Chapitre 8 — Calcul intégral

Terminale Bac Pro — ERA • TMA • ICCER (Grpt 1)

Programme complémentaire — poursuite d'études Ce module fait partie du programme complémentaire de Terminale Bac Pro : il prépare la poursuite d'études (BTS et au-delà) et se traite dans le cadre de l'accompagnement au choix d'orientation. Il ne fait pas partie du programme évalué en CCF.

Objectifs du chapitre :

Comprendre la notion d'intégrale comme aire algébrique sous une courbe
Connaître et utiliser les primitives usuelles
Calculer une intégrale définie par la méthode \(\bigl[F(x)\bigr]_a^b = F(b) - F(a)\)
Appliquer les propriétés : linéarité, relation de Chasles
Calculer une aire entre une courbe et l'axe des x, ou entre deux courbes
Calculer la valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle

Situation professionnelle — Section et énergie en menuiserie

Un ébéniste veut calculer l'aire de la section d'un profil de bois cintré — une courbe décrite par une fonction mathématique. Une calcul d'intégrale lui permet de trouver exactement cette aire, ou encore de calculer l'énergie consommée par une chaudière sur une période donnée.

1. Notion d'intégrale — Aire sous une courbe

Définition
Soit \(f\) une fonction positive et continue sur \([a,\,b]\). L'intégrale de \(f\) de \(a\) à \(b\), notée \[\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\] représente l'aire de la surface comprise entre la courbe de \(f\), l'axe des abscisses et les droites verticales \(x = a\) et \(x = b\). Elle s'exprime en unités d'aire (u.a.).

Attention — Aire algébrique
Si \(f\) prend des valeurs négatives sur une partie de \([a,b]\), l'intégrale tient compte du signe : les portions sous l'axe contribuent négativement. On parle d'aire algébrique. Pour l'aire géométrique (toujours positive), il faut découper selon les zéros de \(f\) et sommer les valeurs absolues.

Visualisation interactive — Aire sous \(f(x) = x^2\) sur \([0,\,3]\)
Utiliser les boutons pour animer le remplissage progressif

—

Application

Calcule \(\displaystyle\int_0^2 3\,\mathrm{d}x\). Interpréte géométriquement ce résultat (l'intégrale d'une fonction constante).

2. Primitives d'une fonction

Définition
Une fonction \(F\) est une primitive de \(f\) sur un intervalle \(I\) si : \[F'(x) = f(x) \quad \text{pour tout } x \in I\] Si \(F\) est une primitive de \(f\), alors toutes les primitives de \(f\) s'écrivent \(F(x) + C\) où \(C \in \mathbb{R}\) est une constante arbitraire.

Propriété
Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle. Deux primitives d'une même fonction ne diffèrent que d'une constante.

Tableau des primitives usuelles

Fonction \(f(x)\)	Une primitive \(F(x)\)	Condition
\(k\) (constante)	\(kx\)	\(k \in \mathbb{R}\)
\(x^n\)	\(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\)	\(n \in \mathbb{Z},\ n \neq -1\)
\(x\)	\(\dfrac{x^2}{2}\)	—
\(x^2\)	\(\dfrac{x^3}{3}\)	—
\(\sqrt{x}\)	\(\dfrac{2}{3}\,x^{3/2}\)	\(x \geq 0\)
\(\dfrac{1}{x}\)	\(\ln\|x\|\)	\(x \neq 0\)
\(e^x\)	\(e^x\)	—
\(e^{ax+b}\)	\(\dfrac{1}{a}\,e^{ax+b}\)	\(a \neq 0\)

Exemples de primitives

Primitive de \(f(x) = 3x^2\) : \(F(x) = x^3\) vérif : \(F'(x) = 3x^2\) ✓
Primitive de \(f(x) = 5\) : \(F(x) = 5x\)
Primitive de \(f(x) = 2x + 3\) : \(F(x) = x^2 + 3x\)
Primitive de \(f(x) = e^{2x}\) : \(F(x) = \dfrac{1}{2}\,e^{2x}\)

Application

Donne une primitive de chacune des fonctions suivantes : \(f(x) = 5x^2\), \(g(x) = 4x - 3\), \(h(x) = 7\).

