Ch09 — Fonctions ln et exponentielle

Terminale Bac Pro • ERA • TMA • ICCER (Grpt 1)

Dernière mise à jour : 29 avril 2026

Programme complémentaire — poursuite d'études Ce module fait partie du programme complémentaire de Terminale Bac Pro : il prépare la poursuite d'études (BTS et au-delà) et se traite dans le cadre de l'accompagnement au choix d'orientation. Il ne fait pas partie du programme évalué en CCF.

Objectifs du chapitre :

Connaître et utiliser les propriétés de la fonction exponentielle e^x
Connaître et utiliser les propriétés du logarithme népérien ln(x)
Comprendre le lien de réciprocité entre e^x et ln(x)
Résoudre des équations exponentielles et logarithmiques
Modéliser des phénomènes de croissance/décroissance continue (refroidissement, séchage du bois)

Situation professionnelle — Séchage du bois et refroidissement

Un menuisier surveille le séchage de planches de chêne dont l'humidité décroît selon un modèle exponentiel. Un ébéniste suit le refroidissement d'une pièce en bois traitée thermiquement. Ces deux phénomènes font appel aux fonctions \(e^x\) et \(\ln(x)\).

1. Le nombre e

Définition
Le nombre e est un nombre irrationnel (non décimal) dont la valeur approchée est :

e ≈ 2,718 281 828…

C’est la base naturelle des logarithmes et des exponentielles. Il joue en analyse le rôle que joue 10 pour les logarithmes décimaux (log₁₀).

Valeurs remarquables
e⁰ = 1 | e¹ = e ≈ 2,718 | e² ≈ 7,389 | e⁻¹ = 1/e ≈ 0,368

2. La fonction exponentielle e^x

2.1 Définition et propriétés algébriques

Définition
La fonction exponentielle est la fonction définie sur ℝ par :

f(x) = e^x

C’est l’unique fonction égale à sa propre dérivée et valant 1 en 0 : (e^x)′ = e^x.

Propriétés algébriques
Pour tous réels a et b :

Propriété	Formule	Exemple numérique
Produit	e^a+b = e^a × e^b	e³ = e¹ × e² ≈ 2,718 × 7,389 ≈ 20,09
Quotient	e^a−b = e^a / e^b	e¹ = e³ / e² ≈ 20,09 / 7,389 ≈ 2,718
Puissance	(e^a)^b = e^ab	(e²)³ = e⁶ ≈ 403,4
Inverse	e^−a = 1 / e^a	e⁻¹ = 1/e ≈ 0,368
Neutre	e⁰ = 1	Tout nombre élevé à 0 vaut 1

Attention
e^a+b ≠ e^a + e^b et e^{a × b} ≠ e^a × e^b
La fonction exponentielle est toujours strictement positive : e^x > 0 pour tout x ∈ ℝ.

Application

Simplifie : \(e^3 \times e^{-1}\), puis \(\dfrac{e^5}{e^2}\), puis \((e^2)^4\).

2.2 Dérivée de la fonction exponentielle

Dérivées

Fonction	Dérivée	Remarque
f(x) = e^x	f′(x) = e^x	Unique fonction égale à sa dérivée
f(x) = e^ax	f′(x) = a × e^ax	a est une constante réelle
f(x) = e^u(x)	f′(x) = u′(x) × e^u(x)	Règle de la chaîne

Exemples de calcul de dérivées
a) f(x) = e^3x ⇒ f′(x) = 3e^3x
b) f(x) = e^−0,1x ⇒ f′(x) = −0,1 × e^−0,1x
c) f(x) = e^x²+1 : poser u(x) = x²+1, u′(x) = 2x ⇒ f′(x) = 2x × e^x²+1
d) f(x) = 5e^2x + 3 ⇒ f′(x) = 10e^2x

2.3 Variations, tableau et limites

Variations de e^x
La fonction x ↦ e^x est strictement croissante sur ℝ.
Sa dérivée e^x est toujours strictement positive, donc la fonction ne fait que croitre.

Tableau de variations de f(x) = e^x
x	−∞		+∞
f′(x) = e^x		+ + + + + + + +
f(x) = e^x	0⁺	↗	+∞

Limites
lim_{x → −∞} e^x = 0 (la courbe se rapproche de l’axe des x sans jamais le toucher)
lim_{x → +∞} e^x = +∞ (croissance très rapide — plus vite que tout polynôme)

3. La fonction logarithme népérien ln

3.1 Définition

Définition
Le logarithme népérien (noté ln) est la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par :

y = ln(x) ⇔ e^y = x

Autrement dit, ln(x) est l’exposant auquel il faut élever e pour obtenir x.

