← RETOUR SOMMAIRE

Exercices – Chapitre 9

Fonctions ln et exponentielle  |  Terminale Bac Pro  |  ERA · TMA · ICCER (Grpt 1)

Dernière mise à jour : 11 mars 2026

Compétences travaillées :
Exercice 1 Simplifier des expressions avec e et ln Socle

Simplifier chaque expression :

a) \(\text{e}^{\ln 3}\)
b) \(\ln(\text{e}^5)\)
c) \(\text{e}^0\)
d) \(\ln(1)\)
e) \(\text{e}^{\ln 1}\)
f) \(\ln(\text{e})\)
Réponses : ………………………………………………………………

a) \(\text{e}^{\ln 3} = 3\) car \(\text{e}^{\ln a} = a\) pour tout \(a > 0\).

b) \(\ln(\text{e}^5) = 5\) car \(\ln(\text{e}^x) = x\) pour tout \(x\).

c) \(\text{e}^0 = 1\) — tout nombre élevé à la puissance 0 vaut 1.

d) \(\ln(1) = 0\) car \(\text{e}^0 = 1\).

e) \(\text{e}^{\ln 1} = \text{e}^0 = 1\).

f) \(\ln(\text{e}) = 1\) car \(\text{e}^1 = \text{e}\).

Exercice 2 Passer de la forme exponentielle à la forme logarithmique Socle

Réécrire chaque égalité sous l'autre forme (exponentielle ↔ logarithmique) :

a) \(\text{e}^x = 7\) → écrire sous forme logarithmique.
b) \(\ln(x) = 4\) → écrire sous forme exponentielle.
c) \(\text{e}^{2} = a\) → écrire sous forme logarithmique.
d) \(\ln(10) = b\) → écrire sous forme exponentielle.
Réponses : ………………………………………………………………

a) \(\text{e}^x = 7\) ⟺ \(x = \ln(7)\)

b) \(\ln(x) = 4\) ⟺ \(x = \text{e}^4\)

c) \(\text{e}^{2} = a\) ⟺ \(\ln(a) = 2\)

d) \(\ln(10) = b\) ⟺ \(\text{e}^b = 10\)

Exercice 3 Propriétés du logarithme népérien Socle

Utiliser les propriétés de \(\ln\) pour simplifier les expressions suivantes :

a) \(\ln(2) + \ln(5)\)
b) \(\ln(12) - \ln(3)\)
c) \(3\ln(2)\)
d) \(\ln(2) + \ln(3) + \ln(7)\)
⚠️ Rappels : \(\ln(a \times b) = \ln(a) + \ln(b)\)  |  \(\ln\!\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)\)  |  \(\ln(a^n) = n\ln(a)\)
Réponses : ………………………………………………………………

a) \(\ln(2) + \ln(5) = \ln(2 \times 5) =\) \(\ln(10)\)

b) \(\ln(12) - \ln(3) = \ln\!\left(\dfrac{12}{3}\right) =\) \(\ln(4)\)

c) \(3\ln(2) = \ln(2^3) =\) \(\ln(8)\)

d) \(\ln(2) + \ln(3) + \ln(7) = \ln(2 \times 3 \times 7) =\) \(\ln(42)\)

Exercice 4 Calculer des valeurs de exp et ln — pas à pas Socle
Méthode Touches de la calculatrice :
• Pour calculer \(\text{e}^x\) : taper la valeur de \(x\), puis appuyer sur la touche ex (ou 2nde + ln).
• Pour calculer \(\ln(x)\) : taper la valeur de \(x\), puis appuyer sur la touche ln.
• Rappel : \(\text{e}^{\ln a} = a\) et \(\ln(\text{e}^x) = x\).
1. Compléter le tableau à la calculatrice (arrondir au centième) :
\(x\)012−10,5
\(\text{e}^x\)\(\boxed{\phantom{1,00}}\)\(\boxed{\phantom{2,72}}\)\(\boxed{\phantom{7,39}}\)\(\boxed{\phantom{0,37}}\)\(\boxed{\phantom{1,65}}\)
2. Compléter le tableau à la calculatrice (arrondir au centième) :
\(x\)12100,5100
\(\ln(x)\)\(\boxed{\phantom{0,00}}\)\(\boxed{\phantom{0,69}}\)\(\boxed{\phantom{2,30}}\)\(\boxed{\phantom{-0,69}}\)\(\boxed{\phantom{4,61}}\)
3. QCM — Cocher la bonne réponse :
\(\text{e}^0 = \)   ☐ 0   ☐ 1   ☐ \(\text{e}\)
\(\ln(1) = \)   ☐ 0   ☐ 1   ☐ \(\text{e}\)
\(\text{e}^{\ln 5} = \)   ☐ \(\ln 5\)   ☐ 5   ☐ \(\text{e}^5\)
\(\ln(\text{e}^3) = \)   ☐ \(\text{e}^3\)   ☐ 3   ☐ \(\ln 3\)

1. \(\text{e}^0 = 1{,}00\) ; \(\text{e}^1 \approx 2{,}72\) ; \(\text{e}^2 \approx 7{,}39\) ; \(\text{e}^{-1} \approx 0{,}37\) ; \(\text{e}^{0{,}5} \approx 1{,}65\).

2. \(\ln(1) = 0{,}00\) ; \(\ln(2) \approx 0{,}69\) ; \(\ln(10) \approx 2{,}30\) ; \(\ln(0{,}5) \approx -0{,}69\) ; \(\ln(100) \approx 4{,}61\).

3. QCM : \(\text{e}^0 = 1\)   \(\ln(1) = 0\)   \(\text{e}^{\ln 5} = 5\)   \(\ln(\text{e}^3) = 3\).

Exercice 5 Résoudre des équations exponentielles — pas à pas Socle
Méthode Résoudre \(\text{e}^x = k\) :
• Si \(k > 0\) : on applique \(\ln\) des deux côtés → \(x = \ln(k)\).
• Si \(k \leq 0\) : pas de solution car \(\text{e}^x > 0\) toujours.
• Puis on calcule \(\ln(k)\) à la calculatrice.
1. Résoudre \(\text{e}^x = 4\). Compléter :

On applique \(\ln\) des deux côtés :
\(\ln(\text{e}^x) = \ln(4)\)
\(x = \ln(4)\)
À la calculatrice : \(x \approx \boxed{\phantom{1,39}}\)

2. Résoudre \(\text{e}^x = 10\). Compléter :

\(x = \ln(\boxed{\phantom{10}})\)
À la calculatrice : \(x \approx \boxed{\phantom{2,30}}\)

3. Résoudre \(5\text{e}^x = 15\). Compléter :

On isole d'abord \(\text{e}^x\) : \(\text{e}^x = \dfrac{15}{5} = \boxed{\phantom{3}}\)
Puis : \(x = \ln(\boxed{\phantom{3}}) \approx \boxed{\phantom{1,10}}\)

4. L'équation \(\text{e}^x = -2\) a-t-elle une solution ? Justifier.

1. \(x = \ln(4) \approx\) \(1{,}39\).