3. Calcul d'une intégrale définie

Théorème fondamental du calcul intégral
Si \(F\) est une primitive de \(f\) sur \([a,\,b]\), alors : \[\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \Big[F(x)\Big]_a^b = F(b) - F(a)\]

Méthode en 3 étapes

1 Trouver une primitive \(F\) de \(f\) (on omet la constante \(C\))

2 Écrire \(\Big[F(x)\Big]_a^b\)

3 Calculer \(F(b) - F(a)\) et conclure

Exemple 1 Calculer \(\displaystyle\int_1^3 2x\,\mathrm{d}x\)

Primitive de \(2x\) : \(F(x) = x^2\)
\(\Big[x^2\Big]_1^3\)
\(= 3^2 - 1^2 = 9 - 1 = \boldsymbol{8}\)

Exemple 2 Calculer \(\displaystyle\int_0^2 (3x^2 - 2x + 1)\,\mathrm{d}x\)

Primitive : \(F(x) = x^3 - x^2 + x\)
\(\Big[x^3 - x^2 + x\Big]_0^2\)
\(= (8 - 4 + 2) - (0 - 0 + 0) = 6\)

Exemple 3 Calculer \(\displaystyle\int_0^1 e^x\,\mathrm{d}x\)

Primitive de \(e^x\) : \(F(x) = e^x\)
\(\Big[e^x\Big]_0^1\)
\(= e^1 - e^0 = e - 1 \approx \boldsymbol{1{,}718}\)

Visualisation avec Chart.js : \(f(x) = 2x+1\) sur \([1,\,4]\)

Aire colorée en bleu : \(\displaystyle\int_1^4 (2x+1)\,\mathrm{d}x = \Big[x^2+x\Big]_1^4 = (16+4)-(1+1) = \boldsymbol{18}\)

Application

Un fabricant de mobilier modélise la largeur d'une pièce cintrée par \(f(x) = x + 2\) sur \([0\,;\,3]\). Calcule \(\displaystyle\int_0^3 (x+2)\,\mathrm{d}x\).

4. Propriétés de l'intégrale

Linéarité
Pour tous réels \(\lambda,\,\mu\) et toutes fonctions \(f,\,g\) intégrables sur \([a,b]\) : \[\int_a^b \bigl(\lambda\,f(x) + \mu\,g(x)\bigr)\,\mathrm{d}x = \lambda\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x + \mu\int_a^b g(x)\,\mathrm{d}x\]

Exemple — Linéarité
\(\displaystyle\int_0^2 (4x^2 + 3e^x)\,\mathrm{d}x = 4\int_0^2 x^2\,\mathrm{d}x + 3\int_0^2 e^x\,\mathrm{d}x\) \[= 4\Bigl[\tfrac{x^3}{3}\Bigr]_0^2 + 3\Bigl[e^x\Bigr]_0^2 = 4 \times \tfrac{8}{3} + 3(e^2 - 1) = \tfrac{32}{3} + 3e^2 - 3 \approx 10{,}67 + 22{,}17 - 3 \approx \boldsymbol{29{,}83}\]

Relation de Chasles
Pour tout réel \(c\) (quelconque, pas nécessairement entre \(a\) et \(b\)) : \[\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \int_a^c f(x)\,\mathrm{d}x + \int_c^b f(x)\,\mathrm{d}x\] Cette relation permet de découper un intervalle d'intégration.

Exemple — Chasles
On sait que \(\displaystyle\int_1^5 f(x)\,\mathrm{d}x = 12\) et \(\displaystyle\int_1^3 f(x)\,\mathrm{d}x = 5\).
Alors : \(\displaystyle\int_3^5 f(x)\,\mathrm{d}x = \int_1^5 f(x)\,\mathrm{d}x - \int_1^3 f(x)\,\mathrm{d}x = 12 - 5 = \boldsymbol{7}\)

