)
\(z_2 = -2 - 7i\)
\(z_3 = 4i\)
\(z_4 = -6\)
\(z_5 = \dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{4}i\)
Nombre complexe\(\text{Re}(z)\)\(\text{Im}(z)\)Nature
\(z_1 = 5 + 3i\)\(5\)\(3\)Complexe
\(z_2 = -2 - 7i\)\(-2\)\(-7\)Complexe
\(z_3 = 4i\)\(0\)\(4\)Imaginaire pur
\(z_4 = -6\)\(-6\)\(0\)Réel
\(z_5 = \dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{4}i\)\(\dfrac{1}{2} = 0{,}5\)\(-\dfrac{3}{4} = -0{,}75\)Complexe

Rappel : la partie imaginaire est le coefficient de \(i\), sans le \(i\). Si \(z = a + ib\), alors \(\text{Im}(z) = b\).

Exercice 2 Additionner et soustraire des nombres complexes Socle

Calculer les sommes et différences suivantes. Donner le résultat sous forme algébrique \(a + ib\) :

a) \(z_1 = 3 + 2i\) et \(z_2 = 1 - 5i\). Calculer \(z_1 + z_2\).
b) \(z_3 = -4 + i\) et \(z_4 = 6 + 3i\). Calculer \(z_3 + z_4\).
c) \(z_5 = 7 - 2i\) et \(z_6 = 7 + 2i\). Calculer \(z_5 - z_6\).
d) \(z_7 = -1 + 4i\) et \(z_8 = -3 - 4i\). Calculer \(z_7 - z_8\).
Réponses : ………………………………

a) \(z_1 + z_2 = (3 + 1) + (2 + (-5))i = \) \(4 - 3i\)

b) \(z_3 + z_4 = (-4 + 6) + (1 + 3)i = \) \(2 + 4i\)

c) \(z_5 - z_6 = (7 - 7) + (-2 - 2)i = \) \(-4i\) (imaginaire pur)

d) \(z_7 - z_8 = (-1 - (-3)) + (4 - (-4))i = \) \(2 + 8i\)

Méthode : on additionne (ou soustrait) les parties réelles entre elles, et les parties imaginaires entre elles.

Exercice 3 Calculer le conjugué d'un nombre complexe Socle

Rappel : le conjugué de \(z = a + ib\) est \(\bar{z} = a - ib\) (on change le signe de la partie imaginaire).

Donner le conjugué de chaque nombre complexe :

\(z\)\(\bar{z}\)
\(z_1 = 3 + 5i\)
\(z_2 = -2 - i\)
\(z_3 = 7\)
\(z_4 = -4i\)
\(z_5 = 1 + \sqrt{3}\,i\)
Bonus : Pour chaque nombre, calculer \(z + \bar{z}\) et \(z \times \bar{z}\). Que remarquez-vous ?
\(z\)\(\bar{z}\)\(z + \bar{z}\)\(z \times \bar{z}\)
\(3 + 5i\)\(3 - 5i\)\(6\)\(9 + 25 = 34\)
\(-2 - i\)\(-2 + i\)\(-4\)\(4 + 1 = 5\)
\(7\)\(7\)\(14\)\(49\)
\(-4i\)\(4i\)\(0\)\(16\)
\(1 + \sqrt{3}\,i\)\(1 - \sqrt{3}\,i\)\(2\)\(1 + 3 = 4\)

On remarque que :

  • \(z + \bar{z} = 2\,\text{Re}(z)\) est toujours réel.
  • \(z \times \bar{z} = a^2 + b^2 = |z|^2\) est toujours réel positif.
Exercice 4 Identifier parties réelle et imaginaire — Guidé Socle
Méthode
Un nombre complexe s'écrit \(z = a + bi\) où :
• \(a\) est la partie réelle → \(\text{Re}(z) = a\)
• \(b\) est la partie imaginaire → \(\text{Im}(z) = b\) (le coefficient devant \(i\), sans le \(i\))

Exemple guidé : \(z = 7 - 3i\)
On identifie : \(a = \boxed{7}\) et \(b = \boxed{-3}\). Donc \(\text{Re}(z) = 7\) et \(\text{Im}(z) = -3\).

À toi : Compléter le tableau ci-dessous.

Nombre complexe \(z\)\(\text{Re}(z) = \boxed{\phantom{00}}\)\(\text{Im}(z) = \boxed{\phantom{00}}\)Nature
\(z_1 = 4 + 5i\)\(\boxed{\phantom{00}}\)\(\boxed{\phantom{00}}\)
\(z_2 = -3i\)\(\boxed{\phantom{00}}\)\(\boxed{\phantom{00}}\)
\(z_3 = 9\)\(\boxed{\phantom{00}}\)\(\boxed{\phantom{00}}\)
\(z_4 = -2 + 6i\)\(\boxed{\phantom{00}}\)\(\boxed{\phantom{00}}\)
Nombre complexe\(\text{Re}(z)\)\(\text{Im}(z)\)Nature
\(z_1 = 4 + 5i\)\(4\)\(5\)Complexe
\(z_2 = -3i\)\(0\)\(-3\)Imaginaire pur
\(z_3 = 9\)\(9\)\(0\)Réel
\(z_4 = -2 + 6i\)\(-2\)\(6\)Complexe

Astuce : si \(b = 0\), le nombre est réel. Si \(a = 0\) et \(b \neq 0\), c'est un imaginaire pur.

Exercice 5 Calculer avec les complexes — Pas à pas Socle
Méthode — Addition
Pour additionner \(z_1 = a + bi\) et \(z_2 = c + di\) :
\(z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)i\)
→ On additionne les parties réelles entre elles, et les parties imaginaires entre elles.

a) Addition guidée : \(z_1 = 5 + 3i\) et \(z_2 = 2 - i\).

Parties réelles : \(5 + 2 = \boxed{\phantom{00}}\)
Parties imaginaires : \(3 + (-1) = \boxed{\phantom{00}}\)
Donc \(z_1 + z_2 = \boxed{\phantom{000}} + \boxed{\phantom{000}}i\)

Méthode — Multiplication
Pour multiplier : on développe comme \((a + bi)(c + di)\) et on remplace \(i^2 = -1\).
\((a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i\)

b) Multiplication guidée : \((3 + 2i)(1 + i)\).

Étape 1 — On développe :
\(3 \times 1 = \boxed{\phantom{00}}\)   \(3 \times i = \boxed{\phantom{00}}\)   \(2i \times 1 = \boxed{\phantom{00}}\)   \(2i \times i = \boxed{\phantom{00}}\)

Étape 2 — On rassemble : \(\boxed{\phantom{00}} + \boxed{\phantom{00}} + \boxed{\phantom{00}} + \boxed{\phantom{00}}\)

Étape 3 — On remplace \(i^2 = -1\) : \(2i^2 = 2 \times (-1) = \boxed{\phantom{00}}\)

Résultat : \((3 + 2i)(1 + i) = \boxed{\phantom{000}} + \boxed{\phantom{000}}i\)

c) À toi : Calculer \((4 + i)(2 - 3i)\).