2. \(x = \ln(10) \approx\) \(2{,}30\).

3. \(\text{e}^x = 3\), donc \(x = \ln(3) \approx\) \(1{,}10\).

4. Pas de solution car \(\text{e}^x > 0\) pour tout \(x\), donc \(\text{e}^x\) ne peut jamais valoir \(-2\).

Exercice 6 Refroidissement d'un atelier — problème guidé Socle
Contexte : Un technicien chauffagiste coupe le chauffage d'un atelier pour une intervention. La température de l'atelier (en °C) est modélisée par :
\(T(t) = 15 + 10\,\text{e}^{-0{,}1\,t}\)

où \(t\) est le temps en minutes après l'arrêt du chauffage.

Méthode Lire une fonction exponentielle \(T(t) = a + b\,\text{e}^{-kt}\) :
• Température initiale : remplacer \(t\) par 0, on obtient \(T(0) = a + b\).
• Température limite (quand \(t \to +\infty\)) : \(\text{e}^{-kt} \to 0\), donc \(T \to a\).
1. Calculer la température initiale. Compléter :

\(T(0) = 15 + 10 \times \text{e}^{0} = 15 + 10 \times \boxed{\phantom{1}} = \boxed{\phantom{25}}\) °C

2. Vers quelle température l'atelier va-t-il tendre ? Compléter :

Quand \(t \to +\infty\), \(\text{e}^{-0{,}1t} \to \boxed{\phantom{0}}\), donc \(T \to 15 + 10 \times 0 = \boxed{\phantom{15}}\) °C

3. Calculer la température après 10 minutes. Compléter :

\(T(10) = 15 + 10 \times \text{e}^{-0{,}1 \times 10} = 15 + 10 \times \text{e}^{-1}\)
À la calculatrice : \(\text{e}^{-1} \approx \boxed{\phantom{0,368}}\)
\(T(10) \approx 15 + 10 \times 0{,}368 = \boxed{\phantom{18,7}}\) °C

4. Le technicien veut que la température soit à 18 °C. Résoudre \(T(t) = 18\). Compléter :

\(15 + 10\,\text{e}^{-0{,}1t} = 18\)
\(10\,\text{e}^{-0{,}1t} = 18 - 15 = \boxed{\phantom{3}}\)
\(\text{e}^{-0{,}1t} = \dfrac{3}{10} = \boxed{\phantom{0,3}}\)
\(-0{,}1t = \ln(0{,}3) \approx \boxed{\phantom{-1,204}}\)
\(t = \dfrac{-\ln(0{,}3)}{0{,}1} \approx \boxed{\phantom{12,0}}\) minutes

1. \(T(0) = 15 + 10 \times 1 =\) 25 °C.

2. L'atelier tend vers 15 °C (température extérieure).

3. \(T(10) = 15 + 10 \times \text{e}^{-1} \approx 15 + 3{,}68 =\) 18,7 °C.

4. \(10\,\text{e}^{-0{,}1t} = 3\) → \(\text{e}^{-0{,}1t} = 0{,}3\) → \(-0{,}1t = \ln(0{,}3) \approx -1{,}204\) → \(t \approx 12{,}0\) minutes.

Exercice 7 Simplifier des expressions avec les propriétés de exp (guidé) Socle
Rappel Propriétés : \(\text{e}^{a+b} = \text{e}^a \times \text{e}^b\) | \(\text{e}^{a-b} = \dfrac{\text{e}^a}{\text{e}^b}\) | \(\text{e}^0 = 1\) | \(\text{e}^{-a} = \dfrac{1}{\text{e}^a}\)
Simplifier chaque expression :

a) \(\text{e}^2 \times \text{e}^3\)
On additionne les exposants : \(\text{e}^2 \times \text{e}^3 = \text{e}^{2+\boxed{\phantom{3}}} = \text{e}^{\boxed{\phantom{5}}}\)

b) \(\dfrac{\text{e}^7}{\text{e}^4}\)
On soustrait les exposants : \(\dfrac{\text{e}^7}{\text{e}^4} = \text{e}^{7-\boxed{\phantom{4}}} = \text{e}^{\boxed{\phantom{3}}}\)

c) \((\text{e}^2)^3\)
On multiplie les exposants : \((\text{e}^2)^3 = \text{e}^{2 \times \boxed{\phantom{3}}} = \text{e}^{\boxed{\phantom{6}}}\)

d) \(\text{e}^5 \times \text{e}^{-2}\)
\(\text{e}^5 \times \text{e}^{-2} = \text{e}^{5+(-2)} = \text{e}^{\boxed{\phantom{3}}}\)

a) \(\text{e}^5\)

b) \(\text{e}^3\)

c) \(\text{e}^6\)

d) \(\text{e}^3\)

Exercice 8 Résoudre des équations logarithmiques (guidé) Socle
Méthode Résoudre \(\ln(x) = k\) : On applique l'exponentielle des deux membres → \(x = \text{e}^k\).
Rappel : \(\ln\) et \(\text{e}^{\cdot}\) sont des fonctions réciproques : \(\ln(\text{e}^k) = k\) et \(\text{e}^{\ln x} = x\).
1. Résoudre \(\ln(x) = 2\). Compléter :

On applique l'exponentielle : \(\text{e}^{\ln(x)} = \text{e}^2\)
Donc \(x = \text{e}^{\boxed{\phantom{2}}} \approx \boxed{\phantom{7{,}39}}\)

2. Résoudre \(\ln(x) = 0\). Compléter :

\(x = \text{e}^{\boxed{\phantom{0}}} = \boxed{\phantom{1}}\)

3. Résoudre \(\ln(x) = -1\). Compléter :

\(x = \text{e}^{-1} = \dfrac{1}{\text{e}} \approx \boxed{\phantom{0{,}37}}\)

4. L'équation \(\ln(x) = 5\) a-t-elle une solution ? Calculer cette solution (à 2 décimales près).

1. \(x = \text{e}^2 \approx 7{,}39\)

2. \(x = \text{e}^0 = 1\)

3. \(x = \text{e}^{-1} \approx 0{,}37\)

4. Oui, car \(\ln\) est définie sur \(]0\,;\,+\infty[\). \(x = \text{e}^5 \approx 148{,}41\)

Exercice 9 Lire une courbe exponentielle — croissance et décroissance Socle
Contexte : Un plombier chauffagiste chauffe un ballon d'eau chaude. La température (en °C) monte selon le modèle \(T(t) = 60 - 40\,\text{e}^{-0{,}2t}\) où \(t\) est en minutes.
Lecture du modèle \(T(t) = a - b\,\text{e}^{-kt}\) Température initiale (\(t = 0\)) : \(T(0) = a - b\).
Température limite (\(t \to +\infty\)) : \(T \to a\).
1. Calculer la température initiale de l'eau.

