Devoir Surveillé – Chapitre 10

Nombres complexes | T^le Bac Pro

🎯 Objectifs du chapitre cliquer pour développer

Connaître la définition de \(i\) et la forme algébrique d'un nombre complexe.
Effectuer des opérations (addition, multiplication) sur les complexes.
Calculer le module et le conjugué d'un nombre complexe.
Représenter un complexe dans le plan complexe.
Passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique (et inversement).
Résoudre une équation du second degré à discriminant négatif.
ICCER Utiliser les complexes pour les impédances en courant alternatif.

🕑 Durée : 1 heure

🧮 Calculatrice : autorisée

✍ Barème : 20 points

📄 Documents : non autorisés

Socle Exercice 1 – Opérations guidées sur les complexes 10 points

Rappels
• Un nombre complexe s'écrit \(z = a + bi\) où \(a = \text{Re}(z)\) et \(b = \text{Im}(z)\).
• Addition : \((a + bi) + (c + di) = (a+c) + (b+d)i\).
• Multiplication : on développe et on utilise \(i^2 = -1\).

On donne \(z_1 = 5 + 2i\) et \(z_2 = 3 - i\).

1. (1 pt) Compléter : \(\text{Re}(z_1) = \boxed{\phantom{00}}\) et \(\text{Im}(z_1) = \boxed{\phantom{00}}\).

2. (1 pt) Compléter : \(\text{Re}(z_2) = \boxed{\phantom{00}}\) et \(\text{Im}(z_2) = \boxed{\phantom{00}}\).

3. (2 pts) Calculer \(z_1 + z_2\) en complétant :
Parties réelles : \(5 + 3 = \boxed{\phantom{00}}\)
Parties imaginaires : \(2 + (-1) = \boxed{\phantom{00}}\)
Donc \(z_1 + z_2 = \boxed{\phantom{000}} + \boxed{\phantom{000}}i\)

4. (3 pts) Calculer \(z_1 \times z_2\) en complétant le développement :
\((5 + 2i)(3 - i) = 5 \times 3 + 5 \times (-i) + 2i \times 3 + 2i \times (-i)\)
\(= \boxed{\phantom{00}} + \boxed{\phantom{00}} + \boxed{\phantom{00}} + \boxed{\phantom{00}}\)
On remplace \(i^2 = -1\) : \(-2i^2 = -2 \times (-1) = \boxed{\phantom{00}}\)
Résultat : \(z_1 \times z_2 = \boxed{\phantom{000}} + \boxed{\phantom{000}}i\)

5. (1 pt) Donner le conjugué \(\bar{z}_1\) de \(z_1\) (on change le signe de la partie imaginaire) : \(\bar{z}_1 = \boxed{\phantom{000}}\)

6. (2 pts) Calculer le module \(|z_1|\) en complétant :
\(|z_1| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{\boxed{\phantom{0}}^2 + \boxed{\phantom{0}}^2} = \sqrt{\boxed{\phantom{00}} + \boxed{\phantom{00}}} = \sqrt{\boxed{\phantom{00}}}\)
Valeur approchée (calculatrice) : \(|z_1| \approx \boxed{\phantom{0000}}\)

1. \(\text{Re}(z_1) = 5\), \(\text{Im}(z_1) = 2\).

2. \(\text{Re}(z_2) = 3\), \(\text{Im}(z_2) = -1\).

3. Parties réelles : \(5 + 3 = 8\). Parties imaginaires : \(2 + (-1) = 1\). Donc \(z_1 + z_2 = 8 + i\).

4. \((5 + 2i)(3 - i) = 15 - 5i + 6i - 2i^2 = 15 + i - 2(-1) = 15 + i + 2 = 17 + i\).

5. \(\bar{z}_1 = 5 - 2i\).

6. \(|z_1| = \sqrt{5^2 + 2^2} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29} \approx 5{,}39\).

Socle Exercice 2 – Module et plan complexe guidé 10 points

Rappel — Module
Le module de \(z = a + bi\) est : \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\).
Il représente la distance du point \(M(a\,;\,b)\) à l'origine dans le plan complexe.

Contexte : Un électricien repère les positions de 3 boîtiers électriques sur le plan d'une pièce. Il associe un nombre complexe à chaque boîtier (unité : le mètre).

