Chapitre 10 – Nombres complexes

Terminale Bac Pro • Classes ERA • TMA • ICCER (Grpt 1)

Dernière mise à jour : 29 avril 2026

Programme complémentaire — poursuite d'études Ce module fait partie du programme complémentaire de Terminale Bac Pro : il prépare la poursuite d'études (BTS et au-delà) et se traite dans le cadre de l'accompagnement au choix d'orientation. Il ne fait pas partie du programme évalué en CCF.

Objectifs du chapitre :

Connaître la définition de \(i\) et la forme algébrique d'un nombre complexe.
Effectuer des opérations (addition, multiplication) sur les complexes.
Calculer le module et le conjugué d'un nombre complexe.
Représenter un complexe dans le plan complexe.
Passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique (et inversement).
Résoudre une équation du second degré à discriminant négatif.
ICCER Utiliser les complexes pour les impédances en courant alternatif.

Situation professionnelle — Impédances en courant alternatif

Un technicien CVC dimensionne un circuit électrique comportant résistances et bobines. L'impédance du circuit est un nombre complexe \(Z = R + jX\). Calculer sa valeur absolue (le module) permet de déterminer la résistance effective du circuit au courant alternatif.

1. L'unité imaginaire et les nombres complexes

Définition
On définit le nombre \(i\) tel que : \[\boxed{i^2 = -1}\] Un nombre complexe est un nombre de la forme : \[\boxed{z = a + ib}\] où \(a\) et \(b\) sont des réels.
• \(a = \text{Re}(z)\) est la partie réelle de \(z\).
• \(b = \text{Im}(z)\) est la partie imaginaire de \(z\).

Attention
\(i\) n'est pas un nombre réel : on ne peut pas situer \(i\) sur la droite des réels. C'est une extension des réels.
Si \(b = 0\), alors \(z = a\) est un réel ordinaire.
Si \(a = 0\), on dit que \(z = ib\) est un imaginaire pur.

Exemples

Nombre complexe	Partie réelle \(a\)	Partie imaginaire \(b\)	Nature
\(z = 3 + 2i\)	\(3\)	\(2\)	Complexe
\(z = -1 + i\)	\(-1\)	\(1\)	Complexe
\(z = 5\)	\(5\)	\(0\)	Réel
\(z = -3i\)	\(0\)	\(-3\)	Imaginaire pur
\(z = 2 - 3i\)	\(2\)	\(-3\)	Complexe

Application

Calcule \(i^2\), \(i^3\), \(i^4\). Que remarques-tu ?

2. Opérations en forme algébrique

Propriétés
Soient \(z_1 = a + ib\) et \(z_2 = c + id\). Alors :

Addition : \(z_1 + z_2 = (a+c) + i(b+d)\)
Soustraction : \(z_1 - z_2 = (a-c) + i(b-d)\)
Multiplication : \(z_1 \times z_2 = (ac - bd) + i(ad + bc)\)
(On développe comme un produit ordinaire en remplaçant \(i^2\) par \(-1\).)

Exemple détaillé — Addition et Soustraction
Soient \(z_1 = 3 + 2i\) et \(z_2 = 1 - 5i\).

Addition : \(z_1 + z_2 = (3+1) + (2 + (-5))i = 4 - 3i\)

Soustraction : \(z_1 - z_2 = (3-1) + (2-(-5))i = 2 + 7i\)

On regroupe : parties réelles ensemble, parties imaginaires ensemble.

Exemple détaillé — Multiplication
Soient \(z_1 = 2 + 3i\) et \(z_2 = 1 - i\).

\(z_1 \times z_2 = (2 + 3i)(1 - i)\)

On développe : \(= 2 \times 1 + 2 \times (-i) + 3i \times 1 + 3i \times (-i)\)

\(= 2 - 2i + 3i - 3i^2\)

\(= 2 + i - 3 \times (-1)\) (car \(i^2 = -1\))

\(= 2 + i + 3\)

\(z_1 \times z_2 = 5 + i\)

Application

Calcule \((2+3i)(1-i)\) et donne le résultat sous forme \(a + bi\).

3. Conjugué et module

Définition — Conjugué
Le conjugué de \(z = a + ib\) est le nombre complexe : \[\boxed{\bar{z} = a - ib}\] On change le signe de la partie imaginaire.

Définition — Module
Le module de \(z = a + ib\) est le réel positif : \[\boxed{|z| = \sqrt{a^2 + b^2}}\]

Propriétés remarquables
• \(z \times \bar{z} = a^2 + b^2 = |z|^2\)
• \(|z| = |\bar{z}|\)
• \(|z_1 \times z_2| = |z_1| \times |z_2|\)
• Si \(z\) est réel (\(b=0\)), alors \(|z| = |a|\) (valeur absolue habituelle).