Exemples :
• ln(e) = 1 car e¹ = e
• ln(1) = 0 car e⁰ = 1
• ln(e²) = 2 car e² = e²

Domaine de définition
ln(x) n’est défini que pour x > 0. On ne peut pas calculer ln(0) ni ln d’un nombre négatif.

3.2 Propriétés algébriques

Propriétés du logarithme népérien
Pour tous réels a > 0, b > 0 et tout entier n :

Propriété	Formule	Exemple numérique
Produit	ln(a × b) = ln(a) + ln(b)	ln(6) = ln(2) + ln(3) ≈ 0,693 + 1,099 = 1,792
Quotient	ln(a / b) = ln(a) − ln(b)	ln(2) = ln(6) − ln(3) ≈ 1,792 − 1,099 = 0,693
Puissance	ln(aⁿ) = n × ln(a)	ln(8) = ln(2³) = 3 ln(2) ≈ 3 × 0,693 = 2,079
Inverse	ln(1/a) = −ln(a)	ln(0,5) = −ln(2) ≈ −0,693
Valeurs clés	ln(1) = 0 ; ln(e) = 1	ln(e^k) = k pour tout réel k

Application

Simplifie : \(\ln(3) + \ln(4)\), puis \(\ln(20) - \ln(4)\), puis \(\ln(5^2)\).

3.3 Dérivée du logarithme népérien

Dérivées

Fonction	Dérivée	Condition
f(x) = ln(x)	f′(x) = 1/x	x > 0
f(x) = ln(u(x))	f′(x) = u′(x) / u(x)	u(x) > 0

Exemples
a) f(x) = ln(3x) : u = 3x, u′ = 3 ⇒ f′(x) = 3/(3x) = 1/x
b) f(x) = ln(x² + 1) : u = x²+1, u′ = 2x ⇒ f′(x) = 2x / (x²+1)
c) f(x) = ln(2x + 5) ⇒ f′(x) = 2 / (2x+5) (valable pour x > −5/2)

3.4 Variations, tableau et limites

Variations de ln(x)
La fonction x ↦ ln(x) est strictement croissante sur ]0 ; +∞[.
Sa dérivée 1/x est positive pour x > 0 : la fonction ne fait que croitre.

Tableau de variations de f(x) = ln(x)
x	0⁺		+∞
f′(x) = 1/x		+ + + + + + + +
f(x) = ln(x)	−∞	↗	+∞

Limites
lim_{x → 0⁺} ln(x) = −∞
lim_{x → +∞} ln(x) = +∞ (mais croissance très lente — beaucoup plus lente que x)

4. Lien entre e^x et ln — Fonctions réciproques

Fonctions réciproques
Les fonctions e^x et ln sont réciproques l’une de l’autre :

ln(e^x) = x pour tout x ∈ ℝ
e^ln(x) = x pour tout x > 0

Géométriquement, leurs courbes sont symétriques par rapport à la droite y = x.

Graphiques superposés de e^x et ln(x)

Les courbes de e^x et ln(x) sont symétriques par rapport à la droite y = x (en tireté).

5. Résolution d’équations

Méthode
Type 1 — Équation exponentielle : e^x = a
→ Possible uniquement si a > 0. Solution : x = ln(a)

Type 2 — Équation logarithmique : ln(x) = b
→ Solution : x = e^b

Exemples résolus
a) e^x = 5 ⇒ x = ln(5) ≈ 1,609

b) e^2x = 8 ⇒ 2x = ln(8) = 3 ln(2) ⇒ x = 3 ln(2) / 2 ≈ 1,040

c) ln(x) = 3 ⇒ x = e³ ≈ 20,09

d) ln(2x − 1) = 0 ⇒ 2x − 1 = e⁰ = 1 ⇒ x = 1 (vérification : 2×1−1 = 1 > 0 ✓)

e) 3e^x = 15 ⇒ e^x = 5 ⇒ x = ln(5) ≈ 1,609

Méthode générale — trouver un instant t dans un modèle
Pour trouver le temps t tel que f(t) = valeur cible :
1. Isoler l’exponentielle seule d’un côté
2. Passer au ln des deux membres
3. Utiliser ln(e^u) = u pour simplifier
4. Résoudre l’équation restante

Application

Un artisan menuisier sèche du bois selon \(H(t) = 35 \times e^{-0{,}08t}\). Au bout de combien de jours l'humidité est-elle inférieure à 10 % ?

6. Calculatrice interactive

Calculer e^x et ln(x)
Entrer une valeur de x puis cliquer sur « Calculer ».