Boîtier A : \(z_A = 3 + 4i\) Boîtier B : \(z_B = -2 + i\) Boîtier C : \(z_C = 1 - 3i\)

1. (3 pts) Compléter le tableau :

Boîtier	\(a\)	\(b\)	\(a^2\)	\(b^2\)	\(a^2 + b^2\)	\(\|z\| = \sqrt{a^2+b^2}\)
A : \(3 + 4i\)	\(\boxed{\phantom{0}}\)	\(\boxed{\phantom{0}}\)	\(\boxed{\phantom{00}}\)	\(\boxed{\phantom{00}}\)	\(\boxed{\phantom{00}}\)	\(\boxed{\phantom{00}}\)
B : \(-2 + i\)	\(\boxed{\phantom{0}}\)	\(\boxed{\phantom{0}}\)	\(\boxed{\phantom{00}}\)	\(\boxed{\phantom{00}}\)	\(\boxed{\phantom{00}}\)	\(\boxed{\phantom{00}}\)
C : \(1 - 3i\)	\(\boxed{\phantom{0}}\)	\(\boxed{\phantom{0}}\)	\(\boxed{\phantom{00}}\)	\(\boxed{\phantom{00}}\)	\(\boxed{\phantom{00}}\)	\(\boxed{\phantom{00}}\)

2. (3 pts) Placer les 3 boîtiers dans le plan complexe ci-dessous. Pour chaque point, indiquer les coordonnées \((a\,;\,b)\).

3. (2 pts) L'électricien veut connaître la distance entre A et B. Calculer pas à pas :
\(z_B - z_A = (-2 + i) - (3 + 4i) = (\boxed{\phantom{00}}) + (\boxed{\phantom{00}})i\)
\(d_{AB} = |z_B - z_A| = \sqrt{\boxed{\phantom{00}}^2 + \boxed{\phantom{00}}^2} = \sqrt{\boxed{\phantom{00}}} \approx \boxed{\phantom{000}}\) m

4. (2 pts) Quel boîtier est le plus éloigné de l'origine ? Justifier à l'aide des modules calculés à la question 1.

Boîtier	\(a\)	\(b\)	\(a^2\)	\(b^2\)	\(a^2+b^2\)	\(\|z\|\)
A	3	4	9	16	25	5
B	\(-2\)	1	4	1	5	\(\sqrt{5} \approx 2{,}24\)
C	1	\(-3\)	1	9	10	\(\sqrt{10} \approx 3{,}16\)

2. A en \((3\,;\,4)\), B en \((-2\,;\,1)\), C en \((1\,;\,-3)\).

3. \(z_B - z_A = (-2 - 3) + (1 - 4)i = -5 - 3i\).
\(d_{AB} = \sqrt{(-5)^2 + (-3)^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} \approx 5{,}83\) m.

4. \(|z_A| = 5\), \(|z_B| \approx 2{,}24\), \(|z_C| \approx 3{,}16\). Le boîtier A est le plus éloigné de l'origine car son module est le plus grand.

TOTAL SOCLE : 20 points

Exercice 1 – Opérations en forme algébrique 7 points

On donne \(z_1 = 3 + 2i\) et \(z_2 = 1 - 4i\).

1. (1 pt) Calculer \(z_1 + z_2\).

2. (1,5 pt) Calculer \(z_1 \times z_2\). Écrire le résultat sous forme algébrique \(a + bi\).

3. (1 pt) Déterminer le conjugué \(\bar{z}_1\) de \(z_1\).

4. (1,5 pt) Calculer le module \(|z_1|\) et le module \(|z_2|\). Donner les valeurs exactes.

5. (2 pts) Calculer le quotient \(\dfrac{z_1}{z_2}\). Donner le résultat sous forme algébrique.

1. \(z_1 + z_2 = (3 + 1) + (2 - 4)i = 4 - 2i\).

2. \(z_1 \times z_2 = (3 + 2i)(1 - 4i) = 3 - 12i + 2i - 8i^2 = 3 - 10i - 8 \times (-1) = 3 - 10i + 8 = 11 - 10i\).

3. \(\bar{z}_1 = 3 - 2i\).

4. \(|z_1| = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}\).
\(|z_2| = \sqrt{1^2 + (-4)^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}\).

5. On multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué de \(z_2\) :
\(\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{3 + 2i}{1 - 4i} = \dfrac{(3 + 2i)(1 + 4i)}{(1 - 4i)(1 + 4i)} = \dfrac{3 + 12i + 2i + 8i^2}{1 + 16}\)
\(= \dfrac{3 + 14i - 8}{17} = \dfrac{-5 + 14i}{17} = -\dfrac{5}{17} + \dfrac{14}{17}i\).

Exercice 2 – Forme trigonométrique et plan complexe 7 points

1. (2 pts) Écrire le nombre complexe \(z = 1 + i\) sous forme trigonométrique \(r(\cos\theta + i\sin\theta)\). Préciser le module \(r\) et l'argument \(\theta\).

2. (2 pts) Écrire le nombre complexe \(w = 2(\cos 60° + i\sin 60°)\) sous forme algébrique.