Développement : \(\boxed{\phantom{00}} + \boxed{\phantom{00}} + \boxed{\phantom{00}} + \boxed{\phantom{00}}\)
Remplacement de \(i^2\) : ………
Résultat : \(\boxed{\phantom{000}} + \boxed{\phantom{000}}i\)

a) Parties réelles : \(5 + 2 = 7\). Parties imaginaires : \(3 + (-1) = 2\).
\(z_1 + z_2 = 7 + 2i\)

b) Développement : \(3 + 3i + 2i + 2i^2 = 3 + 5i + 2(-1) = 3 + 5i - 2\).
\((3 + 2i)(1 + i) = 1 + 5i\)

c) \((4 + i)(2 - 3i) = 8 - 12i + 2i - 3i^2 = 8 - 10i - 3(-1) = 8 - 10i + 3\).
\((4 + i)(2 - 3i) = 11 - 10i\)

Exercice 6 Placer des complexes dans le plan — Guidé Socle
Méthode
Pour placer \(z = a + bi\) dans le plan complexe :
• L'axe horizontal (→) correspond à la partie réelle \(a\).
• L'axe vertical (↑) correspond à la partie imaginaire \(b\).
• Le point se place aux coordonnées \((a\,;\,b)\).

Exemple guidé : Placer \(z = 3 + 2i\).
Partie réelle = \(3\) → on avance de 3 vers la droite.
Partie imaginaire = \(2\) → on monte de 2. Le point est en \((3\,;\,2)\).

À toi : Compléter le tableau, puis placer les points sur le plan.

Complexe \(z\)Partie réelle \(a = \boxed{\phantom{0}}\)Partie imaginaire \(b = \boxed{\phantom{0}}\)Point \((a\,;\,b)\)
\(z_1 = 2 + 4i\)\(\boxed{\phantom{0}}\)\(\boxed{\phantom{0}}\)\((\boxed{\phantom{0}}\,;\,\boxed{\phantom{0}})\)
\(z_2 = -3 + i\)\(\boxed{\phantom{0}}\)\(\boxed{\phantom{0}}\)\((\boxed{\phantom{0}}\,;\,\boxed{\phantom{0}})\)
\(z_3 = 5\)\(\boxed{\phantom{0}}\)\(\boxed{\phantom{0}}\)\((\boxed{\phantom{0}}\,;\,\boxed{\phantom{0}})\)
\(z_4 = -2i\)\(\boxed{\phantom{0}}\)\(\boxed{\phantom{0}}\)\((\boxed{\phantom{0}}\,;\,\boxed{\phantom{0}})\)

Plan complexe — place les 4 points

Complexe\(a\)\(b\)Point
\(z_1 = 2 + 4i\)\(2\)\(4\)\((2\,;\,4)\)
\(z_2 = -3 + i\)\(-3\)\(1\)\((-3\,;\,1)\)
\(z_3 = 5\)\(5\)\(0\)\((5\,;\,0)\) — sur l'axe réel
\(z_4 = -2i\)\(0\)\(-2\)\((0\,;\,-2)\) — sur l'axe imaginaire

Correction — plan complexe

Exercice 7 Calculer le module — guidé Socle
Méthode
Le module de \(z = a + ib\) est : \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\)
C'est la distance du point représentatif à l'origine dans le plan complexe.

Exemple guidé : \(z = 3 + 4i\)
\(a = 3\), \(b = 4\) → \(|z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = \boxed{5}\)

À toi : Calculer le module de chaque nombre complexe.

Complexe \(z\)\(a^2\)\(b^2\)\(a^2 + b^2\)\(|z|\)
\(z_1 = 5 + 12i\)\(\boxed{\phantom{00}}\)\(\boxed{\phantom{000}}\)\(\boxed{\phantom{000}}\)\(\boxed{\phantom{00}}\)
\(z_2 = 8 - 6i\)\(\boxed{\phantom{00}}\)\(\boxed{\phantom{00}}\)\(\boxed{\phantom{000}}\)\(\boxed{\phantom{00}}\)
\(z_3 = -3i\)\(\boxed{\phantom{0}}\)\(\boxed{\phantom{0}}\)\(\boxed{\phantom{0}}\)\(\boxed{\phantom{0}}\)
\(z_4 = 2 + 2i\)\(\boxed{\phantom{0}}\)\(\boxed{\phantom{0}}\)\(\boxed{\phantom{0}}\)\(\boxed{\phantom{00}}\)
Complexe\(a^2\)\(b^2\)\(a^2 + b^2\)\(|z|\)
\(z_1 = 5 + 12i\)\(25\)\(144\)\(169\)\(13\)
\(z_2 = 8 - 6i\)\(64\)\(36\)\(100\)\(10\)
\(z_3 = -3i\)\(0\)\(9\)\(9\)\(3\)
\(z_4 = 2 + 2i\)\(4\)\(4\)\(8\)\(2\sqrt{2} \approx 2{,}83\)

Astuce : les nombres 5-12-13, 3-4-5, 6-8-10 sont des « triplets pythagoriciens » qui donnent un module entier.

Exercice 8 Multiplier des complexes — pas à pas Socle
Rappel
On développe comme un produit ordinaire, puis on remplace \(i^2\) par \(-1\).
\((a + ib)(c + id) = ac + iad + ibc + i^2bd = (ac - bd) + i(ad + bc)\)

a) Guidé : Calculer \((2 + i)(3 - 2i)\).

\(2 \times 3 = \boxed{\phantom{0}}\)   \(2 \times (-2i) = \boxed{\phantom{00}}\)   \(i \times 3 = \boxed{\phantom{0}}\)   \(i \times (-2i) = -2i^2 = \boxed{\phantom{0}}\)
Partie réelle : \(\boxed{\phantom{0}} + \boxed{\phantom{0}} = \boxed{\phantom{0}}\)   Partie imaginaire : \(\boxed{\phantom{00}} + \boxed{\phantom{0}} = \boxed{\phantom{0}}\)
Résultat : \(\boxed{\phantom{000}} + \boxed{\phantom{0}}i\)

b) À toi : Calculer \((1 + 3i)(2 + i)\).

Résultat : …………………

c) À toi : Calculer \((5 - i)(5 + i)\). Que remarquez-vous avec le module de \(z = 5 + i\) ?

Résultat : ………………… Lien avec \(|z|\) : …………

a) \(6 + (-4i) + 3i + (-2i^2) = 6 - 4i + 3i + 2 = \) \(8 - i\)

b) \((1 + 3i)(2 + i) = 2 + i + 6i + 3i^2 = 2 + 7i - 3 = \) \(-1 + 7i\)

c) \((5 - i)(5 + i) = 25 + 5i - 5i - i^2 = 25 + 1 = \) \(26\)
Remarque : \(|5 + i| = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}\), donc \((5-i)(5+i) = |5+i|^2\). On retrouve la propriété \(z \times \bar{z} = |z|^2\).

Exercice 9 Reconnaître la forme trigonométrique — guidé Socle
Rappel
La forme trigonométrique est \(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\) où \(r = |z|\) et \(\theta\) l'argument.
Pour trouver \(\theta\) : \(\cos\theta = \dfrac{a}{r}\) et \(\sin\theta = \dfrac{b}{r}\), puis on reconnaît l'angle dans le tableau des valeurs remarquables.

Valeurs à connaître :

\(\theta\)\(0°\)\(30°\) (\(\pi/6\))\(45°\) (\(\pi/4\))\(60°\) (\(\pi/3\))\(90°\) (\(\pi/2\))
\(\cos\theta\)\(1\)\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)\(\dfrac{1}{2}\)\(0\)
\(\sin\theta\)\(0\)\(\dfrac{1}{2}\)\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)\(1\)

a) Convertir \(z = 2\!\left(\cos\dfrac{\pi}{3} + i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)\) en forme algébrique.

