Exercices – Chapitre 8

Calcul intégral | Terminale Bac Pro | ERA · TMA · ICCER (Grpt 1)

Dernière mise à jour : 11 mars 2026

Compétences travaillées :

Déterminer des primitives à l'aide du tableau des primitives usuelles
Calculer une intégrale \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\) à l'aide d'une primitive
Calculer l'aire sous une courbe et entre deux courbes
Appliquer la linéarité de l'intégrale et la relation de Chasles
Calculer la valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle
Utiliser l'intégrale dans des contextes professionnels (énergie, sections, volumes)

Exercice 1 Trouver des primitives à l'aide du tableau Socle

Pour chaque fonction, donner une primitive \(F(x)\) en utilisant le tableau des primitives usuelles :

a) \(f(x) = 3\)

\(F(x) =\) ………………………………

b) \(f(x) = x^2\)

\(F(x) =\) ………………………………

c) \(f(x) = 4x^3\)

\(F(x) =\) ………………………………

d) \(f(x) = 5x + 2\)

\(F(x) =\) ………………………………

Mes calculs :

a) La primitive d'une constante \(k\) est \(kx\). Donc \(F(x) = 3x\).

b) La primitive de \(x^n\) est \(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\). Ici \(n = 2\) : \(F(x) = \dfrac{x^3}{3}\).

c) Primitive de \(x^3\) : \(\dfrac{x^4}{4}\). Donc primitive de \(4x^3\) : \(4 \times \dfrac{x^4}{4}\) = \(F(x) = x^4\).

d) Par linéarité : primitive de \(5x\) → \(\dfrac{5x^2}{2}\), primitive de \(2\) → \(2x\). Donc \(F(x) = \dfrac{5x^2}{2} + 2x\).

Exercice 2 Calculer des intégrales simples Socle

Calculer les intégrales suivantes à l'aide de la formule \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = \bigl[F(x)\bigr]_a^b = F(b) - F(a)\) :

a) \(\displaystyle\int_1^4 2x\,dx\)

………………………………

b) \(\displaystyle\int_0^3 x^2\,dx\)

………………………………

c) \(\displaystyle\int_2^5 6\,dx\)

………………………………

Mes calculs :

a) Primitive de \(2x\) : \(F(x) = x^2\).
\(\displaystyle\int_1^4 2x\,dx = \bigl[x^2\bigr]_1^4 = 4^2 - 1^2 = 16 - 1 =\) \(15\)

b) Primitive de \(x^2\) : \(F(x) = \dfrac{x^3}{3}\).
\(\displaystyle\int_0^3 x^2\,dx = \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3 = \dfrac{27}{3} - \dfrac{0}{3} =\) \(9\)

c) Primitive de \(6\) : \(F(x) = 6x\).
\(\displaystyle\int_2^5 6\,dx = \bigl[6x\bigr]_2^5 = 30 - 12 =\) \(18\)

Exercice 3 Primitives et notation \([F(x)]_a^b\) Socle

Compléter le tableau suivant :

\(f(x)\)	Primitive \(F(x)\)	Bornes	\(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\)
\(3x^2\)	…………	\(a = 0\), \(b = 2\)	…………
\(4x + 1\)	…………	\(a = 1\), \(b = 3\)	…………
\(x^3\)	…………	\(a = 0\), \(b = 1\)	…………

Mes calculs :

\(f(x)\)	Primitive \(F(x)\)	Bornes	Calcul	Résultat
\(3x^2\)	\(x^3\)	\([0\,;2]\)	\(2^3 - 0^3\)	\(8\)
\(4x + 1\)	\(2x^2 + x\)	\([1\,;3]\)	\((18 + 3) - (2 + 1)\)	\(18\)
\(x^3\)	\(\dfrac{x^4}{4}\)	\([0\,;1]\)	\(\dfrac{1}{4} - 0\)	\(0{,}25\)

Exercice 4 Calculer des primitives — méthode guidée Socle

Méthode : pour trouver une primitive, on utilise le tableau des primitives usuelles.

\(f(x)\)	Primitive \(F(x)\)
\(k\) (constante)	\(kx\)
\(x\)	\(\dfrac{x^2}{2}\)
\(x^2\)	\(\dfrac{x^3}{3}\)
\(x^3\)	\(\dfrac{x^4}{4}\)
\(x^n\)	\(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\)

Règle : la primitive de \(k \times f(x)\) est \(k \times F(x)\).