Exemple
Soit \(z = 3 + 4i\).

Conjugué : \(\bar{z} = 3 - 4i\)

Module : \(|z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25}\)

\(|z| = 5\)

Vérification : \(z \times \bar{z} = (3+4i)(3-4i) = 9 - 16i^2 = 9 + 16 = 25 = |z|^2\) ✓

Application

Un circuit électrique a une impédance \(Z = 5 + 12j\) (en \(\Omega\)). Calcule le module \(|Z|\). Que représente cette valeur physiquement ?

4. Plan complexe — Représentation géométrique

Définition
Dans le plan complexe, on place le nombre \(z = a + ib\) par le point \(M(a\,;\,b)\) :
• L'axe des abscisses est l'axe réel (noté Re).
• L'axe des ordonnées est l'axe imaginaire (noté Im).
Le module \(|z|\) représente la distance de \(M\) à l'origine \(O\).

Plan complexe interactif

Cliquez sur un bouton pour afficher un nombre complexe dans le plan.

Interprétation géométrique du module
Le module \(|z|\) est la longueur du segment \(OM\) où \(M\) est le point représentatif de \(z\).
Par le théorème de Pythagore : \(OM = \sqrt{a^2 + b^2} = |z|\).

5. Forme trigonométrique

Définition
Un nombre complexe \(z \neq 0\) peut s'écrire sous forme trigonométrique : \[\boxed{z = r(\cos\theta + i\sin\theta)}\] où :
• \(r = |z| = \sqrt{a^2+b^2}\) est le module.
• \(\theta\) est l'argument de \(z\), c'est l'angle orienté que fait \(\overrightarrow{OM}\) avec l'axe réel positif.

Méthode — Forme algébrique vers forme trigonométrique
Soit \(z = a + ib\).
Étape 1 : Calculer \(r = \sqrt{a^2+b^2}\).
Étape 2 : Identifier \(\cos\theta = \dfrac{a}{r}\) et \(\sin\theta = \dfrac{b}{r}\).
Étape 3 : Déduire \(\theta\) (en radians ou en degrés, dans \(]-\pi\,;\,\pi]\)).

Exemple 1 — z = 1 + i

Module : \(r = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}\)

\(\cos\theta = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\) et \(\sin\theta = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\)

On reconnaît \(\theta = \dfrac{\pi}{4}\) (soit 45°).

\(z = \sqrt{2}\!\left(\cos\dfrac{\pi}{4} + i\sin\dfrac{\pi}{4}\right)\)

Exemple 2 — z = -1 + i√3

Module : \(r = \sqrt{(-1)^2+(\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = 2\)

\(\cos\theta = \dfrac{-1}{2}\) et \(\sin\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

On reconnaît \(\theta = \dfrac{2\pi}{3}\) (soit 120°).

\(z = 2\!\left(\cos\dfrac{2\pi}{3} + i\sin\dfrac{2\pi}{3}\right)\)

Méthode — Forme trigonométrique vers forme algébrique
Si \(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\), calculer \(\cos\theta\) et \(\sin\theta\) :
\(a = r\cos\theta\) et \(b = r\sin\theta\), puis \(z = a + ib\).

Exemple
\(z = 4\!\left(\cos\dfrac{\pi}{6} + i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)\)
\(\cos\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\) et \(\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}\)

\(z = 4 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} + i \times 4 \times \dfrac{1}{2} = 2\sqrt{3} + 2i\)

6. Formule d'Euler (au-delà du programme complémentaire)

Pour aller plus loin Le programme complémentaire de Terminale couvre les formes algébrique et trigonométrique. La forme exponentielle \(z = r\,e^{i\theta}\) est présentée ici en ouverture : elle est au programme de BTS.

Formule d'Euler
Pour tout réel \(\theta\) : \[\boxed{e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta}\] On peut donc écrire la forme exponentielle d'un complexe : \[z = r\,e^{i\theta}\]

Remarque
Cette formule est admise (non démontrée au niveau Bac Pro). Elle est très utilisée en physique et en électricité sous la forme \(e^{j\omega t}\) où \(j\) désigne l'unité imaginaire en convention électrique.

