Devoir Surveillé – Chapitre 9

Fonctions ln et exponentielle | T^le Pro

🎯 Objectifs du chapitre cliquer pour développer

Connaître et utiliser les propriétés de la fonction exponentielle ex
Connaître et utiliser les propriétés du logarithme népérien ln(x)
Comprendre le lien de réciprocité entre ex et ln(x)
Résoudre des équations exponentielles et logarithmiques
Modéliser des phénomènes de croissance/décroissance continue (refroidissement, séchage du bois)

🕑 Durée : 1 heure

🧮 Calculatrice : autorisée

✍ Barème : 20 points

📄 Documents : non autorisés

Exercice 1 – Calculs avec exp et ln (guidé) 10 points

Méthode Rappels :
• \(\mathrm{e}^{\ln a} = a\) pour tout \(a > 0\) • \(\ln(\mathrm{e}^x) = x\) pour tout \(x\)
• \(\mathrm{e}^0 = 1\) • \(\ln(1) = 0\) • \(\ln(\mathrm{e}) = 1\)

Partie A – Simplifications (3 pts)

1. Simplifier \(\mathrm{e}^{\ln 5}\). Compléter : \(\mathrm{e}^{\ln 5} = \boxed{\phantom{5}}\) car \(\mathrm{e}^{\ln a} = \) …

2. Simplifier \(\ln(\mathrm{e}^{4})\). Compléter : \(\ln(\mathrm{e}^{4}) = \boxed{\phantom{4}}\) car \(\ln(\mathrm{e}^x) = \) …

3. QCM — Cocher la bonne réponse :
\(\mathrm{e}^0 = \) ☐ 0 ☐ 1 ☐ \(\mathrm{e}\)
\(\ln(1) = \) ☐ 0 ☐ 1 ☐ \(-1\)

Partie B – Équations (guidées) (4 pts)

4. Résoudre \(\mathrm{e}^x = 6\). Compléter :

On applique \(\ln\) des deux côtés : \(\ln(\mathrm{e}^x) = \ln(6)\)
Donc \(x = \ln(\boxed{\phantom{6}})\)
À la calculatrice : \(x \approx \boxed{\phantom{1,79}}\)

5. Résoudre \(\ln(x) = 2\). Compléter :

On applique l'exponentielle des deux côtés : \(\mathrm{e}^{\ln(x)} = \mathrm{e}^{2}\)
Donc \(x = \mathrm{e}^{\boxed{\phantom{2}}}\)
À la calculatrice : \(x \approx \boxed{\phantom{7,39}}\)

6. Résoudre \(2\mathrm{e}^x = 14\). Compléter :

On isole \(\mathrm{e}^x\) : \(\mathrm{e}^x = \dfrac{14}{2} = \boxed{\phantom{7}}\)
Puis : \(x = \ln(\boxed{\phantom{7}}) \approx \boxed{\phantom{1,95}}\)

Partie C – Application (guidée) (3 pts)

Contexte : Un menuisier agenceur utilise une colle qui sèche selon la loi : \(R(t) = 100(1 - \mathrm{e}^{-0{,}1t})\) où \(R\) est la résistance en % et \(t\) le temps en heures.

7. Calculer la résistance initiale \(R(0)\). Compléter :

\(R(0) = 100(1 - \mathrm{e}^{0}) = 100(1 - \boxed{\phantom{1}}) = \boxed{\phantom{0}}\) %

8. Calculer \(R(10)\). Compléter :

\(R(10) = 100(1 - \mathrm{e}^{-0{,}1 \times 10}) = 100(1 - \mathrm{e}^{-1})\)
À la calculatrice : \(\mathrm{e}^{-1} \approx \boxed{\phantom{0,368}}\)
\(R(10) \approx 100(1 - 0{,}368) = \boxed{\phantom{63,2}}\) %

9. La colle est opérationnelle quand \(R(t) = 80\) %. Combien de temps faut-il attendre ?

\(100(1 - \mathrm{e}^{-0{,}1t}) = 80\)
\(1 - \mathrm{e}^{-0{,}1t} = \boxed{\phantom{0,8}}\)
\(\mathrm{e}^{-0{,}1t} = 1 - 0{,}8 = \boxed{\phantom{0,2}}\)
\(-0{,}1t = \ln(\boxed{\phantom{0,2}})\)
\(t = \dfrac{-\ln(0{,}2)}{0{,}1} \approx \boxed{\phantom{16,1}}\) heures

1. \(\mathrm{e}^{\ln 5} = 5\).