Compléter les primitives suivantes à l'aide du tableau ci-dessus :

a) \(f(x) = 5\)

La primitive d'une constante \(k\) est \(kx\). Ici \(k = 5\), donc :
\(F(x) = 5 \times \boxed{\phantom{x}} = \boxed{\phantom{5x}}\)

b) \(f(x) = x^2\)

On utilise la formule : primitive de \(x^n\) → \(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\). Ici \(n = \boxed{\phantom{2}}\), donc :
\(F(x) = \dfrac{x^{\boxed{\phantom{3}}}}{{\boxed{\phantom{3}}}} = \boxed{\phantom{\dfrac{x^3}{3}}}\)

c) \(f(x) = 6x\)

On sait que la primitive de \(x\) est \(\dfrac{x^2}{2}\). Avec le coefficient 6 :
\(F(x) = 6 \times \dfrac{x^{\boxed{\phantom{2}}}}{{\boxed{\phantom{2}}}} = \boxed{\phantom{3x^2}}\)

d) \(f(x) = 3x^2 + 2x - 1\)

On fait la primitive de chaque terme séparément :
Primitive de \(3x^2\) → \(3 \times \dfrac{x^3}{3} = \boxed{\phantom{x^3}}\)
Primitive de \(2x\) → \(2 \times \dfrac{x^2}{2} = \boxed{\phantom{x^2}}\)
Primitive de \(-1\) → \(\boxed{\phantom{-x}}\)
Donc \(F(x) = \boxed{\phantom{x^3 + x^2 - x}}\)

Mes calculs :

a) \(F(x) = 5x\)

b) \(n = 2\), donc \(F(x) = \dfrac{x^3}{3}\). \(F(x) = \dfrac{x^3}{3}\)

c) \(F(x) = 6 \times \dfrac{x^2}{2} =\) \(F(x) = 3x^2\)

d) Terme par terme : \(x^3 + x^2 + (-x)\). \(F(x) = x^3 + x^2 - x\)

Exercice 5 Calculer une intégrale définie — pas à pas Socle

Méthode pour calculer \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\) :
Étape 1 : Trouver une primitive \(F(x)\) de \(f(x)\).
Étape 2 : Calculer \(F(b)\) (remplacer \(x\) par \(b\)).
Étape 3 : Calculer \(F(a)\) (remplacer \(x\) par \(a\)).
Étape 4 : Faire la soustraction \(F(b) - F(a)\).

a) Calculer \(\displaystyle\int_1^3 4x\,dx\)

Étape 1 : Primitive de \(4x\) → \(F(x) = 4 \times \dfrac{x^2}{2} = \boxed{\phantom{2x^2}}\)
Étape 2 : \(F(3) = 2 \times \boxed{\phantom{3}}^2 = 2 \times \boxed{\phantom{9}} = \boxed{\phantom{18}}\)
Étape 3 : \(F(1) = 2 \times 1^2 = \boxed{\phantom{2}}\)
Étape 4 : \(\displaystyle\int_1^3 4x\,dx = F(3) - F(1) = \boxed{\phantom{18}} - \boxed{\phantom{2}} = \boxed{\phantom{16}}\)

b) Calculer \(\displaystyle\int_0^2 3x^2\,dx\)

Étape 1 : Primitive de \(3x^2\) → \(F(x) = 3 \times \dfrac{x^3}{3} = \boxed{\phantom{x^3}}\)
Étape 2 : \(F(2) = \boxed{\phantom{2}}^3 = \boxed{\phantom{8}}\)
Étape 3 : \(F(0) = 0^3 = \boxed{\phantom{0}}\)
Étape 4 : \(\displaystyle\int_0^2 3x^2\,dx = \boxed{\phantom{8}} - \boxed{\phantom{0}} = \boxed{\phantom{8}}\)

c) Calculer \(\displaystyle\int_1^4 (2x + 3)\,dx\)

Étape 1 : Primitive de \(2x\) → \(x^2\). Primitive de \(3\) → \(3x\). Donc \(F(x) = \boxed{\phantom{x^2 + 3x}}\)
Étape 2 : \(F(4) = 4^2 + 3 \times 4 = \boxed{\phantom{16}} + \boxed{\phantom{12}} = \boxed{\phantom{28}}\)
Étape 3 : \(F(1) = 1^2 + 3 \times 1 = \boxed{\phantom{4}}\)
Étape 4 : \(\displaystyle\int_1^4 (2x + 3)\,dx = \boxed{\phantom{28}} - \boxed{\phantom{4}} = \boxed{\phantom{24}}\)

Mes calculs :

a) \(F(x) = 2x^2\). \(\displaystyle\int_1^3 4x\,dx = [2x^2]_1^3 = 18 - 2 =\) \(16\)

b) \(F(x) = x^3\). \(\displaystyle\int_0^2 3x^2\,dx = [x^3]_0^2 = 8 - 0 =\) \(8\)

c) \(F(x) = x^2 + 3x\). \(\displaystyle\int_1^4 (2x + 3)\,dx = [x^2 + 3x]_1^4 = 28 - 4 =\) \(24\)

Exercice 6 Interpréter une intégrale comme une aire — lecture guidée Socle

Règle : si \(f(x) \geq 0\) sur \([a\,;b]\), alors l'aire sous la courbe est égale à l'intégrale :
\(\mathcal{A} = \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\) (en unités d'aire)

Contexte : Un menuisier agenceur découpe un panneau décoratif dont le bord supérieur suit la courbe \(f(x) = -x^2 + 4\) (en cm), pour \(x\) allant de \(0\) à \(2\). Le bord inférieur est au niveau \(y = 0\).