\(a = 2\cos\dfrac{\pi}{3} = 2 \times \boxed{\phantom{1/2}} = \boxed{\phantom{1}}\)    \(b = 2\sin\dfrac{\pi}{3} = 2 \times \boxed{\phantom{\sqrt{3}/2}} = \boxed{\phantom{\sqrt{3}}}\)
Résultat : \(z = \boxed{\phantom{1}} + \boxed{\phantom{\sqrt{3}}}i\)

b) Convertir \(z = \sqrt{2} + \sqrt{2}\,i\) en forme trigonométrique.

\(r = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{\boxed{\phantom{2}} + \boxed{\phantom{2}}} = \boxed{\phantom{2}}\)
\(\cos\theta = \dfrac{\sqrt{2}}{\boxed{\phantom{2}}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\) et \(\sin\theta = \dfrac{\sqrt{2}}{\boxed{\phantom{2}}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\) → \(\theta = \boxed{\phantom{\pi/4}}\)
Résultat : \(z = \boxed{\phantom{2}}\!\left(\cos\dfrac{\pi}{4} + i\sin\dfrac{\pi}{4}\right)\)

a) \(a = 2 \times \dfrac{1}{2} = 1\) et \(b = 2 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\). \(z = 1 + \sqrt{3}\,i\)

b) \(r = \sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2\).
\(\cos\theta = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\) et \(\sin\theta = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\) → \(\theta = \dfrac{\pi}{4}\) (45°).
\(z = 2\!\left(\cos\dfrac{\pi}{4} + i\sin\dfrac{\pi}{4}\right)\)

Exercice 10 Calculer \(i^2\), \(i^3\), \(i^4\) — guidé Socle
Règle
On sait que \(i^2 = -1\). En multipliant par \(i\) à chaque fois :
\(i^1 = i\)  ·  \(i^2 = -1\)  ·  \(i^3 = -i\)  ·  \(i^4 = 1\)  ·  puis le cycle recommence.

Compléter le tableau en s'aidant de la règle :

PuissanceCalcul intermédiaireRésultat
\(i^2\)\(i \times i\)\(\boxed{-1}\)
\(i^3\)\(i^2 \times i = (-1) \times i\)\(\boxed{\phantom{-i}}\)
\(i^4\)\(i^3 \times i = (-i) \times i\)\(\boxed{\phantom{1}}\)
\(i^5\)\(i^4 \times i = 1 \times i\)\(\boxed{\phantom{i}}\)
\(i^6\)\(i^5 \times i\)\(\boxed{\phantom{-1}}\)

Application : Simplifier les expressions suivantes :

a) \(3i^2 = 3 \times \boxed{\phantom{-1}} = \boxed{\phantom{-3}}\)

b) \(5i^4 = 5 \times \boxed{\phantom{1}} = \boxed{\phantom{5}}\)

c) \(-2i^3 = -2 \times \boxed{\phantom{-i}} = \boxed{\phantom{2i}}\)

PuissanceRésultat
\(i^2\)\(-1\)
\(i^3\)\(-i\)
\(i^4\)\(1\)
\(i^5\)\(i\)
\(i^6\)\(-1\)

a) \(3i^2 = 3 \times (-1) =\) \(-3\)

b) \(5i^4 = 5 \times 1 =\) \(5\)

c) \(-2i^3 = -2 \times (-i) =\) \(2i\)

Le cycle \(i, -1, -i, 1\) se répète toutes les 4 puissances.

Exercice 11 Égalité de deux complexes — trouver les inconnues Socle
Règle
Deux nombres complexes \(a + ib\) et \(c + id\) sont égaux si et seulement si :
\(a = c\) (parties réelles égales) ET \(b = d\) (parties imaginaires égales).

Trouver les réels \(x\) et \(y\) vérifiant chaque égalité :

a) \(x + 3i = 7 + 3i\)

Parties réelles : \(x = \boxed{\phantom{7}}\). Parties imaginaires : déjà égales (\(3 = 3\)).

b) \(2 + yi = 2 - 5i\)

Parties imaginaires : \(y = \boxed{\phantom{-5}}\).

c) \((x + 1) + (y - 2)i = 4 + 6i\)

Partie réelle : \(x + 1 = 4\) donc \(x = \boxed{\phantom{3}}\)
Partie imaginaire : \(y - 2 = 6\) donc \(y = \boxed{\phantom{8}}\)

d) \((2x - 3) + (3y + 1)i = 5 - 2i\)

\(x = \boxed{\phantom{4}}\)    \(y = \boxed{\phantom{-1}}\)

a) \(x = 7\)

b) \(y = -5\)

c) \(x + 1 = 4 \Rightarrow\) \(x = 3\)  ·  \(y - 2 = 6 \Rightarrow\) \(y = 8\)

d) \(2x - 3 = 5 \Rightarrow 2x = 8 \Rightarrow\) \(x = 4\)  ·  \(3y + 1 = -2 \Rightarrow 3y = -3 \Rightarrow\) \(y = -1\)

Exercice 12 Module et conjugué — exercice bilan guidé Socle

On donne \(z = 6 + 8i\).

1. Donner le conjugué \(\bar{z}\) :

\(\bar{z} = \boxed{\phantom{6 - 8i}}\)

2. Calculer le module \(|z|\) en complétant :

\(a = \boxed{\phantom{6}}\), \(b = \boxed{\phantom{8}}\)
\(a^2 = \boxed{\phantom{36}}\), \(b^2 = \boxed{\phantom{64}}\), \(a^2 + b^2 = \boxed{\phantom{100}}\)
\(|z| = \sqrt{\boxed{\phantom{100}}} = \boxed{\phantom{10}}\)

3. Vérifier que \(z \times \bar{z} = |z|^2\) :

\(z \times \bar{z} = (6 + 8i)(6 - 8i) = 36 - 48i + 48i - 64i^2 = 36 - 64 \times \boxed{\phantom{-1}} = \boxed{\phantom{100}}\)
\(|z|^2 = \boxed{\phantom{10}}^2 = \boxed{\phantom{100}}\) ✓

4. Le nombre \(z = 6 + 8i\) représente la tension aux bornes d'un appareil électrique (en notation complexe). Quelle est l'intensité de la tension (valeur absolue du module) ?

Intensité = \(|z| =\) ………… unités

1. \(\bar{z} = 6 - 8i\)

2. \(a^2 + b^2 = 36 + 64 = 100\). \(|z| = \sqrt{100} = 10\)

3. \((6 + 8i)(6 - 8i) = 36 - 64 \times (-1) = 36 + 64 = 100\) ✓. C'est bien égal à \(|z|^2 = 10^2 = 100\).

4. L'intensité de la tension est \(|z| = 10\) unités.

Exercice 13 Lire et construire un complexe dans le plan — exercice de synthèse Socle
Rappel
Dans le plan complexe, au point \(M(a\,;\,b)\) correspond le complexe \(z = a + ib\).
Lire les coordonnées du point → écrire le complexe.