\(T(0) = 60 - 40 \times \text{e}^0 = 60 - 40 \times \boxed{\phantom{1}} = \boxed{\phantom{20}}\) °C

2. Vers quelle température tend l'eau quand \(t \to +\infty\) ?

\(\text{e}^{-0{,}2t} \to \boxed{\phantom{0}}\) quand \(t \to +\infty\), donc \(T \to \boxed{\phantom{60}}\) °C

3. Calculer \(T(5)\) et \(T(10)\).
4. La douche peut être utilisée à partir de 50 °C. Résoudre \(T(t) = 50\).

\(60 - 40\,\text{e}^{-0{,}2t} = 50\)
\(40\,\text{e}^{-0{,}2t} = 60 - 50 = \boxed{\phantom{10}}\)
\(\text{e}^{-0{,}2t} = \dfrac{10}{40} = \boxed{\phantom{0{,}25}}\)
\(-0{,}2t = \ln(0{,}25) \approx \boxed{\phantom{-1{,}386}}\)
\(t \approx \dfrac{1{,}386}{0{,}2} = \boxed{\phantom{6{,}93}}\) min

1. \(T(0) = 20\) °C

2. L'eau tend vers 60 °C (température du ballon réglé).

3. \(T(5) = 60 - 40\,\text{e}^{-1} \approx 60 - 14{,}7 \approx\) \(45{,}3\) °C. \(T(10) = 60 - 40\,\text{e}^{-2} \approx 60 - 5{,}4 \approx\) \(54{,}6\) °C.

4. \(t \approx 6{,}93\) minutes. L'eau est utilisable après environ 7 minutes.

Exercice 10 Identifier les valeurs remarquables de ln et exp (guidé) Socle
Rappel Valeurs importantes : \(\text{e}^0 = 1\) | \(\text{e}^1 = \text{e} \approx 2{,}718\) | \(\ln(1) = 0\) | \(\ln(\text{e}) = 1\) | \(\text{e}^{\ln a} = a\) | \(\ln(\text{e}^k) = k\)
Sans calculatrice, compléter :

a) \(\text{e}^{\ln 7} = \boxed{\phantom{7}}\)
b) \(\ln(\text{e}^{10}) = \boxed{\phantom{10}}\)
c) \(\ln(\text{e}^{-3}) = \boxed{\phantom{-3}}\)
d) \(\text{e}^{\ln(0{,}5)} = \boxed{\phantom{0{,}5}}\)
e) \(\ln(1) + \text{e}^0 = \boxed{\phantom{0}} + \boxed{\phantom{1}} = \boxed{\phantom{1}}\)
f) Si \(\text{e}^x = \text{e}^4\), alors \(x = \boxed{\phantom{4}}\)
g) Si \(\ln(x) = \ln(5)\), alors \(x = \boxed{\phantom{5}}\)

a) 7

b) 10

c) −3

d) 0,5

e) \(\ln(1) = 0\) et \(\text{e}^0 = 1\), donc la somme = 1

f) La fonction \(\text{e}^x\) est injective (strictement croissante), donc \(x = 4\)

g) La fonction \(\ln\) est injective, donc \(x = 5\)

Exercice 7 Résoudre des équations avec l'exponentielle Standard

Résoudre chaque équation. On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à \(10^{-2}\) près.

a) \(\text{e}^x = 5\)
b) \(\text{e}^x = 0{,}3\)
c) \(\text{e}^{2x} = 12\)
d) \(3\text{e}^x = 21\)
Réponses : ………………………………………………………………

a) \(\text{e}^x = 5\) ⟹ \(x = \ln(5) \approx 1{,}61\)

b) \(\text{e}^x = 0{,}3\) ⟹ \(x = \ln(0{,}3) \approx -1{,}20\)

c) \(\text{e}^{2x} = 12\) ⟹ \(2x = \ln(12)\) ⟹ \(x = \dfrac{\ln(12)}{2} \approx 1{,}24\)

d) \(3\text{e}^x = 21\) ⟹ \(\text{e}^x = 7\) ⟹ \(x = \ln(7) \approx 1{,}95\)

Exercice 8 Résoudre des équations avec le logarithme Standard

Résoudre chaque équation. On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à \(10^{-2}\) près.

a) \(\ln(x) = 3\)
b) \(\ln(x) = -1\)
c) \(\ln(2x) = 4\)
d) \(\ln(x) + \ln(5) = \ln(20)\)
Réponses : ………………………………………………………………

a) \(\ln(x) = 3\) ⟹ \(x = \text{e}^3 \approx 20{,}09\)

b) \(\ln(x) = -1\) ⟹ \(x = \text{e}^{-1} \approx 0{,}37\)

c) \(\ln(2x) = 4\) ⟹ \(2x = \text{e}^4\) ⟹ \(x = \dfrac{\text{e}^4}{2} \approx 27{,}30\)

d) \(\ln(x) + \ln(5) = \ln(20)\) ⟹ \(\ln(5x) = \ln(20)\) ⟹ \(5x = 20\) ⟹ \(x = 4\)

Exercice 9 Dérivées de fonctions exponentielles et logarithmes Standard

Calculer la dérivée de chaque fonction :

a) \(f(x) = \text{e}^x\)
b) \(g(x) = \ln(x)\)
c) \(h(x) = 5\text{e}^x + 3\)
d) \(k(x) = 2\ln(x) - x\)
⚠️ Rappels : \(\left(\text{e}^x\right)' = \text{e}^x\)  |  \(\left(\ln(x)\right)' = \dfrac{1}{x}\) pour \(x > 0\)
Réponses : ………………………………………………………………

a) \(f'(x) = \text{e}^x\) — la fonction exponentielle est sa propre dérivée.

b) \(g'(x) = \dfrac{1}{x}\) pour \(x > 0\).

c) \(h'(x) = 5\text{e}^x\) — la dérivée d'une constante est 0.

d) \(k'(x) = \dfrac{2}{x} - 1\) pour \(x > 0\).