1. La fonction \(f\) est-elle positive sur \([0\,;2]\) ?

Calculer : \(f(0) = -0^2 + 4 = \boxed{\phantom{4}}\) et \(f(2) = -2^2 + 4 = \boxed{\phantom{0}}\).
Pour \(x \in [0\,;2]\), \(x^2 \leq 4\) donc \(-x^2 + 4 \geq 0\). Réponse : \(f\) est ☐ positive ☐ négative sur \([0\,;2]\).

2. Trouver une primitive \(F(x)\) de \(f(x) = -x^2 + 4\).

Primitive de \(-x^2\) → \(-\dfrac{x^3}{3}\). Primitive de \(4\) → \(4x\).
Donc \(F(x) = \boxed{\phantom{-\dfrac{x^3}{3} + 4x}}\)

3. Calculer \(\displaystyle\int_0^2 (-x^2 + 4)\,dx\).

\(F(2) = -\dfrac{\boxed{\phantom{8}}}{3} + 4 \times \boxed{\phantom{2}} = -\dfrac{8}{3} + \boxed{\phantom{8}} = \dfrac{-8 + 24}{3} = \boxed{\phantom{\dfrac{16}{3}}}\)
\(F(0) = \boxed{\phantom{0}}\)
\(\displaystyle\int_0^2 (-x^2 + 4)\,dx = \boxed{\phantom{\dfrac{16}{3}}} - 0 = \boxed{\phantom{\dfrac{16}{3}}}\)

4. En déduire l'aire du panneau en cm².

Comme \(f \geq 0\) sur \([0\,;2]\), l'aire est : \(\mathcal{A} = \displaystyle\int_0^2 f(x)\,dx = \boxed{\phantom{\dfrac{16}{3} \approx 5{,}33}}\) cm²

Mes calculs :

1. \(f(0) = 4 > 0\) et \(f(2) = 0\). Pour tout \(x \in [0\,;2]\), \(x^2 \leq 4\) donc \(f(x) \geq 0\). \(f\) est positive sur \([0\,;2]\).

2. \(F(x) = -\dfrac{x^3}{3} + 4x\)

3. \(F(2) = -\dfrac{8}{3} + 8 = \dfrac{16}{3}\), \(F(0) = 0\).
\(\displaystyle\int_0^2 (-x^2 + 4)\,dx = \dfrac{16}{3} - 0 =\) \(\dfrac{16}{3}\)

4. \(\mathcal{A} = \dfrac{16}{3} \approx\) \(5{,}33\) cm². Le panneau a une surface d'environ 5,33 cm².

Exercice 7 Calculer l'aire sous une courbe simple (guidé) Socle

Méthode Si \(f(x) \geq 0\) sur \([a\,;b]\), l'aire sous la courbe = \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)\).

Contexte : Un artisan menuisier découpe un bord arrondi dont le profil suit la courbe \(f(x) = x\) (en cm) pour \(x \in [0\,;\,6]\). Il veut calculer l'aire de la surface découpée.

Étape 1 : La fonction \(f(x) = x\) est-elle positive sur \([0\,;\,6]\) ?
Comme \(x \geq 0\) sur \([0\,;\,6]\), la réponse est ☐ oui ☐ non

Étape 2 : Trouver une primitive de \(f(x) = x\).
La primitive de \(x\) est \(F(x) = \boxed{\phantom{\dfrac{x^2}{2}}}\)

Étape 3 : Calculer l'intégrale.
\(\displaystyle\int_0^6 x\,dx = \left[\dfrac{x^2}{2}\right]_0^6 = \dfrac{6^2}{2} - \dfrac{0^2}{2} = \dfrac{\boxed{\phantom{36}}}{2} - 0 = \boxed{\phantom{18}}\) cm²

Mes calculs :

Étape 1 : Oui, \(f(x) = x \geq 0\) sur \([0\,;\,6]\).

Étape 2 : \(F(x) = \dfrac{x^2}{2}\)

Étape 3 : \(\displaystyle\int_0^6 x\,dx = \dfrac{36}{2} - 0 =\) \(18\) cm²

La surface découpée a une aire de 18 cm².