3. (1,5 pt) Placer dans le plan complexe les points \(M_1\), \(M_2\) et \(M_3\) d'affixes respectives \(z_1 = 2 + 3i\), \(z_2 = -1 + 2i\) et \(z_3 = 3 - i\). Préciser leurs coordonnées cartésiennes.

4. (1,5 pt) En utilisant la formule d'Euler \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\), écrire \(z = 1 + i\) sous la forme exponentielle \(re^{i\theta}\).

1. Module : \(r = |z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\).
Argument : \(\cos\theta = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\) et \(\sin\theta = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\), donc \(\theta = 45° = \dfrac{\pi}{4}\).
Forme trigonométrique : \(z = \sqrt{2}\left(\cos 45° + i\sin 45°\right)\).

2. \(w = 2(\cos 60° + i\sin 60°) = 2\left(\dfrac{1}{2} + i\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = 1 + i\sqrt{3}\).

3. \(M_1(2\,;\,3)\), \(M_2(-1\,;\,2)\), \(M_3(3\,;\,-1)\). L'abscisse est la partie réelle et l'ordonnée est la partie imaginaire.

4. D'après la question 1, \(r = \sqrt{2}\) et \(\theta = \dfrac{\pi}{4}\).
Forme exponentielle : \(z = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4}\).

Exercice 3 – Impédance d'un circuit RL (contexte professionnel) 6 points

Contexte : Un technicien en installation climatique étudie un circuit électrique alimentant le moteur d'une pompe à chaleur. Le circuit comporte une résistance \(R = 30\;\Omega\) et une bobine d'inductance \(L\) telle que la réactance inductive vaut \(X_L = 40\;\Omega\). L'impédance complexe du circuit est : \[\underline{Z} = R + jX_L = 30 + 40j \quad (\text{en } \Omega)\] où \(j\) désigne l'unité imaginaire (notation électrique).

1. (2 pts) Calculer le module \(|\underline{Z}|\) de l'impédance. Quelle est sa signification physique ?

2. (2 pts) Calculer l'argument \(\varphi\) (déphasage) de \(\underline{Z}\) en degrés. Arrondir au degré. Interpréter : le courant est-il en avance ou en retard sur la tension ?

3. (2 pts) La tension d'alimentation est \(U = 230\) V (valeur efficace). Calculer l'intensité efficace \(I = \dfrac{U}{|\underline{Z}|}\) et la puissance active \(P = UI\cos\varphi\). Arrondir au dixième.

1. \(|\underline{Z}| = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{30^2 + 40^2} = \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} = 50\;\Omega\).
Le module représente l'impédance totale du circuit, c'est-à-dire le rapport entre la tension efficace et l'intensité efficace.

2. \(\tan(\varphi) = \dfrac{X_L}{R} = \dfrac{40}{30} = \dfrac{4}{3} \approx 1{,}333\).
\(\varphi = \arctan\!\left(\dfrac{4}{3}\right) \approx 53°\).
Le déphasage est positif (circuit inductif) : le courant est en retard sur la tension de 53°.

3. \(I = \dfrac{U}{|\underline{Z}|} = \dfrac{230}{50} = 4{,}6\) A.
\(P = UI\cos\varphi = 230 \times 4{,}6 \times \cos(53°) = 1\,058 \times 0{,}6018 \approx 636{,}7\) W.
La puissance active consommée par le circuit est d'environ 636,7 W.

TOTAL STANDARD : 20 points

Approfondissement Exercice 1 – Impédance complexe d'un circuit RLC 10 points

Contexte : Un technicien en installation climatique dimensionne le circuit d'alimentation électrique d'une unité de climatisation réversible. Le circuit comporte en série une résistance \(R\), une bobine (réactance inductive \(X_L\)) et un condensateur de compensation (réactance capacitive \(X_C\)). En notation électrique, l'unité imaginaire est notée \(j\).

Caractéristiques du circuit :

\(R = 15\;\Omega\)
\(X_L = +36\;\Omega\) (bobine du compresseur)
\(X_C = -16\;\Omega\) (condensateur de compensation)
Tension du réseau : \(U = 230\) V (valeur efficace)

1. (1,5 pt) Écrire l'impédance complexe totale \(\underline{Z} = R + j(X_L + X_C)\) sous forme algébrique.

2. (2 pts) Calculer le module \(|\underline{Z}|\). Donner la valeur exacte puis la valeur approchée au dixième.

3. (1,5 pt) Calculer l'intensité efficace \(I = \dfrac{U}{|\underline{Z}|}\). Arrondir au dixième.

4. (2 pts) Calculer l'argument \(\varphi = \arctan\!\left(\dfrac{X_L + X_C}{R}\right)\) en degrés. En déduire la puissance active \(P = UI\cos\varphi\).