Exercice 11 Propriétés du logarithme — développer et factoriser Standard

Utiliser les propriétés de \(\ln\) pour transformer chaque expression :

a) Développer \(\ln\left(\dfrac{x^3}{y^2}\right)\)
b) Factoriser \(\ln(4) + 2\ln(3)\)
c) Simplifier \(\ln(\text{e}^{2x+1})\)
d) Exprimer \(\ln(\sqrt{x})\) sous forme d'un multiple de \(\ln(x)\)

a) \(\ln\left(\dfrac{x^3}{y^2}\right) = \ln(x^3) - \ln(y^2) =\) \(3\ln(x) - 2\ln(y)\)

b) \(\ln(4) + 2\ln(3) = \ln(4) + \ln(9) = \ln(4 \times 9) =\) \(\ln(36)\)

c) \(\ln(\text{e}^{2x+1}) = 2x + 1\)

d) \(\ln(\sqrt{x}) = \ln(x^{1/2}) =\) \(\dfrac{1}{2}\ln(x)\)

Exercice 12 Étudier les variations de f(x) = e^(-x) + x Standard

On considère la fonction \(f(x) = \text{e}^{-x} + x\) définie sur \(\mathbb{R}\).

1. Calculer \(f'(x)\).
2. Résoudre \(f'(x) = 0\) (chercher \(x\) tel que \(\text{e}^{-x} = 1\)).
3. Dresser le tableau de variations de \(f\) sur \([-2\,;\,4]\).
4. Calculer le minimum de \(f\).

1. \(f'(x) = -\text{e}^{-x} + 1\)

2. \(f'(x) = 0\) ⟹ \(\text{e}^{-x} = 1 = \text{e}^0\) ⟹ \(x = 0\)

3.
Pour \(x < 0\) : \(\text{e}^{-x} > 1\) donc \(f'(x) < 0\) → \(f\) décroissante.
Pour \(x > 0\) : \(\text{e}^{-x} < 1\) donc \(f'(x) > 0\) → \(f\) croissante.

\(x\)−204
\(f'(x)\)−0+
\(f(x)\)\(\approx 7{,}39\)↘1↗\(\approx 4{,}02\)

4. Minimum = \(f(0) = \text{e}^0 + 0 = 1\)

Exercice 13 Résoudre des équations mêlant exp et ln Standard
Résoudre chaque équation (donner la valeur exacte puis approchée à \(10^{-2}\)) :
a) \(\text{e}^{2x} - 5\text{e}^x + 6 = 0\)
Indication : poser \(X = \text{e}^x\) et résoudre l'équation du second degré en \(X\).
b) \(\ln(x) + \ln(x-1) = \ln(6)\)
Indication : utiliser \(\ln a + \ln b = \ln(ab)\).
c) \(\text{e}^x = \text{e}^{2-x}\)

a) Posons \(X = \text{e}^x\) : \(X^2 - 5X + 6 = 0\) → \((X-2)(X-3) = 0\) → \(X = 2\) ou \(X = 3\)
\(\text{e}^x = 2\) → \(x = \ln 2 \approx 0{,}69\) ou \(\text{e}^x = 3\) → \(x = \ln 3 \approx 1{,}10\)

b) \(\ln(x(x-1)) = \ln(6)\) → \(x^2 - x = 6\) → \(x^2 - x - 6 = 0\) → \((x-3)(x+2) = 0\)
\(x = 3\) (valide car \(x > 1\)) ou \(x = -2\) (invalide car \(\ln(x)\) non défini pour \(x < 0\))
\(x = 3\)

c) \(\text{e}^x = \text{e}^{2-x}\) ⟹ \(x = 2 - x\) ⟹ \(2x = 2\) ⟹ \(x = 1\)

Exercice 14 Dériver des fonctions exponentielles composées — contexte professionnel Standard
Contexte : Un technicien de maintenance énergétique modélise l'efficacité d'un isolant en fonction de son épaisseur. La résistance thermique suit une loi exponentielle, et il doit calculer la dérivée pour trouver l'épaisseur optimale.
Calculer la dérivée de chaque fonction :
a) \(f(x) = \text{e}^{3x-2}\)
b) \(g(x) = 3\text{e}^{-0{,}5x} + 2x\)
c) \(h(x) = x^2\,\text{e}^x\)
d) \(k(x) = \ln(x^2 + 4)\)

a) \(u = 3x-2\), \(u' = 3\). \(f'(x) = 3\text{e}^{3x-2}\)

b) \(g'(x) = -1{,}5\text{e}^{-0{,}5x} + 2\)

c) Produit : \((x^2)' \cdot \text{e}^x + x^2 \cdot (\text{e}^x)' = 2x\text{e}^x + x^2\text{e}^x\). \(h'(x) = \text{e}^x(2x + x^2) = x\text{e}^x(x+2)\)

d) \(u = x^2 + 4\), \(u' = 2x\). \(k'(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 4}\)

Exercice 15 Croissance de la population bactérienne Standard
Contexte : Un technicien en traitement de l'eau surveille la prolifération d'une bactérie dans un circuit de chauffage. Le nombre de bactéries (en milliers) est modélisé par \(N(t) = 2\,\text{e}^{0{,}3t}\) où \(t\) est le temps en heures.
1. Quelle est la population initiale ?
2. Calculer \(N(5)\) et \(N(10)\). La croissance s'accélère-t-elle ?
3. Le traitement doit être déclenché quand \(N(t) \geq 50\) (milliers). Résoudre cette inéquation.
4. Calculer \(N'(t)\). Interpréter : la population augmente-t-elle plus vite au début ou après plusieurs heures ?

1. \(N(0) = 2\,000\) bactéries

2. \(N(5) = 2\text{e}^{1{,}5} \approx 2 \times 4{,}48 \approx\) \(8{,}96\) milliers.
\(N(10) = 2\text{e}^{3} \approx 2 \times 20{,}09 \approx\) \(40{,}17\) milliers.
La population plus que quadruple entre \(t=5\) et \(t=10\) → la croissance s'accélère.

3. \(2\text{e}^{0{,}3t} \geq 50\) → \(\text{e}^{0{,}3t} \geq 25\) → \(0{,}3t \geq \ln(25)\) → \(t \geq \dfrac{\ln 25}{0{,}3} \approx 10{,}73\) heures

4. \(N'(t) = 0{,}6\,\text{e}^{0{,}3t}\) → \(N'(t)\) augmente avec \(t\) : la population s'accroît de plus en plus vite (croissance exponentielle).

Exercice 16 Comparaison exp et ln — étude graphique Standard

On considère les fonctions \(f(x) = \text{e}^x\) et \(g(x) = \ln(x)\) pour \(x > 0\).