2. \(\ln(\mathrm{e}^{4}) = 4\).

3. \(\mathrm{e}^0 = 1\) ; \(\ln(1) = 0\).

4. \(x = \ln(6) \approx 1{,}79\).

5. \(x = \mathrm{e}^{2} \approx 7{,}39\).

6. \(\mathrm{e}^x = 7\), donc \(x = \ln(7) \approx 1{,}95\).

7. \(R(0) = 100(1 - 1) = 0\) %.

8. \(R(10) = 100(1 - \mathrm{e}^{-1}) \approx 100 \times 0{,}632 = 63{,}2\) %.

9. \(\mathrm{e}^{-0{,}1t} = 0{,}2\) → \(t = \dfrac{-\ln(0{,}2)}{0{,}1} = \dfrac{\ln(5)}{0{,}1} \approx 16{,}1\) heures.

Exercice 2 – Température d'un atelier (guidé) 10 points

Contexte : Un technicien chauffagiste arrête un radiateur. La température de la pièce suit : \(T(t) = 18 + 12\,\mathrm{e}^{-0{,}08\,t}\) où \(T\) est en °C et \(t\) en minutes.

Méthode Lire \(T(t) = a + b\,\mathrm{e}^{-kt}\) :
• Température initiale : \(T(0) = a + b\).
• Température limite : \(T \to a\) quand \(t \to +\infty\).

1. (2 pts) Calculer la température initiale \(T(0)\). Compléter :

\(T(0) = 18 + 12 \times \mathrm{e}^{0} = 18 + 12 \times \boxed{\phantom{1}} = \boxed{\phantom{30}}\) °C

2. (2 pts) Vers quelle température tend la pièce ? Compléter :

Quand \(t \to +\infty\), \(\mathrm{e}^{-0{,}08t} \to \boxed{\phantom{0}}\), donc \(T \to \boxed{\phantom{18}}\) °C.

3. (2 pts) Calculer \(T(10)\) et \(T(20)\). Arrondir au dixième.

\(T(10) = 18 + 12 \times \mathrm{e}^{-0{,}08 \times 10} = 18 + 12 \times \mathrm{e}^{-0{,}8}\)
À la calculatrice : \(\mathrm{e}^{-0{,}8} \approx \boxed{\phantom{0,449}}\)
\(T(10) \approx 18 + 12 \times 0{,}449 = \boxed{\phantom{23,4}}\) °C

4. (2 pts) Le technicien intervient quand \(T = 20\) °C. Résoudre. Compléter :

\(18 + 12\,\mathrm{e}^{-0{,}08t} = 20\)
\(12\,\mathrm{e}^{-0{,}08t} = 20 - 18 = \boxed{\phantom{2}}\)
\(\mathrm{e}^{-0{,}08t} = \dfrac{2}{12} = \boxed{\phantom{1/6}}\)
\(-0{,}08t = \ln\!\left(\dfrac{1}{6}\right) \approx \boxed{\phantom{-1,792}}\)
\(t \approx \dfrac{1{,}792}{0{,}08} \approx \boxed{\phantom{22,4}}\) minutes

5. (2 pts) Calculer \(T'(t)\) en complétant :

\(T'(t) = 12 \times (-0{,}08) \times \mathrm{e}^{-0{,}08t} = \boxed{\phantom{-0,96}}\,\mathrm{e}^{-0{,}08t}\)
\(T'(t)\) est toujours négatif car \(\mathrm{e}^{-0{,}08t} > 0\). La température est donc ………………

1. \(T(0) = 18 + 12 = 30\) °C.