5. (1,5 pt) On souhaite atteindre la résonance (\(\text{Im}(\underline{Z}) = 0\)). Quelle doit être la valeur de \(X_C\) pour cela ? Calculer l'intensité à la résonance et expliquer pourquoi elle est maximale.

6. (1,5 pt) Le disjoncteur du circuit est calibré à 20 A. Comparer l'intensité de résonance au calibre. Un fonctionnement accidentel en résonance présente-t-il un risque ? Justifier.

1. \(\underline{Z} = 15 + j(36 + (-16)) = 15 + 20j\;\Omega\).

2. \(|\underline{Z}| = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25\;\Omega\).

3. \(I = \dfrac{230}{25} = 9{,}2\) A.

4. \(\tan(\varphi) = \dfrac{20}{15} = \dfrac{4}{3}\). \(\varphi = \arctan\!\left(\dfrac{4}{3}\right) \approx 53{,}1°\).
\(P = UI\cos\varphi = 230 \times 9{,}2 \times \cos(53{,}1°) = 2\,116 \times 0{,}6 \approx 1\,269{,}6\) W \(\approx 1{,}27\) kW.

5. Résonance si \(X_L + X_C = 0\), donc \(X_C = -X_L = -36\;\Omega\).
À la résonance : \(|\underline{Z}| = R = 15\;\Omega\) et \(I = \dfrac{230}{15} \approx 15{,}3\) A.
L'intensité est maximale car l'impédance est minimale (seule la résistance subsiste).

6. \(I_{\text{résonance}} \approx 15{,}3\) A \(< 20\) A : le disjoncteur ne déclenchera pas immédiatement, mais le courant est élevé. Un fonctionnement prolongé en résonance présente un risque d'échauffement et de surconsommation. Il est préférable de dimensionner le condensateur pour éviter la résonance.

Approfondissement Exercice 2 – Géométrie et nombres complexes 10 points

Dans le plan complexe, on considère les points \(A\), \(B\) et \(C\) d'affixes :

\(z_A = 1 + i\) \(z_B = 4 + 5i\) \(z_C = -2 + 4i\)

1. (2 pts) Calculer les distances \(AB\), \(BC\) et \(AC\). On rappelle que la distance entre deux points d'affixes \(z_1\) et \(z_2\) est \(d = |z_2 - z_1|\).

2. (1,5 pt) Le triangle \(ABC\) est-il isocèle ? Équilatéral ? Justifier.

3. (2 pts) Calculer l'affixe du milieu \(M\) du segment \([AB]\) : \(z_M = \dfrac{z_A + z_B}{2}\). Interpréter géométriquement.

4. (2,5 pts) On définit \(z' = z_B - z_A\). Écrire \(z'\) sous forme algébrique, calculer son module et son argument. Interpréter : que représente \(z'\) géométriquement ?

1. \(z_B - z_A = 3 + 4i\), \(AB = |3 + 4i| = \sqrt{9 + 16} = 5\).
\(z_C - z_B = -6 - i\), \(BC = |{-6 - i}| = \sqrt{36 + 1} = \sqrt{37} \approx 6{,}08\).
\(z_C - z_A = -3 + 3i\), \(AC = |{-3 + 3i}| = \sqrt{9 + 9} = 3\sqrt{2} \approx 4{,}24\).

2. Les trois distances sont toutes différentes (\(5 \neq \sqrt{37} \neq 3\sqrt{2}\)). Le triangle n'est ni isocèle ni équilatéral.

3. \(z_M = \dfrac{(1+i) + (4+5i)}{2} = \dfrac{5 + 6i}{2} = 2{,}5 + 3i\). Le point \(M(2{,}5\,;\,3)\) est le milieu de \([AB]\).

4. \(z' = z_B - z_A = 3 + 4i\). Module : \(|z'| = 5\) (c'est la distance \(AB\)).
Argument : \(\theta = \arctan\!\left(\dfrac{4}{3}\right) \approx 53{,}1°\).
Géométriquement, \(z'\) représente le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) : sa direction fait un angle de \(53°\) avec l'axe réel et sa longueur est 5.

5. \(AB^2 = 25\), \(AC^2 = 18\), \(BC^2 = 37\).
Vérification : \(AB^2 + AC^2 = 25 + 18 = 43 \neq 37 = BC^2\).
En revanche : \(AC^2 + ? \neq\)… Recalculons : \(25 + 18 = 43\) et \(BC^2 = 37\). L'égalité n'est pas vérifiée, donc le triangle n'est pas rectangle. Cependant, on peut vérifier que \(BC^2 < AB^2 + AC^2\) (\(37 < 43\)), ce qui confirme que le triangle est acutangle (tous les angles sont aigus).

TOTAL APPROFONDISSEMENT : 20 points