Exemples de notation exponentielle

Forme algébrique	Module \(r\)	Argument \(\theta\)	Forme exponentielle
\(1 + i\)	\(\sqrt{2}\)	\(\pi/4\)	\(\sqrt{2}\,e^{i\pi/4}\)
\(-1\)	\(1\)	\(\pi\)	\(e^{i\pi}\)
\(i\)	\(1\)	\(\pi/2\)	\(e^{i\pi/2}\)
\(2(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3})\)	\(2\)	\(\pi/3\)	\(2\,e^{i\pi/3}\)

Identité remarquable En prenant \(\theta = \pi\) : \(e^{i\pi} = \cos\pi + i\sin\pi = -1\), soit \(e^{i\pi} + 1 = 0\).

7. Application professionnelle — Impédances en courant alternatif ICCER

Contexte professionnel
En électricité courant alternatif (CA), les résistances, bobines et condensateurs s'opposent différemment au courant selon la fréquence. On regroupe ces effets dans l'impédance complexe \(Z\), notée avec \(j\) (pour éviter la confusion avec l'intensité \(i\)). \[Z = R + jX\] où \(R\) est la résistance (partie réelle) et \(X\) la réactance (partie imaginaire).
L'impédance totale est \(|Z| = \sqrt{R^2 + X^2}\) (en ohms, Ω).

Problème résolu — Circuit RL série

Données
Circuit RL série avec : \(R = 100\,\Omega\), \(L = 0{,}1\,\text{H}\), \(\omega = 100\,\text{rad/s}\).
Tension efficace \(U = 230\,\text{V}\).

Résolution étape par étape

Étape 1 — Réactance de la bobine :
\(X_L = L\omega = 0{,}1 \times 100 = 10\,\Omega\)

Étape 2 — Impédance complexe du circuit :
\(Z = R + jX_L = 100 + 10j\)

Étape 3 — Module de Z (= impédance totale) :
\(|Z| = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{100^2 + 10^2} = \sqrt{10\,000 + 100} = \sqrt{10\,100}\)

\(|Z| \approx 100{,}5\,\Omega\)

Étape 4 — Intensité efficace :
Loi d'Ohm généralisée : \(I = \dfrac{U}{|Z|} = \dfrac{230}{100{,}5} \approx 2{,}29\,\text{A}\)

Impédance : \(Z = 100 + 10j\) | \(|Z| \approx 100{,}5\,\Omega\) | Intensité : \(I \approx 2{,}29\,\text{A}\)

Formule générale pour un circuit RLC
\[Z = R + j\!\left(L\omega - \frac{1}{C\omega}\right)\] • \(L\omega\) : réactance inductive (bobine)
• \(\dfrac{1}{C\omega}\) : réactance capacitive (condensateur)
• À la résonance : \(L\omega = \dfrac{1}{C\omega}\), donc \(Z = R\) (purement résistif, \(|Z|\) minimal).

8. Applications géométriques ERA / TMA

Distance entre deux points
Si \(A\) a pour affixe \(z_A\) et \(B\) a pour affixe \(z_B\), alors : \[\boxed{AB = |z_B - z_A|}\]

Milieu d'un segment
Le milieu \(I\) de \([AB]\) a pour affixe : \[\boxed{z_I = \frac{z_A + z_B}{2}}\]

Exemple
\(A\) d'affixe \(z_A = 1 + 2i\) et \(B\) d'affixe \(z_B = 5 - 2i\).

Distance AB :
\(z_B - z_A = (5-1) + (-2-2)i = 4 - 4i\)
\(AB = |4 - 4i| = \sqrt{4^2+(-4)^2} = \sqrt{16+16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\)

Milieu I :
\(z_I = \dfrac{(1+2i)+(5-2i)}{2} = \dfrac{6}{2} = 3\)

\(AB = 4\sqrt{2} \approx 5{,}66\) | \(I\) a pour affixe \(3\) (point sur l'axe réel)

9. Résolution d'équations

9.1 Équations du type z² = −a (a > 0)

Méthode
Si \(a > 0\), l'équation \(z^2 = -a\) a deux solutions imaginaires pures conjuguées : \[\boxed{z = i\sqrt{a} \quad \text{et} \quad z = -i\sqrt{a}}\]

Exemple — z² = −4

\(z^2 = -4\)

Comme \((2i)^2 = 4i^2 = -4\) et \((-2i)^2 = 4i^2 = -4\) :

Les solutions sont \(z_1 = 2i\) et \(z_2 = -2i\).

9.2 Équation du second degré à discriminant négatif

Rappel
Pour \(az^2 + bz + c = 0\), on calcule \(\Delta = b^2 - 4ac\).
• Si \(\Delta > 0\) : deux solutions réelles.
• Si \(\Delta = 0\) : une solution réelle double.
• Si \(\Delta < 0\) : deux solutions complexes conjuguées : \[\boxed{z = \frac{-b \pm i\sqrt{|\Delta|}}{2a}}\]

Exemple — z² + 2z + 5 = 0

Calcul du discriminant :
\(\Delta = 2^2 - 4 \times 1 \times 5 = 4 - 20 = -16\)

\(\Delta < 0\) : deux solutions complexes conjuguées.