Exercice 8 Intégrale d'une fonction affine (guidé) Socle

Calculer chaque intégrale en suivant les étapes :

a) \(\displaystyle\int_0^4 (3x + 1)\,dx\)

Primitive : \(F(x) = \dfrac{3x^2}{2} + x = \boxed{\phantom{\dfrac{3x^2}{2} + x}}\)
\(F(4) = \dfrac{3 \times 16}{2} + 4 = 24 + 4 = \boxed{\phantom{28}}\)
\(F(0) = 0 + 0 = \boxed{\phantom{0}}\)
Résultat = \(\boxed{\phantom{28}} - \boxed{\phantom{0}} = \boxed{\phantom{28}}\)

b) \(\displaystyle\int_1^5 (2x - 3)\,dx\)

Primitive : \(F(x) = \boxed{\phantom{x^2 - 3x}}\)
\(F(5) = 25 - 15 = \boxed{\phantom{10}}\)
\(F(1) = 1 - 3 = \boxed{\phantom{-2}}\)
Résultat = \(\boxed{\phantom{10}} - (\boxed{\phantom{-2}}) = \boxed{\phantom{12}}\)

Mes calculs :

a) \(F(x) = \dfrac{3x^2}{2} + x\). \(F(4) = 28\), \(F(0) = 0\). \(\displaystyle\int_0^4 (3x + 1)\,dx = 28\)

b) \(F(x) = x^2 - 3x\). \(F(5) = 10\), \(F(1) = -2\). \(\displaystyle\int_1^5 (2x - 3)\,dx = 10 - (-2) = 12\)

Exercice 9 Primitives de fonctions usuelles — tableau complet Socle

Compléter le tableau en donnant une primitive de chaque fonction :

\(f(x)\)	\(F(x)\) (primitive)
\(7\)
\(x^4\)
\(2x^3\)
\(3x^2 + 5x\)
\(e^x\)
\(\dfrac{1}{x}\) (pour \(x > 0\))

Mes calculs :

\(f(x)\)	\(F(x)\)
\(7\)	\(7x\)
\(x^4\)	\(\dfrac{x^5}{5}\)
\(2x^3\)	\(\dfrac{x^4}{2}\)
\(3x^2 + 5x\)	\(x^3 + \dfrac{5x^2}{2}\)
\(e^x\)	\(e^x\)
\(\dfrac{1}{x}\)	\(\ln x\)

Exercice 10 Calculer une intégrale pour trouver une valeur numérique (guidé) Socle

Contexte : Un technicien chauffagiste mesure que la puissance (en kW) d'une chaudière varie selon \(P(t) = 2t + 1\) pour \(t \in [0\,;\,4]\) heures. L'énergie consommée (en kWh) est l'intégrale de la puissance.

Étape 1 : Trouver une primitive de \(P(t) = 2t + 1\).

Primitive de \(2t\) → \(t^2\). Primitive de \(1\) → \(t\). Donc \(F(t) = \boxed{\phantom{t^2 + t}}\)

Étape 2 : Calculer l'énergie sur \([0\,;\,4]\).

\(E = \displaystyle\int_0^4 (2t + 1)\,dt = [t^2 + t]_0^4\)
\(F(4) = 4^2 + 4 = \boxed{\phantom{20}}\)
\(F(0) = 0^2 + 0 = \boxed{\phantom{0}}\)
\(E = \boxed{\phantom{20}} - \boxed{\phantom{0}} = \boxed{\phantom{20}}\) kWh

Étape 3 : Calculer la puissance moyenne sur ces 4 heures.

\(\bar{P} = \dfrac{E}{b - a} = \dfrac{20}{\boxed{\phantom{4}}} = \boxed{\phantom{5}}\) kW

Mes calculs :

Étape 1 : \(F(t) = t^2 + t\)

Étape 2 : \(E = 20 - 0 =\) \(20\) kWh

Étape 3 : Puissance moyenne = \(5\) kW. Interprétation : sur ces 4 heures, la chaudière fonctionnerait de façon équivalente à une puissance constante de 5 kW.

Exercice 7 Aire sous une courbe (fonction positive) Standard

On considère la fonction \(f(x) = x^2\) sur l'intervalle \([0\,;3]\).

Aire sous la courbe \(f(x) = x^2\) entre \(x = 0\) et \(x = 3\)

1. La fonction \(f\) est-elle positive sur \([0\,;3]\) ?
2. Donner une primitive \(F(x)\) de \(f(x) = x^2\).
3. Calculer \(\displaystyle\int_0^3 x^2\,dx\).
4. En déduire l'aire, en unités d'aire, de la surface comprise entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites \(x = 0\) et \(x = 3\).

Réponses : ………………………………

Mes calculs :

1. Oui, \(x^2 \geq 0\) pour tout \(x\), donc \(f\) est positive sur \([0\,;3]\).

2. \(F(x) = \dfrac{x^3}{3}\)

3. \(\displaystyle\int_0^3 x^2\,dx = \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3 = \dfrac{27}{3} - 0 =\) \(9\)

4. Comme \(f\) est positive, l'aire est égale à l'intégrale : \(\mathcal{A} = 9\) u.a. (unités d'aire).

Exercice 8 Linéarité de l'intégrale Standard

On donne : \(\displaystyle\int_0^2 f(x)\,dx = 5\) et \(\displaystyle\int_0^2 g(x)\,dx = 3\).

