Le nombre e
\(e \approx 2{,}718\,281\,828\ldots\)
- Nombre irrationnel, base naturelle des logarithmes
- \(e^0 = 1\) | \(e^1 = e\) | \(e^{-1} = \frac{1}{e} \approx 0{,}368\)
Fonction exponentielle \(e^x\)
- Définie sur \(\mathbb{R}\), toujours \(> 0\)
- Strictement croissante sur \(\mathbb{R}\)
- \(\lim_{x\to -\infty} e^x = 0\) ; \(\lim_{x\to +\infty} e^x = +\infty\)
Propriétés de \(e^x\)
\(e^{a+b} = e^a \times e^b\) \(e^{a-b} = \dfrac{e^a}{e^b}\)
\((e^a)^b = e^{ab}\) \(e^{-a} = \dfrac{1}{e^a}\)
Fonction \(\ln(x)\)
- Définie sur \(]0\,;\,+\infty[\) uniquement
- Strictement croissante
- \(\ln(1) = 0\) ; \(\ln(e) = 1\)
- \(\lim_{x\to 0^+} \ln(x) = -\infty\) ; \(\lim_{x\to +\infty} \ln(x) = +\infty\)
Propriétés de \(\ln\)
\(\ln(a \times b) = \ln a + \ln b\)
\(\ln\!\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b\) \(\ln(a^n) = n\,\ln a\)
\(\ln\!\left(\dfrac{1}{a}\right) = -\ln a\)
Lien de réciprocité
\(\ln(e^x) = x\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\)
\(e^{\ln x} = x\) pour tout \(x > 0\)
Courbes symétriques par rapport à \(y = x\).
Dérivées
\((e^x)' = e^x\) | \((e^{ax})' = a\,e^{ax}\) | \((e^{u})' = u' \times e^{u}\)
\((\ln x)' = \dfrac{1}{x}\) | \((\ln u)' = \dfrac{u'}{u}\)
Résolution d'équations
\(e^x = a \;\;(a > 0)\) \(\Longrightarrow\) \(x = \ln(a)\)
\(\ln(x) = b\) \(\Longrightarrow\) \(x = e^b\)
Méthode pour un modèle : isoler l'exponentielle, passer au ln, utiliser \(\ln(e^u) = u\), résoudre.
Modèles professionnels
Loi de Newton : \(T(t) = T_{\text{amb}} + (T_0 - T_{\text{amb}}) \times e^{-kt}\)
Séchage : \(H(t) = H_0 \times e^{-kt}\)
- \(k > 0\) : constante de décroissance (plus \(k\) est grand, plus c'est rapide)
- \(T_{\text{amb}}\) : asymptote horizontale (valeur limite)