2. La pièce tend vers 18 °C (température extérieure).

3. \(T(10) \approx 18 + 12 \times 0{,}449 = 23{,}4\) °C. \(T(20) = 18 + 12 \times \mathrm{e}^{-1{,}6} \approx 18 + 12 \times 0{,}202 = 20{,}4\) °C.

4. \(\mathrm{e}^{-0{,}08t} = \frac{1}{6}\) → \(t = \frac{\ln 6}{0{,}08} \approx 22{,}4\) minutes.

5. \(T'(t) = -0{,}96\,\mathrm{e}^{-0{,}08t} < 0\). La température est toujours décroissante.

Exercice 1 – Calculs et dérivation 10 points

Partie A – Simplifications (3 pts – 1 pt par question)

1. Simplifier \(\mathrm{e}^{\ln 3}\).

2. Simplifier \(\ln\!\left(\mathrm{e}^{5}\right)\).

3. Calculer \(\mathrm{e}^{0}\).

Partie B – Équations (2 pts – 1 pt par question)

4. Résoudre \(\mathrm{e}^{x} = 7\). Donner la valeur exacte puis une valeur approchée au centième.

5. Résoudre \(\ln(x) = 3\). Donner la valeur exacte puis une valeur approchée au centième.

Partie C – Dérivation (3 pts)

6. (1,5 pt) Calculer la dérivée de \(f(x) = \mathrm{e}^{2x}\).

7. (1,5 pt) Calculer la dérivée de \(g(x) = \ln(3x)\) pour \(x > 0\).

Partie D – Étude de variations (2 pts)

8. Soit \(h(x) = x\,\mathrm{e}^{-x}\) définie sur \(\mathbb{R}\).
a) Montrer que \(h'(x) = (1 - x)\,\mathrm{e}^{-x}\). (1 pt)
b) Étudier le signe de \(h'(x)\) et dresser le tableau de variations de \(h\). (1 pt)

1. \(\mathrm{e}^{\ln 3} = 3\) car \(\mathrm{e}^{\ln a} = a\) pour tout \(a > 0\).

2. \(\ln\!\left(\mathrm{e}^{5}\right) = 5\) car \(\ln(\mathrm{e}^{n}) = n\).

3. \(\mathrm{e}^{0} = 1\).

4. \(\mathrm{e}^{x} = 7 \Leftrightarrow x = \ln 7\). Valeur approchée : \(x \approx 1{,}95\).

5. \(\ln(x) = 3 \Leftrightarrow x = \mathrm{e}^{3}\). Valeur approchée : \(x \approx 20{,}09\).

6. On pose \(u(x) = 2x\), donc \(u'(x) = 2\). On a \(f(x) = \mathrm{e}^{u}\), donc \(f'(x) = u' \cdot \mathrm{e}^{u} = 2\,\mathrm{e}^{2x}\).

7. On pose \(u(x) = 3x\), donc \(u'(x) = 3\). On a \(g(x) = \ln(u)\), donc \(g'(x) = \dfrac{u'}{u} = \dfrac{3}{3x} = \dfrac{1}{x}\).

8a. \(h(x) = x \cdot \mathrm{e}^{-x}\). On applique la règle du produit : \(h'(x) = 1 \cdot \mathrm{e}^{-x} + x \cdot (-1)\,\mathrm{e}^{-x} = \mathrm{e}^{-x}(1 - x) = (1 - x)\,\mathrm{e}^{-x}\). ✓

8b. \(\mathrm{e}^{-x} > 0\) pour tout \(x\), donc le signe de \(h'(x)\) dépend de \((1 - x)\) :
• Si \(x < 1\) : \(h'(x) > 0\), \(h\) est croissante.
• Si \(x = 1\) : \(h'(x) = 0\).
• Si \(x > 1\) : \(h'(x) < 0\), \(h\) est décroissante.
\(h\) admet un maximum en \(x = 1\) : \(h(1) = 1 \cdot \mathrm{e}^{-1} = \dfrac{1}{\mathrm{e}} \approx 0{,}37\).