Sans calculer les primitives, déterminer :
a) \(\displaystyle\int_0^2 3f(x)\,dx\)
b) \(\displaystyle\int_0^2 \bigl[f(x) + g(x)\bigr]\,dx\)
c) \(\displaystyle\int_0^2 \bigl[2f(x) - 4g(x)\bigr]\,dx\)

Réponses : ………………………………

Mes calculs :

Par linéarité de l'intégrale : \(\displaystyle\int_a^b \bigl[\alpha f + \beta g\bigr] = \alpha\int_a^b f + \beta\int_a^b g\).

a) \(\displaystyle\int_0^2 3f(x)\,dx = 3 \times 5 =\) \(15\)

b) \(\displaystyle\int_0^2 \bigl[f(x) + g(x)\bigr]\,dx = 5 + 3 =\) \(8\)

c) \(\displaystyle\int_0^2 \bigl[2f(x) - 4g(x)\bigr]\,dx = 2 \times 5 - 4 \times 3 = 10 - 12 =\) \(-2\)

Exercice 9 Relation de Chasles Standard

On donne : \(\displaystyle\int_0^3 f(x)\,dx = 7\) et \(\displaystyle\int_0^5 f(x)\,dx = 12\).

1. Rappeler la relation de Chasles pour les intégrales.
2. En déduire \(\displaystyle\int_3^5 f(x)\,dx\).
3. On sait aussi que \(\displaystyle\int_5^8 f(x)\,dx = 4\). Calculer \(\displaystyle\int_0^8 f(x)\,dx\).

Réponses : ………………………………

Mes calculs :

1. Relation de Chasles : pour \(a \leq c \leq b\),
\(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx\)

2. \(\displaystyle\int_0^5 f(x)\,dx = \int_0^3 f(x)\,dx + \int_3^5 f(x)\,dx\)
Donc \(\displaystyle\int_3^5 f(x)\,dx = 12 - 7 =\) \(5\)

3. \(\displaystyle\int_0^8 f(x)\,dx = \int_0^5 f(x)\,dx + \int_5^8 f(x)\,dx = 12 + 4 =\) \(16\)

Exercice 11 Calculer une intégrale avec une fonction polynomiale Standard

Calculer les intégrales suivantes :

a) \(\displaystyle\int_1^4 (x^2 + 2x)\,dx\)
b) \(\displaystyle\int_{-1}^{2} (3x^2 - x + 1)\,dx\)
c) \(\displaystyle\int_0^3 \sqrt{x}\,dx\)
Rappel : une primitive de \(\sqrt{x} = x^{1/2}\) est \(\dfrac{2}{3}\,x^{3/2}\)

Mes calculs :

a) Primitive : \(F(x) = \dfrac{x^3}{3} + x^2\).
\(F(4) = \dfrac{64}{3} + 16 = \dfrac{112}{3}\) ; \(F(1) = \dfrac{1}{3} + 1 = \dfrac{4}{3}\)
\(\displaystyle\int_1^4 (x^2 + 2x)\,dx = \dfrac{112}{3} - \dfrac{4}{3} = \dfrac{108}{3} = 36\)

b) Primitive : \(F(x) = x^3 - \dfrac{x^2}{2} + x\).
\(F(2) = 8 - 2 + 2 = 8\) ; \(F(-1) = -1 - \dfrac{1}{2} - 1 = -\dfrac{5}{2}\)
\(\displaystyle\int_{-1}^{2} (3x^2 - x + 1)\,dx = 8 - (-\dfrac{5}{2}) = \dfrac{21}{2} = 10{,}5\)

c) Primitive : \(F(x) = \dfrac{2}{3}\,x^{3/2}\).
\(F(3) = \dfrac{2}{3} \times 3\sqrt{3} = 2\sqrt{3}\) ; \(F(0) = 0\)
\(\displaystyle\int_0^3 \sqrt{x}\,dx = 2\sqrt{3} \approx 3{,}46\)

Exercice 12 Intégrale et aire — interprétation géométrique Standard

On considère la fonction \(f(x) = -x^2 + 9\) sur l'intervalle \([0\,;\,3]\).

1. Montrer que \(f(x) \geq 0\) sur \([0\,;\,3]\).
2. Calculer l'aire sous la courbe \(\displaystyle\mathcal{A} = \int_0^3 (-x^2 + 9)\,dx\).
3. Calculer l'aire du rectangle de base \([0\,;\,3]\) et de hauteur \(f(0) = 9\). Comparer avec l'intégrale.
4. En déduire la valeur moyenne de \(f\) sur \([0\,;\,3]\).