1. Rappeler la dérivée de \(f\) et de \(g\).
2. Expliquer pourquoi les courbes de \(f\) et \(g\) sont symétriques par rapport à la droite \(y = x\).
3. Résoudre \(\text{e}^x = x^2\) numériquement en complétant le tableau :
\(x\)−0,7−0,5−0,31,11,3
\(\text{e}^x\)
\(x^2\)
À quel(s) endroit(s) les courbes se croisent-elles approximativement ?
4. Pour \(x > 0\), laquelle des deux fonctions \(\text{e}^x\) ou \(\ln(x)\) croît plus vite ? Justifier en comparant les dérivées.

1. \(f'(x) = \text{e}^x\) et \(g'(x) = \dfrac{1}{x}\)

2. \(g = f^{-1}\) (fonctions réciproques). Deux fonctions réciproques ont des courbes symétriques par rapport à la droite \(y = x\).

3.

\(x\)−0,7−0,5−0,31,11,3
\(\text{e}^x\)0,4970,6070,7413,0043,669
\(x^2\)0,490,250,091,211,69
Croisements : autour de \(x \approx -0{,}70\) (où \(\text{e}^x \approx x^2\)) et entre 1 et 2 (la première intersection visible est vers \(x \approx -0{,}70\)).

4. Pour \(x > 1\) : \(\text{e}^x > 1\) et \(\dfrac{1}{x} < 1\). La dérivée de \(\text{e}^x\) est bien plus grande. \(\text{e}^x\) croît beaucoup plus vite que \(\ln(x)\).

Exercice 17 Modèle de croissance logistique simplifié Standard
Contexte : Un ingénieur thermicien modélise l'évolution du taux d'adoption d'une nouvelle technologie de chauffage (pompes à chaleur) dans une région. La fonction \(P(t) = \dfrac{100}{1 + 9\,\text{e}^{-0{,}5t}}\) représente le pourcentage de foyers équipés (\(t\) en années).
1. Calculer \(P(0)\). Quel était le taux initial d'adoption ?
2. Calculer \(P(4)\) et \(P(10)\) (arrondir à 1 décimale).
3. Vers quel pourcentage tend \(P(t)\) quand \(t \to +\infty\) ? (Indice : que vaut \(\text{e}^{-0{,}5t}\) ?).
4. Résoudre \(P(t) = 50\) pour trouver la date à laquelle la moitié des foyers sera équipée.

1. \(P(0) = \dfrac{100}{1 + 9\,\text{e}^0} = \dfrac{100}{10} =\) \(10\,\%\) de foyers équipés au départ.

2. \(P(4) = \dfrac{100}{1 + 9\,\text{e}^{-2}} \approx \dfrac{100}{1 + 9 \times 0{,}1353} \approx \dfrac{100}{2{,}218} \approx\) \(45{,}1\,\%\)
\(P(10) = \dfrac{100}{1 + 9\,\text{e}^{-5}} \approx \dfrac{100}{1 + 9 \times 0{,}0067} \approx \dfrac{100}{1{,}060} \approx\) \(94{,}3\,\%\)

3. Quand \(t \to +\infty\), \(\text{e}^{-0{,}5t} \to 0\), donc \(P(t) \to \dfrac{100}{1} =\) \(100\,\%\) (saturation du marché).

4. \(P(t) = 50\) → \(\dfrac{100}{1 + 9\,\text{e}^{-0{,}5t}} = 50\) → \(1 + 9\,\text{e}^{-0{,}5t} = 2\) → \(9\,\text{e}^{-0{,}5t} = 1\) → \(\text{e}^{-0{,}5t} = \dfrac{1}{9}\)
\(-0{,}5t = \ln(1/9) = -\ln(9)\) → \(t = \dfrac{2\ln(9)}{1} = 2\ln(9) \approx 4{,}39\) années

Exercice 10 Dérivées de fonctions composées Approfondissement

Calculer la dérivée de chaque fonction :

a) \(f(x) = \text{e}^{2x+1}\)
b) \(g(x) = \text{e}^{-3x}\)
c) \(h(x) = \ln(3x)\) pour \(x > 0\)
d) \(k(x) = \ln(x^2 + 1)\)
⚠️ Formules : \(\left(\text{e}^{u(x)}\right)' = u'(x) \cdot \text{e}^{u(x)}\)  |  \(\left(\ln(u(x))\right)' = \dfrac{u'(x)}{u(x)}\)
Réponses : ………………………………………………………………

a) \(u(x) = 2x + 1\), \(u'(x) = 2\)
\(f'(x) = 2\text{e}^{2x+1}\)

b) \(u(x) = -3x\), \(u'(x) = -3\)
\(g'(x) = -3\text{e}^{-3x}\)

c) \(u(x) = 3x\), \(u'(x) = 3\)
\(h'(x) = \dfrac{3}{3x} =\) \(\dfrac{1}{x}\)

d) \(u(x) = x^2 + 1\), \(u'(x) = 2x\)
\(k'(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1}\)

Exercice 11 Étude de variations d'une fonction exponentielle Approfondissement

On considère la fonction \(f(x) = x\,\text{e}^{-x}\) définie sur \([0\,;\,+\infty[\).

1. Calculer \(f'(x)\). On montrera que \(f'(x) = (1 - x)\,\text{e}^{-x}\).
2. Étudier le signe de \(f'(x)\) sachant que \(\text{e}^{-x} > 0\) pour tout \(x\).
3. En déduire le tableau de variations de \(f\) sur \([0\,;\,5]\).
4. Quel est le maximum de \(f\) ? Pour quelle valeur de \(x\) est-il atteint ?

Courbe de \(f(x) = x\,\text{e}^{-x}\) sur \([0\,;\,5]\)

Réponses : ………………………………………………………………

1. \(f(x) = x \cdot \text{e}^{-x}\) — produit de \(u = x\) et \(v = \text{e}^{-x}\).
\(u' = 1\), \(v' = -\text{e}^{-x}\).
\(f'(x) = 1 \cdot \text{e}^{-x} + x \cdot (-\text{e}^{-x}) = \text{e}^{-x}(1 - x)\).
\(f'(x) = (1 - x)\,\text{e}^{-x}\) ✓

2. Comme \(\text{e}^{-x} > 0\), le signe de \(f'(x)\) dépend de \((1 - x)\) :
— Si \(x < 1\) : \(1 - x > 0\) donc \(f'(x) > 0\) → \(f\) croissante.
— Si \(x = 1\) : \(f'(x) = 0\).
— Si \(x > 1\) : \(1 - x < 0\) donc \(f'(x) < 0\) → \(f\) décroissante.