Exercice 2 – Refroidissement d'un radiateur 10 points

Contexte professionnel : Un technicien chauffagiste arrête un radiateur pour effectuer une maintenance. La température du radiateur suit la loi de refroidissement de Newton : \[T(t) = 20 + 160\,\mathrm{e}^{-0{,}05\,t}\] où \(T\) est la température en °C et \(t\) le temps en minutes après l'arrêt.

1. (1 pt) Quelle est la température du radiateur à l'instant \(t = 0\) (au moment de l'arrêt) ?

2. (1 pt) Vers quelle température tend le radiateur quand \(t \to +\infty\) ? Interpréter physiquement.

3. (2 pts) Calculer la température du radiateur après 10 minutes, puis après 30 minutes. Arrondir au dixième.

4. (3 pts) Déterminer le temps nécessaire pour que la température atteigne 50 °C. Arrondir à la minute près.

5. (1,5 pt) Calculer \(T'(t)\) et vérifier que \(T'(t) < 0\) pour tout \(t\). Qu'est-ce que cela signifie physiquement ?

6. (1,5 pt) La constante de temps \(\tau\) de ce système est définie par \(\tau = \dfrac{1}{0{,}05}\). Calculer \(\tau\) et expliquer sa signification : quelle fraction de l'écart initial de température reste-t-il après un temps égal à \(\tau\) ?

1. \(T(0) = 20 + 160\,\mathrm{e}^{0} = 20 + 160 \times 1 = 180\) °C.

2. Quand \(t \to +\infty\), \(\mathrm{e}^{-0{,}05\,t} \to 0\), donc \(T(t) \to 20\) °C. C'est la température ambiante de la pièce : le radiateur refroidit jusqu'à atteindre l'équilibre thermique avec son environnement.

3.
\(T(10) = 20 + 160\,\mathrm{e}^{-0{,}5} = 20 + 160 \times 0{,}6065 \approx 20 + 97{,}0 = 117{,}0\) °C.
\(T(30) = 20 + 160\,\mathrm{e}^{-1{,}5} = 20 + 160 \times 0{,}2231 \approx 20 + 35{,}7 = 55{,}7\) °C.

4. On résout \(T(t) = 50\) : \[20 + 160\,\mathrm{e}^{-0{,}05\,t} = 50\] \[160\,\mathrm{e}^{-0{,}05\,t} = 30\] \[\mathrm{e}^{-0{,}05\,t} = \frac{30}{160} = 0{,}1875\] \[-0{,}05\,t = \ln(0{,}1875)\] \[t = \frac{-\ln(0{,}1875)}{0{,}05} = \frac{\ln\!\left(\frac{160}{30}\right)}{0{,}05} \approx \frac{1{,}6740}{0{,}05} \approx 33\text{ min.}\] Le radiateur atteint 50 °C après environ 33 minutes.

5. \(T'(t) = 160 \times (-0{,}05)\,\mathrm{e}^{-0{,}05\,t} = -8\,\mathrm{e}^{-0{,}05\,t}\).
Comme \(\mathrm{e}^{-0{,}05\,t} > 0\) pour tout \(t\), on a \(T'(t) = -8\,\mathrm{e}^{-0{,}05\,t} < 0\).
Physiquement, cela signifie que la température du radiateur est toujours décroissante : il ne cesse de refroidir.