Mes calculs :

1. \(f(x) = -x^2 + 9 = (3-x)(3+x)\). Sur \([0\,;\,3]\), \(3-x \geq 0\) et \(3+x > 0\), donc \(f(x) \geq 0\) ✓

2. Primitive : \(F(x) = -\dfrac{x^3}{3} + 9x\).
\(F(3) = -9 + 27 = 18\) ; \(F(0) = 0\)
\(\mathcal{A} = 18\) u.a.

3. Rectangle : \(3 \times 9 = 27\) u.a. L'aire sous la courbe (18) est plus petite que l'aire du rectangle (27) car la parabole est décroissante sur \([0\,;\,3]\).

4. Valeur moyenne = \(\dfrac{18}{3} =\) \(6\)

Exercice 13 Appliquer la relation de Chasles — découpage d'intervalle Standard

On donne : \(\displaystyle\int_1^4 f(x)\,dx = 8\), \(\displaystyle\int_4^7 f(x)\,dx = 3\) et \(\displaystyle\int_7^{10} f(x)\,dx = -2\).

1. Rappeler la relation de Chasles.
2. Calculer \(\displaystyle\int_1^{10} f(x)\,dx\).
3. Calculer \(\displaystyle\int_4^{10} f(x)\,dx\).
4. Que représente \(\displaystyle\int_1^{10} |f(x)|\,dx\) si les portions positives et négatives ont les valeurs données ci-dessus ?

Mes calculs :

1. Relation de Chasles : \(\displaystyle\int_a^c f = \int_a^b f + \int_b^c f\) pour tout \(b \in [a\,;c]\).

2. \(\displaystyle\int_1^{10} f = 8 + 3 + (-2) =\) \(9\)

3. \(\displaystyle\int_4^{10} f = 3 + (-2) =\) \(1\)

4. \(\displaystyle\int_1^{10} |f|\) = somme des valeurs absolues = \(8 + 3 + 2 =\) \(13\). C'est l'aire géométrique totale (toujours positive).

Exercice 14 Valeur moyenne — température d'un local Standard

Contexte : Un technicien d'agencement surveille la température (en °C) d'un atelier de vernissage qui doit être maintenue pour assurer le séchage correct des produits. La température suit le modèle \(T(t) = -0{,}5t^2 + 4t + 18\) pour \(t \in [0\,;\,6]\) heures.

1. Calculer \(T(0)\), \(T(3)\) et \(T(6)\). La température est-elle montée ou descendue ?
2. Calculer \(\displaystyle\int_0^6 T(t)\,dt\).
3. En déduire la température moyenne sur les 6 heures.
4. La norme de vernissage exige une température moyenne entre 18 °C et 25 °C. L'atelier est-il conforme ?

Mes calculs :

1. \(T(0) = 18\) °C, \(T(3) = -4{,}5 + 12 + 18 = 25{,}5\) °C, \(T(6) = -18 + 24 + 18 = 24\) °C.
La température est montée puis légèrement redescendue.

2. Primitive : \(F(t) = -\dfrac{t^3}{6} + 2t^2 + 18t\).
\(F(6) = -36 + 72 + 108 = 144\) ; \(F(0) = 0\)
\(\displaystyle\int_0^6 T(t)\,dt = 144\)

3. Température moyenne = \(\dfrac{144}{6} =\) \(24\) °C

4. \(18 \leq 24 \leq 25\) : l'atelier est conforme à la norme de vernissage.

Exercice 15 Linéarité de l'intégrale — application numérique Standard

On sait que \(\displaystyle\int_0^4 f(x)\,dx = 10\), \(\displaystyle\int_0^4 g(x)\,dx = -2\) et \(\displaystyle\int_0^4 h(x)\,dx = 6\).

Calculer, sans nouvelles primitives, les intégrales suivantes :
a) \(\displaystyle\int_0^4 \bigl[f(x) + g(x)\bigr]\,dx\)
b) \(\displaystyle\int_0^4 \bigl[2f(x) - 3g(x)\bigr]\,dx\)
c) \(\displaystyle\int_0^4 \bigl[f(x) + g(x) + h(x)\bigr]\,dx\)
d) \(\displaystyle\int_4^0 f(x)\,dx\)

Mes calculs :

a) \(10 + (-2) =\) \(8\)

b) \(2 \times 10 - 3 \times (-2) = 20 + 6 =\) \(26\)

c) \(10 + (-2) + 6 =\) \(14\)

d) Inverser les bornes change le signe : \(\displaystyle\int_4^0 f(x)\,dx = -\displaystyle\int_0^4 f(x)\,dx =\) \(-10\)

Exercice 16 Aire sous une courbe — contexte professionnel Standard

Contexte : Un installateur thermique étudie la courbe de charge d'une installation solaire. La puissance captée (en kW) suit le modèle \(P(t) = 3t - t^2\) pour \(t \in [0\,;\,3]\) heures (temps mesuré à partir de 9 h du matin).