3. Tableau de variations :

\(x\)015
\(f'(x)\)+0−
\(f(x)\)0↗\(\text{e}^{-1}\)↘\(5\text{e}^{-5}\)

4. Le maximum est \(f(1) = 1 \times \text{e}^{-1} = \dfrac{1}{\text{e}} \approx 0{,}37\), atteint en \(x = 1\).

Exercice 12 Étude de variations d'une fonction logarithme Approfondissement

On considère la fonction \(g(x) = 2\ln(x) - x\) définie sur \(]0\,;\,+\infty[\).

1. Calculer \(g'(x)\).
2. Résoudre \(g'(x) = 0\).
3. Étudier le signe de \(g'(x)\) et dresser le tableau de variations de \(g\) sur \([0{,}5\,;\,6]\).
4. Calculer la valeur du maximum de \(g\).

Courbe de \(g(x) = 2\ln(x) - x\) sur \([0{,}5\,;\,6]\)

Réponses : ………………………………………………………………

1. \(g'(x) = \dfrac{2}{x} - 1\)

2. \(g'(x) = 0\) ⟹ \(\dfrac{2}{x} - 1 = 0\) ⟹ \(\dfrac{2}{x} = 1\) ⟹ \(x = 2\)

3. Pour \(x < 2\) : \(\dfrac{2}{x} > 1\) donc \(g'(x) > 0\) → \(g\) croissante.
Pour \(x > 2\) : \(\dfrac{2}{x} < 1\) donc \(g'(x) < 0\) → \(g\) décroissante.

\(x\)0,526
\(g'(x)\)+0−
\(g(x)\)\(\approx -1{,}89\)↗\(2\ln 2 - 2\)↘\(\approx -2{,}42\)

4. Le maximum est \(g(2) = 2\ln(2) - 2 \approx 2 \times 0{,}693 - 2 = -0{,}61\).

Exercice 13 Refroidissement d'un circuit de chauffage Approfondissement
Contexte : Un technicien chauffagiste contrôle le refroidissement d'un circuit de chauffage après l'arrêt de la chaudière. La loi de Newton modélise la température du fluide en fonction du temps.

La température \(T\) (en °C) du fluide caloporteur est modélisée par :

\(T(t) = 20 + 50\,\text{e}^{-0{,}04\,t}\)

où \(t\) est le temps en minutes après l'arrêt de la chaudière.

\(t\) (min)0102030456090
\(T(t)\) (°C)7053,544,938,031,627,422,8
1. Quelle est la température initiale du fluide ? Quelle est la température ambiante ?
2. Calculer \(T(15)\). Arrondir à \(0{,}1\) °C.
3. Le technicien doit intervenir sur le circuit quand la température atteint 30 °C. Résoudre \(T(t) = 30\) pour trouver le temps d'attente.
4. Calculer \(T'(t)\). La température descend-elle de plus en plus vite ou de plus en plus lentement ? Justifier.
5. Le graphique ci-dessous représente l'évolution de \(T(t)\). Vérifier graphiquement les résultats des questions 2 et 3.

Température du fluide T (°C) en fonction du temps t (min)

Réponses : ……………………………

1. Température initiale : \(T(0) = 20 + 50\,\text{e}^{0} = 20 + 50 =\) 70 °C.
Température ambiante : quand \(t \to +\infty\), \(\text{e}^{-0{,}04t} \to 0\), donc \(T \to\) 20 °C.

2. \(T(15) = 20 + 50\,\text{e}^{-0{,}04 \times 15} = 20 + 50\,\text{e}^{-0{,}6}\)
\(\text{e}^{-0{,}6} \approx 0{,}5488\)
\(T(15) = 20 + 50 \times 0{,}5488 =\) \(47{,}4\) °C

3. \(T(t) = 30\) ⟹ \(20 + 50\,\text{e}^{-0{,}04t} = 30\)
\(50\,\text{e}^{-0{,}04t} = 10\)
\(\text{e}^{-0{,}04t} = 0{,}2\)
\(-0{,}04t = \ln(0{,}2)\)
\(t = \dfrac{-\ln(0{,}2)}{0{,}04} = \dfrac{\ln(5)}{0{,}04} \approx \dfrac{1{,}6094}{0{,}04} \approx\) \(40{,}2\) minutes
Le technicien doit attendre environ 40 minutes.

4. \(T'(t) = 50 \times (-0{,}04) \times \text{e}^{-0{,}04t} =\) \(-2\,\text{e}^{-0{,}04t}\)
\(T'(t) < 0\) (la température descend) et \(|T'(t)| = 2\,\text{e}^{-0{,}04t}\) décroît quand \(t\) augmente.
La température descend de plus en plus lentement — c'est logique : plus elle se rapproche de la température ambiante, plus le refroidissement ralentit.

5. Vérification graphique : la courbe passe bien par \((15\,;\,47{,}4)\) et atteint 30 °C vers \(t = 40\) min.

Exercice 14 Séchage du bois en atelier Approfondissement
Contexte : Un menuisier agenceur surveille le séchage de panneaux de chêne dans un séchoir industriel. Le taux d'humidité diminue selon un modèle exponentiel.

Le taux d'humidité \(H\) (en %) du bois est modélisé par :

\(H(t) = 35\,\text{e}^{-0{,}05\,t}\)

où \(t\) est le temps en jours.

\(t\) (jours)051015203040
\(H(t)\) (%)35,027,321,216,512,97,84,7
1. Quel est le taux d'humidité initial du bois ?
2. Calculer le taux d'humidité après 12 jours. Arrondir à \(0{,}1\) %.
3. Le bois est utilisable en agencement lorsque son taux d'humidité atteint 12 %. Résoudre \(H(t) = 12\) pour déterminer le temps de séchage nécessaire.
4. Le menuisier veut atteindre 8 % pour un parquet haut de gamme. Combien de jours faut-il ?
5. Calculer \(H'(t)\) et interpréter son signe.

Taux d'humidité H (%) en fonction du temps t (jours)

Réponses : ……………………………

1. Humidité initiale : \(H(0) = 35\,\text{e}^{0} =\) 35 %.

2. \(H(12) = 35\,\text{e}^{-0{,}05 \times 12} = 35\,\text{e}^{-0{,}6}\)
\(\text{e}^{-0{,}6} \approx 0{,}5488\)
\(H(12) = 35 \times 0{,}5488 \approx\) \(19{,}2\) %

3. \(H(t) = 12\) ⟹ \(35\,\text{e}^{-0{,}05t} = 12\)
\(\text{e}^{-0{,}05t} = \dfrac{12}{35}\)
\(-0{,}05t = \ln\!\left(\dfrac{12}{35}\right)\)
\(t = \dfrac{-\ln(12/35)}{0{,}05} = \dfrac{\ln(35/12)}{0{,}05} \approx \dfrac{1{,}0706}{0{,}05} \approx\) \(21{,}4\) jours
Il faut environ 22 jours de séchage.