Autres propriétés

\(\displaystyle\int_a^a f(x)\,\mathrm{d}x = 0\)
\(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = -\int_b^a f(x)\,\mathrm{d}x\) (inversion des bornes ⇒ changement de signe)
Si \(f(x) \geq 0\) sur \([a,b]\), alors \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \geq 0\)

5. Calcul d'aire

5.1 Aire entre une courbe et l'axe des abscisses

Méthode

Si \(f(x) \geq 0\) sur \([a,b]\) : \(\mathcal{A} = \displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\)
Si \(f(x) \leq 0\) sur \([a,b]\) : \(\mathcal{A} = \displaystyle-\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\)
Si \(f\) change de signe : découper selon les zéros, calculer chaque intégrale et sommer les valeurs absolues.

5.2 Aire entre deux courbes

Méthode
Si \(f(x) \geq g(x)\) sur \([a,b]\), l'aire entre les courbes est : \[\mathcal{A} = \int_a^b \bigl(f(x) - g(x)\bigr)\,\mathrm{d}x\]

Exemple Aire entre \(f(x) = x^2\) et \(g(x) = x\) sur \([0,\,1]\)
Sur \([0,1]\), \(x \geq x^2\), donc \(g \geq f\). \[\mathcal{A} = \int_0^1 (x - x^2)\,\mathrm{d}x = \Bigl[\tfrac{x^2}{2} - \tfrac{x^3}{3}\Bigr]_0^1 = \tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{3} = \boldsymbol{\tfrac{1}{6}} \approx 0{,}167 \text{ u.a.}\]

6. Énergie consommée — Chaudière ICCER

Problème professionnel
Une chaudière a une puissance instantanée variable modélisée par : \[P(t) = 3t^2 - 12t + 15 \quad \text{(kW, avec } t \text{ en heures, } 0 \leq t \leq 4\text{)}\] Calculer l'énergie totale consommée sur l'intervalle \([0,\,4]\) (en kWh).

Solution complète

Rappel physique : L'énergie est l'intégrale de la puissance : \[E = \int_0^4 P(t)\,\mathrm{d}t = \int_0^4 (3t^2 - 12t + 15)\,\mathrm{d}t\]

Étape 1 — Primitive : \[F(t) = t^3 - 6t^2 + 15t\] Vérification : \(F'(t) = 3t^2 - 12t + 15 = P(t)\) ✓

Étape 2 — Calcul : \[E = \Big[t^3 - 6t^2 + 15t\Big]_0^4\] \[= F(4) - F(0)\] \[= (64 - 96 + 60) - (0 - 0 + 0) = 28 - 0\] \[\boxed{E = 28 \text{ kWh}}\]

Puissance moyenne
La puissance moyenne sur \([0,\,4]\) : \[\overline{P} = \frac{1}{4-0}\int_0^4 P(t)\,\mathrm{d}t = \frac{28}{4} = \boldsymbol{7 \text{ kW}}\] Interprétation : La chaudière consomme en moyenne 7 kW pendant 4 h, soit \(7 \times 4 = 28\) kWh. Résultat cohérent.

Vérification du signe de \(P(t)\)
Discriminant de \(3t^2 - 12t + 15\) : \(\Delta = (-12)^2 - 4 \times 3 \times 15 = 144 - 180 = -36 < 0\).
Donc \(P(t) > 0\) sur tout \([0,4]\) : la puissance est toujours positive. ✓

7. Section d'un profil de bois cintré ERA / TMA

Problème professionnel
Un profilé de bois design (cimaise) a une section transversale dont la génératrice supérieure est modélisée par la parabole (en cm) : \[f(x) = -0{,}5x^2 + 4x \quad \text{sur } [0,\,6]\] La génératrice inférieure est l'axe des abscisses (\(y = 0\)).
Calculer la section transversale de ce profilé (en cm²).