1. Lire les complexes : Pour chaque point placé dans le plan ci-dessous, donner le nombre complexe correspondant.

PointCoordonnées \((a\,;\,b)\)Nombre complexe \(z = a + ib\)
\(A\)\((4\,;\,3)\)\(\boxed{\phantom{4 + 3i}}\)
\(B\)\((-2\,;\,5)\)\(\boxed{\phantom{-2 + 5i}}\)
\(C\)\((0\,;\,-4)\)\(\boxed{\phantom{-4i}}\)
\(D\)\((6\,;\,0)\)\(\boxed{\phantom{6}}\)

2. Pour chaque complexe, calculer son module :

\(|z_A| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{\boxed{\phantom{25}}} = \boxed{\phantom{5}}\)
\(|z_B| = \sqrt{(-2)^2 + 5^2} = \sqrt{\boxed{\phantom{29}}} \approx \boxed{\phantom{5{,}4}}\)
\(|z_C| = \sqrt{0^2 + (-4)^2} = \boxed{\phantom{4}}\)
\(|z_D| = \sqrt{6^2 + 0^2} = \boxed{\phantom{6}}\)

1.

PointNombre complexe
\(A(4\,;\,3)\)\(z_A = 4 + 3i\)
\(B(-2\,;\,5)\)\(z_B = -2 + 5i\)
\(C(0\,;\,-4)\)\(z_C = -4i\) (imaginaire pur)
\(D(6\,;\,0)\)\(z_D = 6\) (réel)

2.

\(|z_A| = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} =\) \(5\) (triplet 3-4-5)

\(|z_B| = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29} \approx\) \(5{,}4\)

\(|z_C| =\) \(4\)

\(|z_D| =\) \(6\)

Exercice 14 Résoudre z² = −a — guidé Socle
Méthode
Si \(a > 0\), l'équation \(z^2 = -a\) a deux solutions imaginaires pures :
\(z_1 = i\sqrt{a}\) et \(z_2 = -i\sqrt{a}\)

Exemple guidé : Résoudre \(z^2 = -16\).
\(\sqrt{16} = 4\) → Solutions : \(z_1 = \boxed{4i}\) et \(z_2 = \boxed{-4i}\)
Vérification : \((4i)^2 = 16i^2 = 16 \times (-1) = -16\) ✓

À toi :

Équation\(\sqrt{a} = \boxed{\phantom{0}}\)Solutions
\(z^2 = -36\)\(\boxed{\phantom{0}}\)\(z_1 = \boxed{\phantom{0}}\) et \(z_2 = \boxed{\phantom{0}}\)
\(z^2 = -1\)\(\boxed{\phantom{0}}\)\(z_1 = \boxed{\phantom{0}}\) et \(z_2 = \boxed{\phantom{0}}\)
\(z^2 = -49\)\(\boxed{\phantom{0}}\)\(z_1 = \boxed{\phantom{0}}\) et \(z_2 = \boxed{\phantom{0}}\)
\(z^2 = -3\)\(\sqrt{3}\)\(z_1 = \boxed{\phantom{0}}\) et \(z_2 = \boxed{\phantom{0}}\)
Équation\(\sqrt{a}\)Solutions
\(z^2 = -36\)\(6\)\(z_1 = 6i\) et \(z_2 = -6i\)
\(z^2 = -1\)\(1\)\(z_1 = i\) et \(z_2 = -i\) (l'unité imaginaire elle-même !)
\(z^2 = -49\)\(7\)\(z_1 = 7i\) et \(z_2 = -7i\)
\(z^2 = -3\)\(\sqrt{3}\)\(z_1 = i\sqrt{3}\) et \(z_2 = -i\sqrt{3}\)

Les deux solutions sont toujours conjuguées l'une de l'autre.

Exercice 15 Multiplier des nombres complexes Standard

Calculer les produits suivants en utilisant la règle \(i^2 = -1\). Donner le résultat sous forme algébrique.

a) \((2 + 3i)(4 - i)\)
b) \((1 + i)(1 - i)\)
c) \((-3 + 2i)(5 + 4i)\)
d) \((2i)(3 - 5i)\)
Réponses : ………………………………

a) \((2 + 3i)(4 - i) = 8 - 2i + 12i - 3i^2 = 8 + 10i - 3(-1) = 8 + 10i + 3 = \) \(11 + 10i\)

b) \((1 + i)(1 - i) = 1 - i + i - i^2 = 1 - (-1) = \) \(2\) (réel !)

c) \((-3 + 2i)(5 + 4i) = -15 - 12i + 10i + 8i^2 = -15 - 2i + 8(-1) = \) \(-23 - 2i\)

d) \((2i)(3 - 5i) = 6i - 10i^2 = 6i - 10(-1) = \) \(10 + 6i\)

Méthode : on développe comme un produit classique \((a+b)(c+d)\), puis on remplace \(i^2\) par \(-1\).

Exercice 16 Calculer le module d'un nombre complexe Standard

Le module de \(z = a + ib\) est : \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\).

Calculer le module de chaque nombre complexe :

\(z\)\(a\)\(b\)\(a^2 + b^2\)\(|z|\)
\(z_1 = 3 + 4i\)
\(z_2 = -5 + 12i\)
\(z_3 = 1 - i\)
\(z_4 = 6i\)
\(z_5 = -2 - 2i\)
\(z\)\(a\)\(b\)\(a^2 + b^2\)\(|z|\)
\(3 + 4i\)\(3\)\(4\)\(9 + 16 = 25\)\(5\)
\(-5 + 12i\)\(-5\)\(12\)\(25 + 144 = 169\)\(13\)
\(1 - i\)\(1\)\(-1\)\(1 + 1 = 2\)\(\sqrt{2} \approx 1{,}41\)
\(6i\)\(0\)\(6\)\(0 + 36 = 36\)\(6\)
\(-2 - 2i\)\(-2\)\(-2\)\(4 + 4 = 8\)\(2\sqrt{2} \approx 2{,}83\)

Le module est toujours positif ou nul. Il représente la distance du point au centre dans le plan complexe.

Exercice 17 Représenter des nombres complexes dans le plan Standard

Placer les nombres complexes suivants dans le plan complexe (axe horizontal = partie réelle, axe vertical = partie imaginaire) :

\(z_1 = 3 + 2i\)   \(z_2 = -1 + 4i\)   \(z_3 = -3 - 2i\)   \(z_4 = 4 - 3i\)   \(z_5 = 5i\)   \(z_6 = -4\)

Plan complexe — placez les 6 points

Correction — plan complexe

ComplexePoint \((a\,;\,b)\)Quadrant
\(z_1 = 3 + 2i\)\((3\,;\,2)\)I
\(z_2 = -1 + 4i\)\((-1\,;\,4)\)II
\(z_3 = -3 - 2i\)\((-3\,;\,-2)\)III
\(z_4 = 4 - 3i\)\((4\,;\,-3)\)IV
\(z_5 = 5i\)\((0\,;\,5)\)Axe imaginaire
\(z_6 = -4\)\((-4\,;\,0)\)Axe réel
Exercice 18 Opérations complexes — contexte professionnel Standard
Contexte : Un installateur thermique modélise les tensions dans un circuit électrique par des nombres complexes : \(Z_1 = 3 + 4i\) (bobine) et \(Z_2 = 5 - 2i\) (condensateur), exprimées en ohms.
1. Calculer l'impédance totale en série : \(Z = Z_1 + Z_2\). Donner \(\text{Re}(Z)\) et \(\text{Im}(Z)\).
2. Calculer le module \(|Z|\) (impédance totale en ohms, arrondir au centième).
3. Si la tension d'alimentation est \(U = 230\) V, calculer l'intensité efficace \(I = \dfrac{U}{|Z|}\). Arrondir au centième d'ampère.
Réponses : ………………………………

1. \(Z = Z_1 + Z_2 = (3 + 5) + (4 + (-2))i =\) \(8 + 2i\). Re\((Z) = 8\), Im\((Z) = 2\).