Valeur de x :

7. Applications — Modèles professionnels

7.1 Application professionnelle — Loi de refroidissement de Newton

Contexte professionnel
Situation : Une pièce métallique sort d’un four à 80°C. Elle est posée dans un local à 20°C. Le refroidissement suit la loi de Newton avec k = 0,1 min⁻¹.

T(t) = 20 + 60 × e^−0,1t
où T est en °C et t en minutes (T₀ = 80°C, T_amb = 20°C, T₀ − T_amb = 60).

Question 1 — Calculer T après 10 minutes
T(10) = 20 + 60 × e^{−0,1 × 10}
= 20 + 60 × e⁻¹
= 20 + 60 × 0,3679…
= 20 + 22,07
≈ 42,1°C

Question 2 — Quand T = 40°C ?
On résout : 20 + 60 × e^−0,1t = 40
60 × e^−0,1t = 20
e^−0,1t = 20/60 = 1/3
−0,1t = ln(1/3) = −ln(3)
t = ln(3) / 0,1 = 10 × ln(3) ≈ 10 × 1,099
t ≈ 11,0 min

Graphique : T(t) = 20 + 60 × e^−0,1t

La température tend asymptotiquement vers 20°C (température ambiante).

Modèle général — Loi de Newton
T(t) = T_amb + (T₀ − T_amb) × e^−kt

• T_amb : température ambiante (valeur limite — asymptote horizontale)
• T₀ : température initiale (en t = 0)
• k > 0 : constante de refroidissement du système
• Plus k est grand, plus le refroidissement est rapide.

7.2 ERA/TMA — Séchage du bois

Contexte professionnel ERA / TMA
Situation : Une planche de bois vient d’être débitée. Sa teneur en humidité initiale est 25 %. Elle sèche naturellement selon le modèle :

H(t) = 25 × e^−0,08t
où H est la teneur en humidité en % et t en heures.

Norme bois de menuiserie : H < 12 % requis pour les travaux intérieurs.

Quand atteint-on H < 12 % ?
On résout : 25 × e^−0,08t = 12
e^−0,08t = 12/25 = 0,48
−0,08t = ln(0,48)
t = −ln(0,48) / 0,08
ln(0,48) ≈ −0,7340
t = 0,7340 / 0,08
t ≈ 9,2 heures

Il faut attendre un peu plus de 9 heures pour que le bois soit conforme à la norme menuiserie.

Graphique : H(t) = 25 × e^−0,08t

La droite rouge tiretée indique le seuil normatif de 12 %.

8. Tableau récapitulatif

Notion	e^x	ln(x)
Domaine	ℝ	]0 ; +∞[
Valeurs notables	e⁰=1 ; e¹=e	ln(1)=0 ; ln(e)=1
Dérivée	(e^x)′ = e^x	(ln x)′ = 1/x
Dérivée (composée)	(e^u)′ = u′ × e^u	(ln u)′ = u′/u
Primitive de base	∫ e^x dx = e^x + C	∫ (1/x) dx = ln\|x\| + C
Variations	Strictement croissante sur ℝ	Strictement croissante sur ]0 ;+∞[
Limite en −∞ (ou 0⁺)	lim = 0⁺	lim = −∞
Limite en +∞	lim = +∞	lim = +∞
Propriété clé	e^a+b = e^a×e^b	ln(ab) = ln a + ln b
Réciprocité	ln(e^x) = x	e^ln(x) = x

9. À retenir

L’essentiel du chapitre :

e ≈ 2,718 est la base naturelle ; c’est une constante comme π.
e^x : unique fonction égale à sa dérivée — (e^x)′ = e^x ; toujours positive, toujours croissante.
ln(x) = exposant de e pour obtenir x ; ln est l’inverse de l’exponentielle.
Propriétés : ln(ab) = ln a + ln b ; ln(a/b) = ln a − ln b ; ln(aⁿ) = n ln a.
Résolution : e^x = a ⇒ x = ln(a) ; ln(x) = b ⇒ x = e^b.
Modèles : T(t) = T_amb + (T₀−T_amb)e^−kt (Newton) ; H(t) = H₀e^−kt (séchage).