4. \(H(t) = 8\) ⟹ \(35\,\text{e}^{-0{,}05t} = 8\)
\(t = \dfrac{\ln(35/8)}{0{,}05} \approx \dfrac{1{,}4759}{0{,}05} \approx\) \(29{,}5\) jours
Il faut environ 30 jours pour atteindre 8 %.

5. \(H'(t) = 35 \times (-0{,}05) \times \text{e}^{-0{,}05t} =\) \(-1{,}75\,\text{e}^{-0{,}05t}\)
\(H'(t) < 0\) pour tout \(t\) : le taux d'humidité est toujours décroissant. Le séchage ralentit au fil du temps car \(|H'(t)|\) diminue.

Exercice 15 Rendement d'une pompe à chaleur Approfondissement
Contexte : Un installateur thermicien étudie le rendement d'une pompe à chaleur (PAC) en fonction de la température extérieure. Le COP (coefficient de performance) est modélisé par une fonction logarithmique.

Le COP de la PAC est modélisé par :

\(\text{COP}(T) = 1{,}2\,\ln(T + 15) + 0{,}5\)

où \(T\) est la température extérieure (en °C), pour \(T \geq -10\) °C.

\(T\) (°C)−10−505101520
COP2,43,33,74,14,44,64,8
1. Calculer le COP pour \(T = 7\) °C. Arrondir à \(0{,}1\).
2. Un COP de 3 signifie que pour 1 kWh d'électricité consommé, la PAC produit 3 kWh de chaleur. En dessous de quelle température le COP est-il inférieur à 3 ?
3. Calculer \(\text{COP}'(T)\). La PAC est-elle plus efficace quand il fait chaud ou quand il fait froid ?
4. Le gain de COP entre −5 °C et 0 °C est-il le même qu'entre 15 °C et 20 °C ? Justifier par le calcul.

COP de la PAC en fonction de la température extérieure T (°C)

Réponses : ……………………………

1. \(\text{COP}(7) = 1{,}2\,\ln(7 + 15) + 0{,}5 = 1{,}2\,\ln(22) + 0{,}5\)
\(\ln(22) \approx 3{,}0910\)
\(\text{COP}(7) \approx 1{,}2 \times 3{,}091 + 0{,}5 \approx\) \(4{,}2\)

2. \(\text{COP}(T) = 3\) ⟹ \(1{,}2\,\ln(T + 15) + 0{,}5 = 3\)
\(\ln(T + 15) = \dfrac{2{,}5}{1{,}2} \approx 2{,}0833\)
\(T + 15 = \text{e}^{2{,}0833} \approx 8{,}03\)
\(T \approx 8{,}03 - 15 =\) \(-7{,}0\) °C
Le COP est inférieur à 3 en dessous de −7 °C.

3. \(\text{COP}'(T) = 1{,}2 \times \dfrac{1}{T + 15} =\) \(\dfrac{1{,}2}{T + 15}\)
\(\text{COP}'(T) > 0\) : le COP est croissant — la PAC est plus efficace quand il fait chaud.

4. Gain entre −5 et 0 : \(\text{COP}(0) - \text{COP}(-5) = 3{,}7 - 3{,}3 =\) \(0{,}4\).
Gain entre 15 et 20 : \(\text{COP}(20) - \text{COP}(15) = 4{,}8 - 4{,}6 =\) \(0{,}2\).
Le gain est plus important à basse température. C'est normal : la fonction \(\ln\) croît de plus en plus lentement. Chaque degré gagné a plus d'impact quand il fait froid.

Exercice 18 Étude complète d'une fonction exponentielle Approfondissement

On considère la fonction \(f(x) = (x - 1)\,\text{e}^x\) définie sur \(\mathbb{R}\).

1. Calculer \(f'(x)\) (produit de deux fonctions).
2. Résoudre \(f'(x) = 0\).
3. Dresser le tableau de variations de \(f\) sur \([-3\,;\,3]\).
4. Calculer le minimum de \(f\).
5. Déterminer les intervalles sur lesquels \(f(x) > 0\).

1. \(f(x) = (x-1) \cdot \text{e}^x\). Avec \(u = x-1\), \(u' = 1\), \(v = \text{e}^x\), \(v' = \text{e}^x\) :
\(f'(x) = 1 \cdot \text{e}^x + (x-1) \cdot \text{e}^x = \text{e}^x(1 + x - 1) = x\,\text{e}^x\)

2. \(x\,\text{e}^x = 0\). Comme \(\text{e}^x > 0\) toujours, la seule solution est \(x = 0\).

3. Pour \(x < 0\) : \(f'(x) = x\text{e}^x < 0\) → décroissante. Pour \(x > 0\) : croissante.

\(x\)−303
\(f'(x)\)−0+
\(f(x)\)\(-4\text{e}^{-3}\approx -0{,}20\)↘−1↗\(2\text{e}^3\approx 40{,}2\)

4. Minimum : \(f(0) = (0-1)\text{e}^0 = -1\)

5. \(f(x) > 0\) quand \(x-1 > 0\) (car \(\text{e}^x > 0\)) → \(x > 1\), soit \(]1\,;\,+\infty[\).

Exercice 19 Modélisation du vieillissement d'un isolant thermique Approfondissement
Contexte : Un bureau d'études thermiques modélise la résistance thermique \(R\) (en m²·K/W) d'une laine de verre en fonction de son âge \(t\) (en années). La résistance diminue selon la loi : \(R(t) = 4{,}5\,\text{e}^{-0{,}02t}\).
1. Quelle est la résistance initiale de l'isolant (neuf) ?
2. Calculer \(R(10)\), \(R(20)\) et \(R(40)\). Interpréter l'évolution.
3. La réglementation thermique exige \(R \geq 3{,}5\) m²·K/W. Résoudre l'inéquation \(R(t) \geq 3{,}5\) pour trouver la durée de vie conforme de l'isolant.
4. Calculer \(R'(t)\) et l'interpréter. Le vieillissement s'accélère-t-il ou ralentit-il ?
5. De combien de pour cent la résistance a-t-elle chuté après 25 ans ?

1. \(R(0) = 4{,}5\) m²·K/W

2.
\(R(10) = 4{,}5\text{e}^{-0{,}2} \approx 4{,}5 \times 0{,}819 \approx\) \(3{,}68\) m²·K/W
\(R(20) = 4{,}5\text{e}^{-0{,}4} \approx 4{,}5 \times 0{,}670 \approx\) \(3{,}02\) m²·K/W
\(R(40) = 4{,}5\text{e}^{-0{,}8} \approx 4{,}5 \times 0{,}449 \approx\) \(2{,}02\) m²·K/W
La résistance diminue progressivement : l'isolant perd de son efficacité avec le temps.