2. \(|Z| = \sqrt{8^2 + 2^2} = \sqrt{64 + 4} = \sqrt{68} \approx\) \(8{,}25\) Ω.

3. \(I = \dfrac{230}{8{,}25} \approx\) \(27{,}88\) A.

Exercice 19 Argument d'un nombre complexe Standard

Rappel : l'argument \(\theta\) de \(z = a + ib\) vérifie \(\cos\theta = \dfrac{a}{|z|}\) et \(\sin\theta = \dfrac{b}{|z|}\).

Pour chaque nombre complexe, calculer le module et l'argument (exprimer en degrés, arrondir au dixième) :
a) \(z_1 = 4 + 4i\)
b) \(z_2 = -3\)
c) \(z_3 = 5i\)
d) \(z_4 = 2 - 2\sqrt{3}\,i\)
Réponses : ………………………………

a) \(|z_1| = \sqrt{16 + 16} = 4\sqrt{2}\). \(\cos\theta = \dfrac{4}{4\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\) et \(\sin\theta = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\). \(\theta = 45°\).

b) \(|z_2| = 3\). \(\cos\theta = -1\) et \(\sin\theta = 0\). \(\theta = 180°\).

c) \(|z_3| = 5\). \(\cos\theta = 0\) et \(\sin\theta = 1\). \(\theta = 90°\).

d) \(|z_4| = \sqrt{4 + 12} = 4\). \(\cos\theta = \dfrac{2}{4} = 0{,}5\) et \(\sin\theta = \dfrac{-2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{-\sqrt{3}}{2}\). \(\theta = -60°\).

Exercice 20 Équation du second degré à discriminant négatif — contexte menuiserie Standard
Contexte : Un technicien d'agencement modélise la vibration d'un panneau par l'équation \(x^2 - 4x + 8 = 0\). L'ingénieur lui demande de résoudre cette équation dans \(\mathbb{C}\).
1. Calculer le discriminant \(\Delta = b^2 - 4ac\).
2. Le discriminant est-il positif ou négatif ? Que peut-on en déduire sur les solutions ?
3. Donner les deux solutions complexes \(z_1\) et \(z_2\). Vérifier que \(z_2 = \overline{z_1}\).
Réponses : ………………………………

1. \(a = 1\), \(b = -4\), \(c = 8\). \(\Delta = (-4)^2 - 4 \times 1 \times 8 = 16 - 32 =\) \(-16\).

2. \(\Delta = -16 < 0\) : l'équation n'a pas de solution réelle, mais deux solutions complexes conjuguées.

3. \(\sqrt{|\Delta|} = \sqrt{16} = 4\).
\(z_1 = \dfrac{4 + 4i}{2} =\) \(2 + 2i\)
\(z_2 = \dfrac{4 - 4i}{2} =\) \(2 - 2i\)
On vérifie : \(\overline{z_1} = \overline{2 + 2i} = 2 - 2i = z_2\) ✓

Exercice 21 Représentation dans le plan — distances et milieu Standard

Dans le plan complexe, on considère les points \(A\) d'affixe \(z_A = 2 + 3i\) et \(B\) d'affixe \(z_B = 6 + i\).

1. Calculer \(z_B - z_A\).
2. En déduire la distance \(AB = |z_B - z_A|\).
3. L'affixe du milieu \(M\) de \([AB]\) est \(z_M = \dfrac{z_A + z_B}{2}\). Calculer \(z_M\).
4. Vérifier que \(|z_M - z_A| = \dfrac{AB}{2}\).
Réponses : ………………………………

1. \(z_B - z_A = (6 + i) - (2 + 3i) =\) \(4 - 2i\).

2. \(AB = |4 - 2i| = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \approx\) \(4{,}47\).

3. \(z_M = \dfrac{(2 + 3i) + (6 + i)}{2} = \dfrac{8 + 4i}{2} =\) \(4 + 2i\).

4. \(z_M - z_A = (4 + 2i) - (2 + 3i) = 2 - i\). \(|2 - i| = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} = \dfrac{2\sqrt{5}}{2} = \dfrac{AB}{2}\) ✓

Exercice 22 Impédance d'un circuit RC — contexte professionnel Standard
Contexte : Un plombier chauffagiste vérifie le circuit de commande d'une vanne motorisée. Le circuit RC a une résistance \(R = 120\) Ω et une réactance capacitive \(X_C = -50\) Ω à la fréquence de 50 Hz.
1. Écrire l'impédance complexe \(\underline{Z} = R + jX_C\).
2. Calculer le module \(|\underline{Z}|\). Arrondir au dixième.
3. Calculer le conjugué \(\overline{\underline{Z}}\).
4. Vérifier la propriété \(\underline{Z} \times \overline{\underline{Z}} = |\underline{Z}|^2\).
Réponses : ………………………………

1. \(\underline{Z} = 120 - 50j\).

2. \(|\underline{Z}| = \sqrt{120^2 + (-50)^2} = \sqrt{14\,400 + 2\,500} = \sqrt{16\,900} =\) \(130\) Ω.

3. \(\overline{\underline{Z}} = 120 + 50j\).

4. \(\underline{Z} \times \overline{\underline{Z}} = (120 - 50j)(120 + 50j) = 120^2 - (50j)^2 = 14\,400 - 2\,500j^2 = 14\,400 + 2\,500 = 16\,900 = 130^2 = |\underline{Z}|^2\) ✓

Exercice 23 Résoudre des équations du second degré — applications variées Standard

Résoudre les équations suivantes dans \(\mathbb{C}\). Calculer d'abord \(\Delta\), puis conclure.

a) \(z^2 + 6z + 10 = 0\)
b) \(z^2 - 2z + 10 = 0\)
c) \(z^2 + 9 = 0\)
d) \(3z^2 - 6z + 9 = 0\)
Réponses : ………………………………

a) \(\Delta = 36 - 40 = -4\). \(\sqrt{|\Delta|} = 2\). \(z_1 = -3 + i\), \(z_2 = -3 - i\).

b) \(\Delta = 4 - 40 = -36\). \(\sqrt{|\Delta|} = 6\). \(z_1 = 1 + 3i\), \(z_2 = 1 - 3i\).

c) \(z^2 = -9\). \(z_1 = 3i\), \(z_2 = -3i\). (ou \(\Delta = -36\), \(z = \pm 3i\))

d) On divise par 3 : \(z^2 - 2z + 3 = 0\). \(\Delta = 4 - 12 = -8\). \(\sqrt{|\Delta|} = 2\sqrt{2}\). \(z_1 = 1 + i\sqrt{2}\), \(z_2 = 1 - i\sqrt{2}\).