\(\sqrt{|\Delta|} = \sqrt{16} = 4\)

\(z = \dfrac{-2 \pm 4i}{2}\)

\(z_1 = -1 + 2i\) et \(z_2 = -1 - 2i\)

Vérification : \(z_1 + z_2 = -2 = -b/a\) ✓ | \(z_1 \times z_2 = (-1)^2+(2)^2 = 5 = c/a\) ✓

Exemple — 2z² − 2z + 1 = 0

\(\Delta = (-2)^2 - 4 \times 2 \times 1 = 4 - 8 = -4\)

\(\sqrt{|\Delta|} = 2\)

\(z = \dfrac{2 \pm 2i}{4} = \dfrac{1 \pm i}{2}\)

\(z_1 = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}i\) et \(z_2 = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}i\)

10. Tableau récapitulatif

Notion	Formule / définition	Exemple avec \(z = 3 - 4i\)
Forme algébrique	\(z = a + ib\)	\(a=3,\; b=-4\)
Partie réelle	\(\text{Re}(z) = a\)	\(\text{Re}(z) = 3\)
Partie imaginaire	\(\text{Im}(z) = b\)	\(\text{Im}(z) = -4\)
Conjugué	\(\bar{z} = a - ib\)	\(\bar{z} = 3 + 4i\)
Module	\(\|z\| = \sqrt{a^2+b^2}\)	\(\|z\| = \sqrt{9+16} = 5\)
Argument	\(\theta\) tel que \(\cos\theta=a/r\), \(\sin\theta=b/r\)	\(\theta = \arctan(-4/3) \approx -53{,}1°\)
Forme trigonométrique	\(r(\cos\theta+i\sin\theta)\)	\(5(\cos(-53{,}1°)+i\sin(-53{,}1°))\)
Forme exponentielle	\(r\,e^{i\theta}\)	\(5\,e^{i\theta}\) avec \(\theta \approx -0{,}927\,\text{rad}\)
Distance \(AB\)	\(\|z_B - z_A\|\)	—
Milieu \(I\)	\(\dfrac{z_A+z_B}{2}\)	—
\(\Delta < 0\) dans \(az^2+bz+c=0\)	\(z = \dfrac{-b \pm i\sqrt{\|\Delta\|}}{2a}\)	—

À retenir — L'essentiel du chapitre

\(i^2 = -1\) | \(z = a + ib\) | \(\bar{z} = a - ib\) | \(|z| = \sqrt{a^2+b^2}\)
Dans le plan complexe, \(z = a+ib\) correspond au point \(M(a\,;\,b)\) et \(|z| = OM\).
Forme trigonométrique : \(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\) avec \(r = |z|\).
Formule d'Euler : \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\).
Si \(\Delta < 0\) : solutions complexes \(\dfrac{-b \pm i\sqrt{|\Delta|}}{2a}\).
ICCER Impédance : \(Z = R + jX\), \(|Z| = \sqrt{R^2+X^2}\), \(I = U/|Z|\).

11. Exercices

Exercice 1 — Opérations de base
Soient \(z_1 = 2 + 5i\) et \(z_2 = 3 - i\).
Calculer : (a) \(z_1 + z_2\) (b) \(z_1 - z_2\) (c) \(z_1 \times z_2\) (d) \(\overline{z_1}\) (e) \(|z_1|\)

Voir la correction

(a) \(z_1 + z_2 = (2+3) + (5-1)i = 5 + 4i\)
(b) \(z_1 - z_2 = (2-3) + (5+1)i = -1 + 6i\)
(c) \(z_1 \times z_2 = (2+5i)(3-i) = 6 - 2i + 15i - 5i^2 = 6 + 13i + 5 = 11 + 13i\)
(d) \(\overline{z_1} = 2 - 5i\)
(e) \(|z_1| = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29} \approx 5{,}39\)

Exercice 2 — Forme trigonométrique
Mettre sous forme trigonométrique les nombres complexes suivants :
(a) \(z = -\sqrt{3} + i\) (b) \(z = -2i\) (c) \(z = 1 + i\sqrt{3}\)

Voir la correction

(a) \(z = -\sqrt{3} + i\)
\(r = \sqrt{3+1} = 2\)
\(\cos\theta = -\sqrt{3}/2\) et \(\sin\theta = 1/2\) donc \(\theta = 5\pi/6\) (150°)
\(z = 2\!\left(\cos\dfrac{5\pi}{6} + i\sin\dfrac{5\pi}{6}\right)\)