Solution complète

Étape 1 — Vérifier le signe de \(f\) sur \([0,6]\) :
\(f(x) = x(-0{,}5x + 4)\) ; zéros : \(x = 0\) et \(x = 8\).
Sur \([0,\,6] \subset [0,\,8]\), on a bien \(f(x) \geq 0\). ✓

Étape 2 — Primitive : \[F(x) = -\frac{0{,}5}{3}x^3 + \frac{4}{2}x^2 = -\frac{x^3}{6} + 2x^2\]

Étape 3 — Calcul : \[\mathcal{A} = \int_0^6 f(x)\,\mathrm{d}x = \Bigl[-\tfrac{x^3}{6} + 2x^2\Bigr]_0^6\] \[= \Bigl(-\tfrac{216}{6} + 2 \times 36\Bigr) - (0)\] \[= (-36 + 72) = \boxed{36 \text{ cm}^2}\]

Interprétation et usage
La section transversale du profilé fait 36 cm². Pour 1 mètre linéaire, le volume de bois est : \(V = 36 \times 100 = 3\,600\text{ cm}^3 = 3{,}6\text{ L}\). Connaissant la densité du bois (ex. chêne : \(\approx 0{,}75\text{ kg/L}\)), on obtient la masse : \(m \approx 3{,}6 \times 0{,}75 = 2{,}7\text{ kg/m}\).

8. Valeur moyenne d'une fonction

Définition
La valeur moyenne d'une fonction \(f\) continue sur \([a,\,b]\) est : \[\overline{f} = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\] Interprétation géométrique : \(\overline{f}\) est la hauteur du rectangle de base \([a,b]\) ayant la même aire que la surface sous la courbe.

Exemple 1 Valeur moyenne de \(f(x) = x^2\) sur \([0,\,3]\) \[\overline{f} = \frac{1}{3}\int_0^3 x^2\,\mathrm{d}x = \frac{1}{3}\Bigl[\frac{x^3}{3}\Bigr]_0^3 = \frac{1}{3} \times \frac{27}{3} = \frac{1}{3} \times 9 = \boldsymbol{3}\]

Exemple 2 — Température moyenne ICCER
La température d'un fluide caloporteur suit \(T(t) = 2t + 20\) (°C, \(t\) en heures) sur \([0,\,5]\). \[\overline{T} = \frac{1}{5}\int_0^5 (2t + 20)\,\mathrm{d}t = \frac{1}{5}\Bigl[t^2 + 20t\Bigr]_0^5 = \frac{1}{5}(25 + 100) = \frac{125}{5} = \boldsymbol{25\text{ °C}}\]

9. Tableau récapitulatif — Formules essentielles

Notion	Formule	Remarque
Intégrale définie	\(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \bigl[F(x)\bigr]_a^b = F(b)-F(a)\)	\(F'=f\)
Primitive de \(k\)	\(kx + C\)	\(k \in \mathbb{R}\)
Primitive de \(x^n\)	\(\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C\)	\(n \neq -1\)
Primitive de \(e^x\)	\(e^x + C\)	—
Primitive de \(\frac{1}{x}\)	\(\ln\|x\| + C\)	\(x \neq 0\)
Linéarité	\(\int_a^b(\lambda f + \mu g)\,\mathrm{d}x = \lambda\int_a^b f + \mu\int_a^b g\)	—
Chasles	\(\int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f\)	\(c\) quelconque
Aire sous courbe	\(\mathcal{A} = \displaystyle\int_a^b \|f(x)\|\,\mathrm{d}x\)	Découper si \(f\) change de signe
Aire entre 2 courbes	\(\mathcal{A} = \displaystyle\int_a^b \bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,\mathrm{d}x\)	si \(f \geq g\)
Valeur moyenne	\(\overline{f} = \dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\)	—
Énergie (installation thermique)	\(E = \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} P(t)\,\mathrm{d}t\)	\(P\) en kW, \(t\) en h → \(E\) en kWh

10. À retenir

Essentiel du chapitre :

\(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\) représente l'aire algébrique sous la courbe de \(f\) entre \(x = a\) et \(x = b\).
Pour calculer : trouver une primitive \(F\) (telle que \(F' = f\)), puis calculer \(F(b) - F(a)\).
Les primitives usuelles sont à connaître par cœur.
La relation de Chasles permet de découper un intervalle.
La valeur moyenne : \(\overline{f} = \dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\).
En installation thermique : énergie = intégrale de la puissance (\(E = \int P\,\mathrm{d}t\)).
En menuiserie : section = intégrale du profil sur l'intervalle.