Exercice 24 Forme trigonométrique — tableau de conversion Standard

Compléter le tableau de conversion entre forme algébrique et forme trigonométrique :

Forme algébriqueModule \(r\)Argument \(\theta\)Forme trigonométrique
\(z_1 = \sqrt{3} + i\)
\(z_2 = -2i\)
\(z_3 = -1 - i\)
\(z_4 = 3\left(\cos 0 + i\sin 0\right)\)\(z_4 = \)
\(z_5 = \sqrt{2}\!\left(\cos\dfrac{3\pi}{4} + i\sin\dfrac{3\pi}{4}\right)\)\(z_5 = \)
Compléter le tableau ci-dessus.
Complexe\(r\)\(\theta\)Forme trig.
\(\sqrt{3} + i\)\(2\)\(\dfrac{\pi}{6}\)\(2\!\left(\cos\dfrac{\pi}{6} + i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)\)
\(-2i\)\(2\)\(-\dfrac{\pi}{2}\)\(2\!\left(\cos\!\left(-\dfrac{\pi}{2}\right) + i\sin\!\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)\right)\)
\(-1 - i\)\(\sqrt{2}\)\(-\dfrac{3\pi}{4}\)\(\sqrt{2}\!\left(\cos\!\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right) + i\sin\!\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right)\right)\)
—\(3\)\(0\)\(z_4 = 3\) (réel positif)
—\(\sqrt{2}\)\(\dfrac{3\pi}{4}\)\(z_5 = -1 + i\)

Pour \(z_4\) : \(\cos 0 = 1\), \(\sin 0 = 0\), donc \(z_4 = 3 \times 1 = 3\).
Pour \(z_5\) : \(\cos\dfrac{3\pi}{4} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\), \(\sin\dfrac{3\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\), donc \(z_5 = \sqrt{2} \times \left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2} + i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = -1 + i\).

Exercice 25 Forme algébrique ↔ forme trigonométrique Approfondissement

La forme trigonométrique de \(z\) est : \(z = |z|(\cos\theta + i\sin\theta)\), où \(\theta\) est l'argument de \(z\).

Partie A — Algébrique → Trigonométrique : convertir les nombres suivants.
a) \(z_1 = 1 + i\)
b) \(z_2 = -\sqrt{3} + i\)
c) \(z_3 = -2\)

Partie B — Trigonométrique → Algébrique : convertir les nombres suivants.
d) \(z_4 = 4\left(\cos\dfrac{\pi}{3} + i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)\)
e) \(z_5 = 3\left(\cos\dfrac{\pi}{2} + i\sin\dfrac{\pi}{2}\right)\)
Réponses : ………………………………

a) \(z_1 = 1 + i\) : \(|z_1| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\).
\(\cos\theta = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\), \(\sin\theta = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\) → \(\theta = \dfrac{\pi}{4}\).
\(z_1 = \sqrt{2}\left(\cos\dfrac{\pi}{4} + i\sin\dfrac{\pi}{4}\right)\)

b) \(z_2 = -\sqrt{3} + i\) : \(|z_2| = \sqrt{3 + 1} = 2\).
\(\cos\theta = \dfrac{-\sqrt{3}}{2}\), \(\sin\theta = \dfrac{1}{2}\) → \(\theta = \dfrac{5\pi}{6}\).
\(z_2 = 2\left(\cos\dfrac{5\pi}{6} + i\sin\dfrac{5\pi}{6}\right)\)

c) \(z_3 = -2\) : \(|z_3| = 2\), \(\theta = \pi\).
\(z_3 = 2(\cos\pi + i\sin\pi)\)

d) \(z_4 = 4\left(\cos\dfrac{\pi}{3} + i\sin\dfrac{\pi}{3}\right) = 4\left(\dfrac{1}{2} + i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = \) \(2 + 2\sqrt{3}\,i\)

e) \(z_5 = 3\left(\cos\dfrac{\pi}{2} + i\sin\dfrac{\pi}{2}\right) = 3(0 + i \times 1) = \) \(3i\)

Exercice 26 Résoudre \(z^2 = -a\) (avec \(a > 0\)) Approfondissement

On cherche les nombres complexes \(z\) tels que \(z^2\) soit un réel négatif.

a) Résoudre \(z^2 = -9\).
b) Résoudre \(z^2 = -25\).
c) Résoudre \(z^2 = -7\).
d) Vérifier : si \(z = 3i\), calculer \(z^2\).
Réponses : ………………………………

a) \(z^2 = -9\) → \(z^2 = 9 \times (-1) = 9i^2\) → \(z = \pm 3i\).
\(z = 3i\) ou \(z = -3i\)

b) \(z^2 = -25\) → \(z = \pm 5i\).
\(z = 5i\) ou \(z = -5i\)

c) \(z^2 = -7\) → \(z = \pm i\sqrt{7}\).
\(z = i\sqrt{7}\) ou \(z = -i\sqrt{7}\)   (\(\sqrt{7} \approx 2{,}65\))

d) Vérification : \(z = 3i\) → \(z^2 = (3i)^2 = 9i^2 = 9 \times (-1) = -9\) ✓

Méthode
Si \(z^2 = -a\) avec \(a > 0\), alors \(z = \pm i\sqrt{a}\).
Exercice 27 Résoudre une équation du second degré à discriminant négatif Approfondissement

On résout \(az^2 + bz + c = 0\) dans \(\mathbb{C}\). Si \(\Delta = b^2 - 4ac < 0\), les solutions sont complexes :

\(z = \dfrac{-b \pm i\sqrt{|\Delta|}}{2a}\)

a) Résoudre \(z^2 - 2z + 5 = 0\).
b) Résoudre \(z^2 + 4z + 13 = 0\).
c) Résoudre \(2z^2 - 4z + 4 = 0\).
Réponses : ………………………………

a) \(z^2 - 2z + 5 = 0\) → \(\Delta = (-2)^2 - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16\).
\(\Delta < 0\) donc solutions complexes : \(\sqrt{|\Delta|} = \sqrt{16} = 4\).
\(z = \dfrac{2 \pm 4i}{2}\)
\(z_1 = 1 + 2i\)   \(z_2 = 1 - 2i\)

b) \(z^2 + 4z + 13 = 0\) → \(\Delta = 16 - 52 = -36\).
\(\sqrt{|\Delta|} = 6\). \(z = \dfrac{-4 \pm 6i}{2}\)
\(z_1 = -2 + 3i\)   \(z_2 = -2 - 3i\)

c) \(2z^2 - 4z + 4 = 0\) → \(\Delta = 16 - 32 = -16\).
\(\sqrt{|\Delta|} = 4\). \(z = \dfrac{4 \pm 4i}{4}\)
\(z_1 = 1 + i\)   \(z_2 = 1 - i\)

Attention
Les deux solutions sont toujours conjuguées l'une de l'autre : \(z_2 = \bar{z_1}\).
Exercice 28 Impédance d'un circuit en courant alternatif Approfondissement
Contexte : Un technicien chauffagiste-climaticien installe une pompe à chaleur raccordée au réseau électrique. Pour dimensionner les protections, il doit calculer l'impédance complexe du circuit. En électrotechnique, on note \(j\) l'unité imaginaire (au lieu de \(i\), réservé à l'intensité du courant).
Rappel
L'impédance complexe d'un circuit est : \(\underline{Z} = R + jX\)
• \(R\) = résistance (en \(\Omega\))   • \(X\) = réactance (en \(\Omega\))
• Le module \(|\underline{Z}| = \sqrt{R^2 + X^2}\) donne l'impédance totale.
• L'intensité efficace : \(I = \dfrac{U}{|\underline{Z}|}\)   (\(U\) = tension efficace en V).