1. Calculer \(P(0)\), \(P(1{,}5)\) et \(P(3)\). Interpréter la valeur \(P(3)\).
2. La fonction est-elle positive sur \([0\,;\,3]\) ? (Étudier le signe de \(t(3-t)\))
3. Calculer l'énergie captée sur ces 3 heures : \(E = \displaystyle\int_0^3 (3t - t^2)\,dt\).
4. Calculer la puissance moyenne captée.

Mes calculs :

1. \(P(0) = 0\) kW, \(P(1{,}5) = 4{,}5 - 2{,}25 = 2{,}25\) kW (maximum), \(P(3) = 9 - 9 = 0\) kW.
\(P(3) = 0\) signifie l'installation solaire ne produit plus à cet instant (ex : crépuscule).

2. \(P(t) = t(3-t)\). Sur \([0\,;\,3]\), \(t \geq 0\) et \(3-t \geq 0\), donc \(P(t) \geq 0\) ✓

3. Primitive : \(F(t) = \dfrac{3t^2}{2} - \dfrac{t^3}{3}\).
\(F(3) = \dfrac{27}{2} - 9 = 13{,}5 - 9 = 4{,}5\) ; \(F(0) = 0\)
\(E = 4{,}5\) kWh

4. Puissance moyenne = \(\dfrac{4{,}5}{3} =\) \(1{,}5\) kW

Exercice 17 Intégrale et débit volumique Standard

Contexte : Un plombier chauffagiste mesure le débit d'eau (en litres par minute) dans un circuit de chauffage lors du remplissage. Le débit suit la loi \(Q(t) = 4 - 0{,}5t\) pour \(t \in [0\,;\,8]\) minutes.

1. À quel instant le débit s'annule-t-il ?
2. Calculer le volume total d'eau qui passe dans le circuit pendant ces 8 minutes : \(V = \displaystyle\int_0^8 Q(t)\,dt\).
3. Interpréter le signe de l'intégrale pour \(t \in [0\,;\,8]\) sachant que \(Q\) change de signe en \(t = 8\). (Attention : si \(Q(t) < 0\), l'intégrale est négative).
Indication : calculer séparément les deux parties.

Mes calculs :

1. \(Q(t) = 0\) → \(4 - 0{,}5t = 0\) → \(t = 8\) minutes (le débit s'annule exactement en fin d'intervalle).

2. Primitive : \(F(t) = 4t - \dfrac{t^2}{4}\).
\(F(8) = 32 - 16 = 16\) ; \(F(0) = 0\)
\(V = 16\) litres

3. Sur \([0\,;\,8]\), \(Q(t) \geq 0\) (le débit reste positif jusqu'à \(t = 8\)), donc l'intégrale est positive : 16 litres d'eau ont été injectés dans le circuit.

Exercice 10 Aire entre deux courbes Approfondissement

On considère \(f(x) = x^2 + 1\) et \(g(x) = 2x + 1\) sur l'intervalle \([0\,;2]\).

Aire entre \(f(x) = x^2 + 1\) et \(g(x) = 2x + 1\) sur \([0\,;2]\)

1. Calculer \(f(0)\), \(f(2)\), \(g(0)\) et \(g(2)\).
2. Pour \(x \in [0\,;2]\), quelle courbe est au-dessus ? Justifier en calculant \(f(x) - g(x)\).
3. Calculer l'aire entre les deux courbes : \(\displaystyle\mathcal{A} = \int_0^2 \bigl|f(x) - g(x)\bigr|\,dx\).

Réponses : ………………………………

Mes calculs :

1. \(f(0) = 1\), \(f(2) = 5\), \(g(0) = 1\), \(g(2) = 5\).

2. \(f(x) - g(x) = x^2 + 1 - 2x - 1 = x^2 - 2x = x(x-2)\).
Sur \(]0\,;2[\), \(x > 0\) et \(x - 2 < 0\) donc \(f(x) - g(x) < 0\) : \(g\) est au-dessus de \(f\).

3. \(\mathcal{A} = \displaystyle\int_0^2 \bigl[g(x) - f(x)\bigr]\,dx = \int_0^2 (2x - x^2)\,dx\)
Primitive : \(F(x) = x^2 - \dfrac{x^3}{3}\)
\(\mathcal{A} = \left[x^2 - \dfrac{x^3}{3}\right]_0^2 = \left(4 - \dfrac{8}{3}\right) - 0 = \dfrac{12 - 8}{3} = \dfrac{4}{3}\)
\(\mathcal{A} = \dfrac{4}{3} \approx 1{,}33\) u.a.

Exercice 11 Aire avec changement de signe Approfondissement

On considère \(f(x) = x^2 - 4\) sur l'intervalle \([0\,;3]\).