(b) \(z = -2i\)
\(r = 2\), \(\cos\theta = 0\), \(\sin\theta = -1\) donc \(\theta = -\pi/2\)
\(z = 2\!\left(\cos\!\left(-\dfrac{\pi}{2}\right) + i\sin\!\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)\right)\)

(c) \(z = 1 + i\sqrt{3}\)
\(r = \sqrt{1+3} = 2\)
\(\cos\theta = 1/2\) et \(\sin\theta = \sqrt{3}/2\) donc \(\theta = \pi/3\) (60°)
\(z = 2\!\left(\cos\dfrac{\pi}{3} + i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)\)

Exercice 3 — Résolution d'équations
Résoudre dans \(\mathbb{C}\) les équations suivantes :
(a) \(z^2 = -9\) (b) \(z^2 - 4z + 13 = 0\) (c) \(z^2 + z + 1 = 0\)

Voir la correction

(a) \(z^2 = -9\)
Solutions imaginaires pures : \(z_1 = 3i\) et \(z_2 = -3i\)

(b) \(z^2 - 4z + 13 = 0\)
\(\Delta = 16 - 52 = -36 < 0\), \(\sqrt{|\Delta|} = 6\)
\(z = \dfrac{4 \pm 6i}{2}\)
\(z_1 = 2 + 3i\) et \(z_2 = 2 - 3i\)

(c) \(z^2 + z + 1 = 0\)
\(\Delta = 1 - 4 = -3 < 0\), \(\sqrt{|\Delta|} = \sqrt{3}\)
\(z = \dfrac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}\)
\(z_1 = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i\) et \(z_2 = -\dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}i\)

Exercice 4 — Applications géométriques et professionnelles ICCER
Partie A (géométrie) : Dans le plan complexe, \(A\) a pour affixe \(z_A = -2 + 4i\) et \(B\) a pour affixe \(z_B = 4 + 2i\).
(1) Calculer la distance \(AB\). (2) Donner l'affixe du milieu \(I\) de \([AB]\).

Partie B (impédance) : Un circuit RLC série a : \(R = 50\,\Omega\), \(L = 0{,}2\,\text{H}\), \(C = 100\,\mu\text{F}\), \(\omega = 200\,\text{rad/s}\).
(3) Calculer \(X_L = L\omega\). (4) Calculer \(X_C = \dfrac{1}{C\omega}\). (5) Écrire l'impédance complexe \(Z\). (6) Calculer \(|Z|\).

Voir la correction

Partie A :
(1) \(z_B - z_A = (4-(-2)) + (2-4)i = 6 - 2i\)
\(AB = |6-2i| = \sqrt{36+4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \approx 6{,}32\)

(2) \(z_I = \dfrac{z_A+z_B}{2} = \dfrac{(-2+4i)+(4+2i)}{2} = \dfrac{2+6i}{2} = 1 + 3i\)
Le milieu \(I\) a pour coordonnées \((1\,;\,3)\).

Partie B :
(3) \(X_L = 0{,}2 \times 200 = 40\,\Omega\)
(4) \(X_C = \dfrac{1}{100 \times 10^{-6} \times 200} = \dfrac{1}{0{,}02} = 50\,\Omega\)
(5) \(Z = 50 + j(40 - 50) = 50 - 10j\)
(6) \(|Z| = \sqrt{50^2 + (-10)^2} = \sqrt{2500+100} = \sqrt{2600} \approx 50{,}99\,\Omega\)

Erreurs fréquentes

❌

Oublier que \(i^2 = -1\) lors d'une multiplication
\((2+i)(3+i) = 6 + 2i + 3i + i^2 = 6 + 5i + (-1) = 5 + 5i\), pas \(6 + 5i\).
Conseil : toujours remplacer \(i^2\) par \(-1\) lors du développement.

❌

Confondre module et partie réelle
Le module \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\), pas seulement \(a\).
Conseil : le module est toujours positif et se calcule comme une distance (Pythagore).

❌

Confondre conjugué et opposé
Le conjugué de \(a+bi\) est \(a-bi\) (signe de la partie imaginaire changé), pas \(-a-bi\).
Conseil : conjugué = même partie réelle, partie imaginaire opposée.

❌

Inverser argument et module dans la forme trigonométrique
\(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\) : \(r\) est le module, \(\theta\) est l'argument.
Conseil : \(r = |z|\) (toujours positif), et \(\theta = \text{arg}(z)\).

Simulation interactive

Nombres complexes