Le circuit de la pompe à chaleur a les caractéristiques suivantes :

ComposantRésistance \(R\) (\(\Omega\))Réactance \(X\) (\(\Omega\))
Compresseur1216
Ventilateur3040

Tension du réseau : \(U = 230\) V.

1. Écrire l'impédance complexe du compresseur \(\underline{Z_1}\).
2. Calculer le module \(|\underline{Z_1}|\).
3. En déduire l'intensité \(I_1\) traversant le compresseur.
4. Écrire l'impédance complexe du ventilateur \(\underline{Z_2}\) et calculer \(|\underline{Z_2}|\).
5. Calculer l'intensité \(I_2\) du ventilateur.
6. Un disjoncteur de 16 A protège le circuit du compresseur. Est-il suffisant ?

Représentation des impédances dans le plan complexe

Réponses : ……………………………

1. \(\underline{Z_1} = 12 + 16j\) \(\Omega\)

2. \(|\underline{Z_1}| = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = \) \(20\) \(\Omega\)

3. \(I_1 = \dfrac{U}{|\underline{Z_1}|} = \dfrac{230}{20} = \) \(11{,}5\) A

4. \(\underline{Z_2} = 30 + 40j\) \(\Omega\).
\(|\underline{Z_2}| = \sqrt{30^2 + 40^2} = \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} = \) \(50\) \(\Omega\)

5. \(I_2 = \dfrac{230}{50} = \) \(4{,}6\) A

6. Le compresseur consomme \(11{,}5\) A. Le disjoncteur de 16 A est suffisant (\(11{,}5 < 16\)).

Exercice 29 Résonance d'un circuit RLC Approfondissement
Contexte : Un installateur en génie climatique vérifie le circuit électrique d'un système de ventilation. Le circuit comporte une résistance \(R\), une bobine (réactance inductive \(X_L > 0\)) et un condensateur (réactance capacitive \(X_C < 0\)). L'impédance totale est \(\underline{Z} = R + j(X_L + X_C)\).

Caractéristiques du circuit :

  • \(R = 10\) \(\Omega\)
  • \(X_L = +24\) \(\Omega\) (bobine)
  • \(X_C = -24\) \(\Omega\) (condensateur)
  • Tension : \(U = 230\) V
1. Écrire l'impédance complexe totale \(\underline{Z}\).
2. Que vaut la partie imaginaire de \(\underline{Z}\) ? Que se passe-t-il ?
3. Calculer le module \(|\underline{Z}|\) et l'intensité \(I\).
4. Ce phénomène s'appelle la résonance. Quelle est la condition sur \(X_L\) et \(X_C\) ?
5. Pourquoi l'intensité est-elle maximale à la résonance ?
Réponses : ……………………………

1. \(\underline{Z} = 10 + j(24 + (-24)) = 10 + j \times 0 = \) \(10\) \(\Omega\)

2. La partie imaginaire est nulle : \(\text{Im}(\underline{Z}) = 0\). L'impédance est purement résistive — les effets de la bobine et du condensateur se compensent exactement.

3. \(|\underline{Z}| = \sqrt{10^2 + 0^2} = 10\) \(\Omega\).
\(I = \dfrac{230}{10} = \) \(23\) A

4. Condition de résonance : \(X_L + X_C = 0\), soit \(X_L = -X_C\) (la réactance inductive compense la réactance capacitive).

5. À la résonance, \(|\underline{Z}|\) est minimal (il ne reste que \(R\)). Comme \(I = \dfrac{U}{|\underline{Z}|}\), l'intensité est maximale quand l'impédance est minimale.

Attention
En pratique, un courant de résonance trop élevé (ici 23 A) peut endommager le circuit. C'est pourquoi les installations sont dimensionnées pour éviter ce phénomène.
Exercice 30 Distances et plan complexe en agencement Approfondissement
Contexte : Un agenceur d'intérieur utilise un plan coté pour implanter des prises électriques dans une pièce rectangulaire. Il place un repère dans le coin inférieur gauche de la pièce et associe un nombre complexe à chaque prise.

Positions des prises (en mètres) :

PriseNombre complexePosition \((x\,;\,y)\)
A\(z_A = 1 + 2i\)(1 m ; 2 m)
B\(z_B = 4 + 2i\)(4 m ; 2 m)
C\(z_C = 4 + 5i\)(4 m ; 5 m)
D\(z_D = 1 + 5i\)(1 m ; 5 m)

La distance entre deux points \(z_1\) et \(z_2\) dans le plan complexe est \(d = |z_2 - z_1|\).

1. Placer les 4 prises dans le plan complexe ci-dessous.
2. Calculer la distance AB.
3. Calculer la distance AC (diagonale).
4. L'agenceur doit tirer un câble de A vers C. Combien de mètres de câble faut-il prévoir (ajouter 10 % de marge) ?
5. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier par les distances.

Plan de la pièce — placez les 4 prises

Réponses : ……………………………

Correction — plan complexe

2. \(z_B - z_A = (4 + 2i) - (1 + 2i) = 3\).
\(d_{AB} = |3| = \) \(3\) m

3. \(z_C - z_A = (4 + 5i) - (1 + 2i) = 3 + 3i\).
\(d_{AC} = |3 + 3i| = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \approx \) \(4{,}24\) m

4. Câble avec marge : \(3\sqrt{2} \times 1{,}10 \approx 4{,}24 \times 1{,}10 \approx \) \(4{,}67\) m → prévoir 5 m de câble.

5. Calculons toutes les distances :
\(d_{AB} = 3\) m, \(d_{BC} = |0 + 3i| = 3\) m, \(d_{CD} = |-3| = 3\) m, \(d_{DA} = |0 - 3i| = 3\) m.
Les 4 côtés sont égaux. Vérifions un angle : \(d_{AC} = 3\sqrt{2}\), ce qui correspond à la diagonale d'un carré de côté 3.
ABCD est un carré de côté 3 m.

Exercice 31 Calcul d'impédance RLC — circuit de ventilation Approfondissement
Contexte : Un technicien CVC dimensionne le circuit électrique d'un système de ventilation double-flux. Le circuit comporte : \(R = 15\) Ω, une bobine de réactance \(X_L = L\omega = 0{,}08 \times 314 \approx 25{,}1\) Ω et un condensateur de réactance \(X_C = \dfrac{1}{C\omega} = \dfrac{1}{400 \times 10^{-6} \times 314} \approx 7{,}96\) Ω. Tension : 230 V.
1. Écrire l'impédance complexe \(\underline{Z} = R + j(X_L - X_C)\). Arrondir à l'unité.
2. Calculer \(|\underline{Z}|\) et l'intensité efficace \(I\). Arrondir au centième.
3. Donner l'argument \(\varphi = \arctan\!\left(\dfrac{X_L - X_C}{R}\right)\) en degrés. Interpréter : le circuit est-il inductif ou capacitif ?
4. Le disjoncteur est calibré à 16 A. La protection est-elle adaptée ?
Réponses : ………………………………

1. \(X_L - X_C \approx 25{,}1 - 7{,}96 \approx 17\) Ω. \(\underline{Z} = 15 + 17j\).

2. \(|\underline{Z}| = \sqrt{225 + 289} = \sqrt{514} \approx\) \(22{,}67\) Ω. \(I = \dfrac{230}{22{,}67} \approx\) \(10{,}15\) A.