6. \(\tau = \dfrac{1}{0{,}05} = 20\) minutes.
Après un temps \(\tau = 20\) min : \(T(20) = 20 + 160\,\mathrm{e}^{-1} \approx 20 + 58{,}9 = 78{,}9\) °C.
L'écart initial était \(180 - 20 = 160\) °C. Après \(\tau\), l'écart est \(78{,}9 - 20 = 58{,}9\) °C, soit \(\dfrac{58{,}9}{160} \approx 0{,}368 = \dfrac{1}{\mathrm{e}} \approx 36{,}8\,\%\) de l'écart initial. Il reste environ 37 % de l'écart initial de température après un temps \(\tau\).

Exercice 1 – Décroissance radioactive et datation 10 points

Contexte : Un laboratoire d'analyse utilise le carbone 14 pour dater un échantillon de bois retrouvé sur un chantier de rénovation. La quantité de carbone 14 (en µg) suit une décroissance exponentielle : \[N(t) = N_0\,\mathrm{e}^{-\lambda\,t}\] avec \(N_0 = 12\) µg (quantité initiale) et \(\lambda = 1{,}21 \times 10^{-4}\) an\(^{-1}\).

1. (1 pt) Vérifier que \(N(0) = 12\) µg.

2. (2 pts) Calculer la quantité restante après 5 000 ans. Arrondir au dixième.

3. (2 pts) La demi-vie \(t_{1/2}\) est le temps pour que la quantité soit divisée par 2. Montrer que \(t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{\lambda}\) et calculer sa valeur.

4. (2 pts) L'analyse révèle qu'il reste 3,5 µg dans l'échantillon. Déterminer l'âge du bois.

5. (1,5 pt) Calculer \(N'(t)\). Étudier le signe de \(N'(t)\) et interpréter. La vitesse de désintégration est-elle constante ? Justifier.

6. (1,5 pt) Au bout de combien de demi-vies la quantité restante est-elle inférieure à 1 % de la quantité initiale ? Formaliser avec une inéquation.

1. \(N(0) = 12\,\mathrm{e}^{0} = 12 \times 1 = 12\) µg. ✓

2. \(N(5000) = 12\,\mathrm{e}^{-1{,}21 \times 10^{-4} \times 5000} = 12\,\mathrm{e}^{-0{,}605}\).
\(\mathrm{e}^{-0{,}605} \approx 0{,}5461\).
\(N(5000) \approx 12 \times 0{,}5461 = 6{,}6\) µg.

3. On cherche \(t\) tel que \(N(t) = \frac{N_0}{2}\) :
\(N_0\,\mathrm{e}^{-\lambda t} = \frac{N_0}{2}\) → \(\mathrm{e}^{-\lambda t} = \frac{1}{2}\) → \(-\lambda t = \ln\!\left(\frac{1}{2}\right) = -\ln 2\) → \(t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{\lambda}\).
\(t_{1/2} = \dfrac{0{,}6931}{1{,}21 \times 10^{-4}} \approx 5\,728\) ans.

4. \(12\,\mathrm{e}^{-\lambda t} = 3{,}5\) → \(\mathrm{e}^{-\lambda t} = \frac{3{,}5}{12} \approx 0{,}2917\) → \(-\lambda t = \ln(0{,}2917) \approx -1{,}2314\) → \(t = \frac{1{,}2314}{1{,}21 \times 10^{-4}} \approx 10\,177\) ans. Le bois a environ 10 200 ans.

5. \(N'(t) = -\lambda N_0\,\mathrm{e}^{-\lambda t} = -12 \times 1{,}21 \times 10^{-4}\,\mathrm{e}^{-\lambda t}\).
\(N'(t) < 0\) : la quantité décroît. \(|N'(t)|\) décroît aussi : la vitesse de désintégration ralentit au cours du temps.

6. On cherche \(n\) tel que \(\left(\frac{1}{2}\right)^n < 0{,}01\) → \(n\,\ln\!\left(\frac{1}{2}\right) < \ln(0{,}01)\) → \(n > \frac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}5)} = \frac{-4{,}605}{-0{,}693} \approx 6{,}64\).
Il faut au moins 7 demi-vies pour que la quantité soit inférieure à 1 %.