3. \(4{,}5\text{e}^{-0{,}02t} \geq 3{,}5\) → \(\text{e}^{-0{,}02t} \geq \dfrac{3{,}5}{4{,}5}\) → \(-0{,}02t \geq \ln(7/9)\) → \(t \leq \dfrac{-\ln(7/9)}{0{,}02}\)
\(\ln(7/9) = \ln 7 - \ln 9 \approx 1{,}946 - 2{,}197 = -0{,}251\)
\(t \leq \dfrac{0{,}251}{0{,}02} \approx 12{,}5\) années

4. \(R'(t) = -0{,}09\,\text{e}^{-0{,}02t}\). \(R'(t) < 0\) → résistance toujours décroissante. \(|R'(t)|\) diminue avec \(t\) → le vieillissement ralentit au fil du temps (comme tout phénomène exponentiel décroissant).

5. \(R(25) = 4{,}5\,\text{e}^{-0{,}5} \approx 2{,}73\). Baisse = \(\dfrac{4{,}5 - 2{,}73}{4{,}5} \times 100 \approx\) \(39{,}3\,\%\)

Exercice 20 Étude d'une fonction logarithmique — optimisation Approfondissement
Contexte : Un menuisier agenceur étudie le bénéfice (en centaines d'euros) d'une commande en fonction du nombre de pièces fabriquées \(x\) (en centaines). Il modélise : \(B(x) = 3\ln(x) - x + 2\) pour \(x > 0\).
1. Calculer \(B'(x)\) et résoudre \(B'(x) = 0\).
2. Étudier le signe de \(B'(x)\) et dresser le tableau de variations de \(B\) sur \([0{,}5\,;\,10]\).
3. Calculer le bénéfice maximal. Pour quel nombre de pièces est-il atteint ?
4. Le bénéfice est positif (\(B(x) > 0\)) pour quelles valeurs de \(x\) environ ? (Utiliser la calculatrice pour trouver les zéros de \(B\) par essais).
5. Interpréter le résultat en termes de gestion de production.

1. \(B'(x) = \dfrac{3}{x} - 1\). Résoudre \(\dfrac{3}{x} - 1 = 0\) → \(x = 3\)

2. Pour \(x < 3\) : \(\dfrac{3}{x} > 1\) → \(B'(x) > 0\) (croissant). Pour \(x > 3\) : \(B'(x) < 0\) (décroissant).

\(x\)0,5310
\(B'(x)\)+0−
\(B(x)\)\(\approx -0{,}92\)↗\(3\ln 3 - 1 \approx 2{,}30\)↘\(\approx -1{,}1\)

3. Bénéfice maximal : \(B(3) = 3\ln(3) - 3 + 2 = 3\ln 3 - 1 \approx 2{,}30\) (230 €) pour 300 pièces.

4. Par essais : \(B(1) = 0 - 1 + 2 = 1 > 0\), \(B(0{,}5) \approx -0{,}92 < 0\), \(B(8) \approx -0{,}21 < 0\), \(B(7) \approx 0{,}05 > 0\).
Les zéros sont approximativement en \(x \approx 0{,}75\) et \(x \approx 7{,}7\).

5. Le menuisier doit produire entre 75 et 770 pièces environ pour être bénéficiaire. En dessous (trop peu de production) ou au-dessus (surproduction avec coûts trop élevés), le bilan est déficitaire.

Exercice 21 Modélisation d'une loi de Newton complète — type BTS Approfondissement
Contexte : Un ingénieur thermicien étudie la loi de Newton pour le refroidissement d'un fluide caloporteur dans un échangeur. La température \(T\) (en °C) vérifie l'équation différentielle : \(T'(t) = -k\,(T(t) - T_\infty)\) où \(k > 0\) et \(T_\infty\) est la température ambiante.

La solution générale est : \(T(t) = T_\infty + (T_0 - T_\infty)\,\text{e}^{-kt}\), où \(T_0 = T(0)\) est la température initiale.

On mesure : \(T_0 = 95\) °C, \(T_\infty = 20\) °C. À \(t = 5\) min : \(T(5) = 70\) °C.

1. Écrire l'expression de \(T(t)\) avec les valeurs numériques \(T_0\) et \(T_\infty\).
2. En utilisant \(T(5) = 70\), déterminer la constante \(k\) (arrondir à \(10^{-3}\)).
3. Calculer \(T(15)\) et \(T(30)\).
4. Résoudre \(T(t) = 40\) pour trouver à quel instant la température atteint 40 °C.
5. Calculer \(T'(t)\) et vérifier qu'on retrouve bien \(T'(t) = -k(T(t) - T_\infty)\).

1. \(T(t) = 20 + 75\,\text{e}^{-kt}\)

2. \(T(5) = 70\) → \(20 + 75\,\text{e}^{-5k} = 70\) → \(\text{e}^{-5k} = \dfrac{50}{75} = \dfrac{2}{3}\)
\(-5k = \ln(2/3)\) → \(k = \dfrac{-\ln(2/3)}{5} = \dfrac{\ln(3/2)}{5} \approx \dfrac{0{,}405}{5} \approx 0{,}081\)

3. \(T(15) = 20 + 75\,\text{e}^{-0{,}081 \times 15} = 20 + 75\,\text{e}^{-1{,}215} \approx 20 + 75 \times 0{,}297 \approx\) \(42{,}3\) °C
\(T(30) = 20 + 75\,\text{e}^{-2{,}43} \approx 20 + 75 \times 0{,}0882 \approx\) \(26{,}6\) °C

4. \(20 + 75\,\text{e}^{-0{,}081t} = 40\) → \(\text{e}^{-0{,}081t} = \dfrac{20}{75}\) → \(t = \dfrac{-\ln(20/75)}{0{,}081} = \dfrac{\ln(75/20)}{0{,}081} \approx \dfrac{1{,}322}{0{,}081} \approx\) \(16{,}3\) min

5. \(T'(t) = -0{,}081 \times 75\,\text{e}^{-0{,}081t} = -6{,}075\,\text{e}^{-0{,}081t}\)
Et \(-k(T(t) - T_\infty) = -0{,}081 \times 75\,\text{e}^{-0{,}081t} = -6{,}075\,\text{e}^{-0{,}081t}\) ✓ Les deux expressions sont bien égales.

📖 Cours Ch09 📝 Devoir Ch09 📚 Sommaire