3. \(\varphi = \arctan\!\left(\dfrac{17}{15}\right) = \arctan(1{,}133) \approx\) \(48{,}6°\). \(\varphi > 0\) : le circuit est inductif (la bobine domine le condensateur).

4. \(I \approx 10{,}15\) A \(< 16\) A. Le disjoncteur de 16 A est adapté.

Exercice 32 Produit de complexes et applications géométriques Approfondissement

On considère les complexes \(z_1 = 1 + i\) et \(z_2 = \sqrt{3} - i\).

1. Calculer \(z_1 \times z_2\) en forme algébrique.
2. Calculer \(|z_1|\), \(|z_2|\) et \(|z_1 \times z_2|\). Vérifier la propriété \(|z_1 \times z_2| = |z_1| \times |z_2|\).
3. Mettre \(z_1\) et \(z_2\) sous forme trigonométrique.
4. En déduire la forme trigonométrique de \(z_1 \times z_2\), puis vérifier avec la question 1.
5. Quel est l'argument de \(z_1 \times z_2\) ? Interpréter géométriquement : que fait la multiplication par \(z_1\) ?
Réponses : ………………………………

1. \(z_1 \times z_2 = (1 + i)(\sqrt{3} - i) = \sqrt{3} - i + i\sqrt{3} - i^2 = \sqrt{3} + 1 + (\sqrt{3} - 1)i\). \(z_1 z_2 = (\sqrt{3}+1) + (\sqrt{3}-1)i \approx 2{,}73 + 0{,}73i\).

2. \(|z_1| = \sqrt{2}\), \(|z_2| = \sqrt{3+1} = 2\), \(|z_1 z_2| = \sqrt{(\sqrt{3}+1)^2 + (\sqrt{3}-1)^2} = \sqrt{(3+2\sqrt{3}+1) + (3-2\sqrt{3}+1)} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\). \(|z_1 z_2| = 2\sqrt{2} = \sqrt{2} \times 2 = |z_1| \times |z_2|\) ✓.

3. \(z_1 = \sqrt{2}\!\left(\cos\dfrac{\pi}{4} + i\sin\dfrac{\pi}{4}\right)\) ; \(z_2 = 2\!\left(\cos\!\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) + i\sin\!\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)\right)\).

4. Arg\((z_1 z_2) = \dfrac{\pi}{4} + \left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{3\pi - 2\pi}{12} = \dfrac{\pi}{12}\). \(z_1 z_2 = 2\sqrt{2}\!\left(\cos\dfrac{\pi}{12} + i\sin\dfrac{\pi}{12}\right)\).

5. Multiplier par \(z_1\) revient à multiplier le module par \(\sqrt{2}\) et à faire tourner le point de \(45°\) dans le plan complexe.

Exercice 33 Modélisation d'un signal électrique — courant alternatif sinusoïdal Approfondissement
Contexte : Un technicien en énergies renouvelables analyse le signal d'un onduleur solaire. La tension est modélisée par \(u(t) = U_m \cos(\omega t + \varphi)\) où \(U_m\) est l'amplitude, \(\omega = 2\pi f\) la pulsation et \(\varphi\) la phase. En notation complexe (phasor) : \(\underline{U} = \dfrac{U_m}{\sqrt{2}} e^{j\varphi}\).

Pour le circuit : \(\underline{U} = 163 e^{j\pi/6}\) V (amplitude efficace : \(U = 163\) V, phase : \(\varphi = 30°\)).

1. Convertir \(\underline{U}\) en forme algébrique (utiliser \(\cos 30° = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\) et \(\sin 30° = \dfrac{1}{2}\)). Arrondir à l'unité.
2. Vérifier que \(|\underline{U}| = 163\).
3. La tension efficace du réseau est \(U_{\text{eff}} = \dfrac{|\underline{U}|}{\sqrt{2}} \approx \dfrac{163}{\sqrt{2}}\). Calculer \(U_{\text{eff}}\) et vérifier qu'elle est proche de 115 V (tension de sortie typique d'un onduleur 12V → 115V).
4. Le courant de charge a pour phasor \(\underline{I} = 5 e^{-j\pi/12}\). Calculer l'angle de déphasage entre \(\underline{U}\) et \(\underline{I}\).
Réponses : ………………………………

1. \(\underline{U} = 163(\cos 30° + j\sin 30°) = 163\!\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + j \times \dfrac{1}{2}\right) \approx 163 \times 0{,}866 + j \times 163 \times 0{,}5\). \(\underline{U} \approx 141 + 81{,}5j\).

2. \(|\underline{U}| = \sqrt{141^2 + 81{,}5^2} \approx \sqrt{19\,881 + 6\,642} = \sqrt{26\,523} \approx 163\) ✓.

3. \(U_{\text{eff}} = \dfrac{163}{\sqrt{2}} \approx \dfrac{163}{1{,}414} \approx\) \(115\) V ✓. C'est bien une tension de sortie de 115 V.

4. Arg\(\underline{U} = \dfrac{\pi}{6} = 30°\) et Arg\(\underline{I} = -\dfrac{\pi}{12} = -15°\). Déphasage : \(\varphi = 30° - (-15°) = 45°\). La tension est en avance de 45° sur le courant.

Exercice 34 Lieux géométriques dans le plan complexe Approfondissement
Contexte : Un ingénieur thermicien modélise des zones d'équidistance dans un bâtiment par des ensembles de points dans le plan complexe.

On considère les complexes \(z_A = 1 + 2i\) et \(z_B = 5 + 4i\) représentant deux capteurs de température.

1. Calculer la distance \(AB = |z_B - z_A|\).
2. Déterminer l'affixe \(z_M\) du milieu de \([AB]\).
3. Un point \(C\) d'affixe \(z_C = a + bi\) est à égale distance de \(A\) et de \(B\). On a donc \(|z_C - z_A| = |z_C - z_B|\).
Montrer que cela implique : \((a - 1)^2 + (b - 2)^2 = (a - 5)^2 + (b - 4)^2\).
4. Développer et simplifier cette équation. À quelle courbe géométrique correspond l'ensemble des points \(C\) ?
5. Vérifier que le milieu \(M\) trouvé en question 2 appartient à cette courbe.
Réponses : ………………………………

1. \(z_B - z_A = (5+4i) - (1+2i) = 4 + 2i\). \(AB = |4+2i| = \sqrt{16+4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \approx\) \(4{,}47\).

2. \(z_M = \dfrac{z_A + z_B}{2} = \dfrac{(1+2i)+(5+4i)}{2} = \dfrac{6+6i}{2} =\) \(3 + 3i\).

3. \(|z_C - z_A|^2 = (a-1)^2 + (b-2)^2\) et \(|z_C - z_B|^2 = (a-5)^2 + (b-4)^2\). L'égalité des distances donne bien l'équation indiquée.

4. En développant :
\(a^2 - 2a + 1 + b^2 - 4b + 4 = a^2 - 10a + 25 + b^2 - 8b + 16\)
\(-2a - 4b + 5 = -10a - 8b + 41\)
\(8a + 4b = 36\) → \(2a + b = 9\).
C'est une droite — la médiatrice du segment \([AB]\).

5. \(M = (3\,;\,3)\) : \(2 \times 3 + 3 = 9\) ✓. Le milieu de \([AB]\) appartient à la médiatrice.

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