🎯 Objectifs du chapitre cliquer pour développer

Comprendre la notion d'intégrale comme aire algébrique sous une courbe
Connaître et utiliser les primitives usuelles
Calculer une intégrale définie par la méthode \(\bigl[F(x)\bigr]_a^b = F(b) - F(a)\)
Appliquer les propriétés : linéarité, relation de Chasles
Calculer une aire entre une courbe et l'axe des x, ou entre deux courbes
Calculer la valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle

Fiche résumé — Calcul intégral

Chapitre 8 | Terminale Bac Pro | Mathématiques

Notion d'intégrale

\(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\) = aire algébrique sous la courbe

Si \(f \geq 0\) sur \([a,b]\), l'intégrale donne directement l'aire. Si \(f\) change de signe, découper selon les zéros.

Primitives — définition

\(F\) est une primitive de \(f\) si \(F'(x) = f(x)\)

Toutes les primitives de \(f\) s'écrivent \(F(x) + C\) avec \(C \in \mathbb{R}\).

Primitives usuelles

\(f(x)\)	\(F(x)\)	Condition
\(k\)	\(kx\)
\(x^n\)	\(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\)	\(n \neq -1\)
\(\dfrac{1}{x}\)	\(\ln\|x\|\)	\(x \neq 0\)
\(e^x\)	\(e^x\)
\(e^{ax+b}\)	\(\dfrac{1}{a}\,e^{ax+b}\)	\(a \neq 0\)

Théorème fondamental

\(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \Big[F(x)\Big]_a^b = F(b) - F(a)\)

Méthode : 1. Trouver \(F\) — 2. Écrire \([F]_a^b\) — 3. Calculer \(F(b)-F(a)\).

Propriétés

Linéarité : \(\int(\lambda f + \mu g) = \lambda\int f + \mu\int g\)
Chasles : \(\int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f\)
\(\int_a^a f = 0\)
\(\int_a^b f = -\int_b^a f\)

Calcul d'aires

\(f \geq 0\) : \(\mathcal{A} = \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\)
\(f \leq 0\) : \(\mathcal{A} = -\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\)
Entre 2 courbes (\(f \geq g\)) :

\(\mathcal{A} = \displaystyle\int_a^b \bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,\mathrm{d}x\)

Valeur moyenne

\(\overline{f} = \dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\)

C'est la hauteur du rectangle de même base et de même aire que la surface sous la courbe.

Applications professionnelles

\(E = \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} P(t)\,\mathrm{d}t\) (énergie = intégrale de la puissance, en kWh si \(P\) en kW et \(t\) en h)

Chauffage : énergie consommée par une chaudière sur un intervalle de temps
Menuiserie : section transversale d'un profilé = intégrale du profil

Pièges et astuces

Piège 1 : Si \(f\) change de signe, l'intégrale n'est pas l'aire ! Il faut découper l'intervalle aux zéros et sommer les valeurs absolues.

Piège 2 : La primitive de \(x^n\) est \(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\) : ne pas oublier de diviser par \(n+1\). Et cette formule ne marche pas pour \(n = -1\).

Piège 3 : Pour la valeur moyenne, ne pas oublier le facteur \(\dfrac{1}{b-a}\) devant l'intégrale.

Astuce : Toujours vérifier la primitive en la dérivant : si \(F'(x) = f(x)\), c'est bon.

Astuce : L'intégrale d'une constante \(k\) sur \([a,b]\) vaut simplement \(k \times (b-a)\).