10. Exercices corrigés

Exercice 1 — Simplifier sans calculatrice
Simplifier les expressions suivantes :
a) ln(e⁵) b) e^ln(7) c) ln(e³ × e²) d) ln(e / e³)

Voir la correction

a) ln(e⁵) = 5 (ln et exp se simplifient)
b) e^ln(7) = 7 (exp et ln se simplifient)
c) ln(e³ × e²) = ln(e⁵) = 5 (ou : ln e³ + ln e² = 3+2 = 5)
d) ln(e / e³) = ln(e¹⁻³) = ln(e⁻²) = −2

Exercice 2 — Résoudre des équations
Résoudre dans ℝ ou dans ]0 ; +∞[ :
a) e^x = 12 b) 2e^3x − 8 = 0 c) ln(x) = −2 d) ln(x + 3) = 1

Voir la correction

a) e^x = 12 ⇒ x = ln(12) ≈ 2,485

b) 2e^3x = 8 ⇒ e^3x = 4 ⇒ 3x = ln(4) ⇒ x = ln(4)/3 ≈ 0,462

c) ln(x) = −2 ⇒ x = e⁻² ≈ 0,135

d) ln(x+3) = 1 ⇒ x+3 = e¹ = e ⇒ x = e − 3 ≈ −0,282
Vérification : x+3 = e > 0 ✓

Exercice 3 — Calcul de dérivées
Calculer la dérivée de chaque fonction :
a) f(x) = e^4x−1 b) g(x) = ln(x² + 3) c) h(x) = 3e^−2x + ln(5x)

Voir la correction

a) u = 4x−1, u′ = 4 ⇒ f′(x) = 4e^4x−1

b) u = x²+3, u′ = 2x ⇒ g′(x) = 2x / (x²+3)

c) Pour 3e^−2x : dérivée = −6e^−2x
Pour ln(5x) : u = 5x, u′ = 5 ⇒ dérivée = 5/(5x) = 1/x
Donc h′(x) = −6e^−2x + 1/x

Exercice 4 — Problème professionnel (installation thermique)
Un local technique est à 60°C. L’extérieur est à 10°C. Constante k = 0,05 min⁻¹.
Modèle : T(t) = 10 + 50 × e^−0,05t
a) Calculer T(20). b) Au bout de combien de minutes T < 25°C ?

Voir la correction

a) T(20) = 10 + 50 × e^{−0,05 × 20} = 10 + 50 × e⁻¹ ≈ 10 + 50 × 0,3679 = 10 + 18,4 ≈ 28,4°C

b) Résoudre 10 + 50 × e^−0,05t = 25 :
50 × e^−0,05t = 15
e^−0,05t = 15/50 = 0,3
−0,05t = ln(0,3)
t = −ln(0,3) / 0,05 ≈ 1,2040 / 0,05 ≈ 24,1 min
Après environ 24 minutes, la température passe sous 25°C.

Terminale Bac Pro • Mathématiques • Ch09 — Fonctions ln et e^x

Erreurs fréquentes

❌

Appliquer \(\ln\) à un nombre négatif ou nul
\(\ln(x)\) n'est défini que pour \(x > 0\).
Conseil : avant d'appliquer \(\ln\), vérifier que l'expression est strictement positive.

❌

Confondre \(\ln(a+b)\) et \(\ln(a) + \ln(b)\)
\(\ln(a+b) \neq \ln(a) + \ln(b)\). La propriété s'applique au produit.
Conseil : \(\ln(a \times b) = \ln(a) + \ln(b)\) — mémoriser avec la multiplication.

❌

Oublier d'inverser l'inégalité
Si on divise par un nombre négatif dans une inéquation, le sens change.
Conseil : vérifier le signe du coefficient lors de chaque division dans une inéquation.

❌

Confondre \(e^x\) et \(xe\)
\(e^2 \neq 2e\). \(e^2\) est la base \(e\) élevée à la puissance 2 ≈ 7,389.
Conseil : utiliser les règles de puissance — \(e^x\) se comporte comme \(a^x\) avec \(a = e \approx 2{,}718\).

Simulation interactive

Fonctions exponentielles et logarithme

Situation professionnelle — Séchage du bois et refroidissement

1. Le nombre e

2. La fonction exponentielle ex

2.1 Définition et propriétés algébriques

2.2 Dérivée de la fonction exponentielle

2.3 Variations, tableau et limites

3. La fonction logarithme népérien ln

3.1 Définition

3.2 Propriétés algébriques

3.3 Dérivée du logarithme népérien

3.4 Variations, tableau et limites

4. Lien entre ex et ln — Fonctions réciproques

5. Résolution d’équations

6. Calculatrice interactive

7. Applications — Modèles professionnels

7.1 Application professionnelle — Loi de refroidissement de Newton

7.2 ERA/TMA — Séchage du bois

8. Tableau récapitulatif

9. À retenir

10. Exercices corrigés

Erreurs fréquentes

Simulation interactive

2. La fonction exponentielle e^x

4. Lien entre e^x et ln — Fonctions réciproques