11. Mini exercices corrigés

Exercice 1 Calcul d'intégrale simple
Calculer \(\displaystyle\int_1^4 (2x - 3)\,\mathrm{d}x\).

▼ Voir la correction

Étape 1 — Primitive : \(F(x) = x^2 - 3x\)

Étape 2 — Calcul : \[\Big[x^2 - 3x\Big]_1^4 = (16 - 12) - (1 - 3) = 4 - (-2) = \boldsymbol{6}\]

Exercice 2 Calcul d'aire — profil bois ERA/TMA
Une parclose a un profil modélisé par \(g(x) = x^2 - 4x + 5\) sur \([1,\,3]\), au-dessus de la droite \(y = 1\). Calculer l'aire entre la courbe et \(y = 1\) sur \([1,\,3]\).

▼ Voir la correction

On calcule \(\displaystyle\int_1^3 \bigl(g(x) - 1\bigr)\,\mathrm{d}x = \int_1^3 (x^2 - 4x + 4)\,\mathrm{d}x = \int_1^3 (x-2)^2\,\mathrm{d}x\)

Primitive : \(F(x) = \dfrac{(x-2)^3}{3}\)

\[\Bigl[\frac{(x-2)^3}{3}\Bigr]_1^3 = \frac{(3-2)^3}{3} - \frac{(1-2)^3}{3} = \frac{1}{3} - \frac{-1}{3} = \boldsymbol{\frac{2}{3} \approx 0{,}67 \text{ cm}^2}\]

Exercice 3 Chasles & énergie ICCER
La puissance d'un climatiseur (kW) varie selon : \[P(t) = \begin{cases} t & \text{si } 0 \leq t \leq 2 \\ 2 & \text{si } 2 < t \leq 5 \end{cases}\] Calculer l'énergie consommée sur \([0,\,5]\).

▼ Voir la correction

On utilise la relation de Chasles pour séparer les deux lois : \[E = \int_0^5 P(t)\,\mathrm{d}t = \int_0^2 t\,\mathrm{d}t + \int_2^5 2\,\mathrm{d}t\] \[= \Bigl[\frac{t^2}{2}\Bigr]_0^2 + \Bigl[2t\Bigr]_2^5\] \[= \Bigl(\frac{4}{2} - 0\Bigr) + (10 - 4) = 2 + 6 = \boldsymbol{8 \text{ kWh}}\]

Exercice 4 Valeur moyenne — température
La température intérieure d'un logement est modélisée par \(T(t) = -0{,}5t^2 + 3t + 18\) (°C) pour \(0 \leq t \leq 6\) (heures). Calculer la température moyenne sur cette période.

▼ Voir la correction

\[\overline{T} = \frac{1}{6}\int_0^6 (-0{,}5t^2 + 3t + 18)\,\mathrm{d}t\] Primitive : \(F(t) = -\dfrac{t^3}{6} + \dfrac{3t^2}{2} + 18t\)

\[F(6) = -\frac{216}{6} + \frac{3 \times 36}{2} + 108 = -36 + 54 + 108 = 126\] \[F(0) = 0\] \[\overline{T} = \frac{126}{6} = \boldsymbol{21 \text{ °C}}\]

Chapitre 8 — Calcul intégral

Situation professionnelle — Section et énergie en menuiserie

1. Notion d'intégrale — Aire sous une courbe

2. Primitives d'une fonction

Tableau des primitives usuelles

3. Calcul d'une intégrale définie

Visualisation avec Chart.js : \(f(x) = 2x+1\) sur \([1,\,4]\)

4. Propriétés de l'intégrale

5. Calcul d'aire

5.1 Aire entre une courbe et l'axe des abscisses

5.2 Aire entre deux courbes

6. Énergie consommée — Chaudière ICCER

7. Section d'un profil de bois cintré ERA / TMA

8. Valeur moyenne d'une fonction

9. Tableau récapitulatif — Formules essentielles

10. À retenir

11. Mini exercices corrigés

Erreurs fréquentes

Simulation interactive