Fiche résumé — Fonctions ln et exponentielle
Chapitre 9 | Terminale Bac Pro | Mathématiques
⚑ Programme complémentaire — poursuite d'études (non évalué en CCF)
Dernière mise à jour : 29 juin 2026
x
y
y = x
exp
ln
1
1
exp et ln, symétriques par rapport à la droite y = x
Le nombre e
\(e \approx 2{,}718\,281\,828\ldots\)
Nombre irrationnel, base naturelle des logarithmes
\(e^0 = 1\) | \(e^1 = e\) | \(e^{-1} = \frac{1}{e} \approx 0{,}368\)
Fonction exponentielle \(e^x\)
Définie sur \(\mathbb{R}\), toujours \(> 0\)
Strictement croissante sur \(\mathbb{R}\)\(\lim_{x\to -\infty} e^x = 0\) ; \(\lim_{x\to +\infty} e^x = +\infty\)
Propriétés de \(e^x\)
\(e^{a+b} = e^a \times e^b\) \(e^{a-b} = \dfrac{e^a}{e^b}\)
\((e^a)^b = e^{ab}\) \(e^{-a} = \dfrac{1}{e^a}\)
Fonction \(\ln(x)\)
Définie sur \(]0\,;\,+\infty[\) uniquement
Strictement croissante \(\ln(1) = 0\) ; \(\ln(e) = 1\)
\(\lim_{x\to 0^+} \ln(x) = -\infty\) ; \(\lim_{x\to +\infty} \ln(x) = +\infty\)
Propriétés de \(\ln\)
\(\ln(a \times b) = \ln a + \ln b\)
\(\ln\!\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b\) \(\ln(a^n) = n\,\ln a\)
\(\ln\!\left(\dfrac{1}{a}\right) = -\ln a\)
Lien de réciprocité
\(\ln(e^x) = x\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\)
\(e^{\ln x} = x\) pour tout \(x > 0\)
Courbes symétriques par rapport à \(y = x\).
Dérivées
\((e^x)' = e^x\) | \((e^{ax})' = a\,e^{ax}\) | \((e^{u})' = u' \times e^{u}\)
\((\ln x)' = \dfrac{1}{x}\) | \((\ln u)' = \dfrac{u'}{u}\)
Résolution d'équations
\(e^x = a \;\;(a > 0)\) \(\Longrightarrow\) \(x = \ln(a)\)
\(\ln(x) = b\) \(\Longrightarrow\) \(x = e^b\)
Méthode pour un modèle : isoler l'exponentielle, passer au ln, utiliser \(\ln(e^u) = u\), résoudre.
Modèles professionnels
Loi de Newton : \(T(t) = T_{\text{amb}} + (T_0 - T_{\text{amb}}) \times e^{-kt}\)
Séchage : \(H(t) = H_0 \times e^{-kt}\)
\(k > 0\) : constante de décroissance (plus \(k\) est grand, plus c'est rapide)
\(T_{\text{amb}}\) : asymptote horizontale (valeur limite)
Piège 1 : \(e^{a+b} \neq e^a + e^b\). L'exponentielle d'une somme est un produit , pas une somme.
Piège 2 : \(\ln(x)\) n'existe pas pour \(x \leq 0\). Toujours vérifier que l'argument est strictement positif.
Piège 3 : \(e^{a \times b} \neq e^a \times e^b\). Le produit d'exponentielles correspond à la somme des exposants, pas au produit.
Astuce 1 : Pour résoudre \(e^{-kt} = \text{valeur}\), passer au \(\ln\) donne \(-kt = \ln(\text{valeur})\), soit \(t = -\dfrac{\ln(\text{valeur})}{k}\).
Astuce 2 : \(\ln(e^k) = k\) et \(e^{\ln k} = k\) : ces deux formules simplifient énormément les calculs. Les retenir par coeur.