Exercice 2 – Optimisation d'un rendement énergétique 10 points

Contexte : Un ingénieur étudie le rendement énergétique \(\eta\) d'un système de récupération de chaleur en fonction de la surface d'échange \(x\) (en m²). Le rendement est modélisé par : \[\eta(x) = 1 - \mathrm{e}^{-0{,}2\,x} \quad \text{pour } x \geq 0\] Le coût de fabrication (en euros) est \(C(x) = 500x + 200\).

1. (1 pt) Calculer \(\eta(0)\) et interpréter.

2. (1,5 pt) Calculer \(\eta(5)\) et \(\eta(10)\). Le rendement peut-il dépasser 1 ? Justifier.

3. (2 pts) Déterminer la surface minimale \(x_0\) pour obtenir un rendement d'au moins 90 %. Résoudre \(\eta(x) \geq 0{,}9\).

4. (2 pts) Calculer \(\eta'(x)\). Étudier son signe et ses variations. En déduire que chaque m² supplémentaire apporte un gain de rendement de plus en plus faible.

5. (2 pts) On définit le rapport qualité/coût par \(R(x) = \dfrac{\eta(x)}{C(x)}\). Montrer que maximiser \(R(x)\) revient à trouver le meilleur compromis entre rendement et coût. Calculer \(R(5)\) et \(R(15)\).

6. (1,5 pt) Pour un budget de 4 000 €, quelle surface maximale peut-on installer ? Quel rendement obtient-on ?

1. \(\eta(0) = 1 - \mathrm{e}^{0} = 1 - 1 = 0\). Sans surface d'échange, il n'y a pas de récupération de chaleur.

2. \(\eta(5) = 1 - \mathrm{e}^{-1} \approx 1 - 0{,}368 = 0{,}632\) soit 63,2 %.
\(\eta(10) = 1 - \mathrm{e}^{-2} \approx 1 - 0{,}135 = 0{,}865\) soit 86,5 %.
\(\eta(x) = 1 - \mathrm{e}^{-0{,}2x} < 1\) car \(\mathrm{e}^{-0{,}2x} > 0\). Le rendement ne peut pas dépasser 1 (100 %).

3. \(1 - \mathrm{e}^{-0{,}2x} \geq 0{,}9\) → \(\mathrm{e}^{-0{,}2x} \leq 0{,}1\) → \(-0{,}2x \leq \ln(0{,}1)\) → \(x \geq \frac{-\ln(0{,}1)}{0{,}2} = \frac{\ln(10)}{0{,}2} \approx \frac{2{,}303}{0{,}2} = 11{,}5\) m².
Il faut au moins 11,5 m² de surface d'échange.

4. \(\eta'(x) = 0{,}2\,\mathrm{e}^{-0{,}2x}\).
\(\eta'(x) > 0\) pour tout \(x\) : le rendement est croissant.
\(\eta''(x) = -0{,}04\,\mathrm{e}^{-0{,}2x} < 0\) : la dérivée décroît, donc le gain marginal diminue. Chaque m² supplémentaire apporte moins de rendement que le précédent.

5. \(R(5) = \frac{0{,}632}{500 \times 5 + 200} = \frac{0{,}632}{2700} \approx 2{,}34 \times 10^{-4}\).
\(R(15) = \frac{\eta(15)}{C(15)} = \frac{1 - \mathrm{e}^{-3}}{7700} \approx \frac{0{,}950}{7700} \approx 1{,}23 \times 10^{-4}\).
\(R(5) > R(15)\) : le rapport qualité/coût est meilleur pour 5 m².

6. \(C(x) = 4000\) → \(500x + 200 = 4000\) → \(x = \frac{3800}{500} = 7{,}6\) m².
\(\eta(7{,}6) = 1 - \mathrm{e}^{-0{,}2 \times 7{,}6} = 1 - \mathrm{e}^{-1{,}52} \approx 1 - 0{,}219 = 0{,}781\) soit 78,1 %.