Fonction \(f(x) = x^2 - 4\) — changement de signe en \(x = 2\)

1. Résoudre \(f(x) = 0\) sur \([0\,;3]\). On note \(c\) la solution positive.
2. Déterminer le signe de \(f\) sur \([0\,;c]\) puis sur \([c\,;3]\).
3. Calculer séparément \(\displaystyle\int_0^c f(x)\,dx\) et \(\displaystyle\int_c^3 f(x)\,dx\).
4. En déduire l'aire totale entre la courbe et l'axe des abscisses sur \([0\,;3]\).

Réponses : ………………………………

Mes calculs :

1. \(x^2 - 4 = 0 \Leftrightarrow x^2 = 4 \Leftrightarrow x = 2\) (on garde la solution positive). \(c = 2\).

2. Sur \([0\,;2]\) : \(x^2 < 4\) donc \(f(x) < 0\). Sur \([2\,;3]\) : \(x^2 > 4\) donc \(f(x) > 0\).

3. Primitive : \(F(x) = \dfrac{x^3}{3} - 4x\).
\(\displaystyle\int_0^2 (x^2 - 4)\,dx = \left[\dfrac{x^3}{3} - 4x\right]_0^2 = \dfrac{8}{3} - 8 = -\dfrac{16}{3}\)
\(\displaystyle\int_2^3 (x^2 - 4)\,dx = \left[\dfrac{x^3}{3} - 4x\right]_2^3 = (9 - 12) - \left(\dfrac{8}{3} - 8\right) = -3 + \dfrac{16}{3} = \dfrac{7}{3}\)

4. L'aire totale est la somme des valeurs absolues :
\(\mathcal{A} = \left|-\dfrac{16}{3}\right| + \dfrac{7}{3} = \dfrac{16}{3} + \dfrac{7}{3} = \dfrac{23}{3}\)
\(\mathcal{A} = \dfrac{23}{3} \approx 7{,}67\) u.a.

Exercice 12 Valeur moyenne d'une fonction Approfondissement

On considère \(f(x) = -x^2 + 6x\) sur l'intervalle \([0\,;6]\).

1. Rappeler la formule de la valeur moyenne \(\mu\) de \(f\) sur \([a\,;b]\).
2. Calculer \(\displaystyle\int_0^6 (-x^2 + 6x)\,dx\).
3. En déduire la valeur moyenne de \(f\) sur \([0\,;6]\).
4. Interpréter graphiquement cette valeur moyenne.

Fonction \(f(x) = -x^2 + 6x\) et sa valeur moyenne sur \([0\,;6]\)

Réponses : ………………………………

Mes calculs :

1. \(\mu = \dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\)

2. Primitive : \(F(x) = -\dfrac{x^3}{3} + 3x^2\).
\(\displaystyle\int_0^6 (-x^2 + 6x)\,dx = \left[-\dfrac{x^3}{3} + 3x^2\right]_0^6 = (-72 + 108) - 0 = 36\)

3. \(\mu = \dfrac{1}{6-0} \times 36 = \dfrac{36}{6} =\) \(6\)

4. La valeur moyenne \(\mu = 6\) est la hauteur du rectangle de même base \([0\,;6]\) qui aurait la même aire (36 u.a.) que la surface sous la courbe.

Exercice 13 Énergie consommée par un système de chauffage Approfondissement

Contexte : Un technicien chauffagiste relève la puissance électrique \(P(t)\) (en kW) d'une pompe à chaleur au cours d'une journée. Le temps \(t\) est exprimé en heures, avec \(t = 0\) à 6 h du matin. La puissance suit le modèle : \(P(t) = -0{,}05t^2 + 0{,}8t + 1\) pour \(t \in [0\,;12]\).

Puissance \(P(t)\) (kW) de la pompe à chaleur — aire = énergie

1. Calculer \(P(0)\), \(P(6)\) et \(P(12)\). Interpréter chaque valeur.
2. L'énergie consommée entre \(t = 0\) et \(t = 12\) est donnée par \(\displaystyle E = \int_0^{12} P(t)\,dt\). Calculer cette énergie (en kWh).
3. Calculer la puissance moyenne sur cette période.
4. Le prix de l'électricité est de 0,18 €/kWh. Quel est le coût de fonctionnement sur ces 12 heures ?

Réponses : ………………………………

Mes calculs :

1.
\(P(0) = 1\) kW : puissance au démarrage (6 h).
\(P(6) = -0{,}05 \times 36 + 4{,}8 + 1 = -1{,}8 + 5{,}8 =\) \(4\) kW : puissance maximale vers midi.
\(P(12) = -0{,}05 \times 144 + 9{,}6 + 1 = -7{,}2 + 10{,}6 =\) \(3{,}4\) kW : puissance à 18 h.

2. Primitive de \(P(t)\) : \(F(t) = -\dfrac{0{,}05t^3}{3} + 0{,}4t^2 + t\).
\(E = \left[-\dfrac{0{,}05t^3}{3} + 0{,}4t^2 + t\right]_0^{12}\)
\(E = -\dfrac{0{,}05 \times 1728}{3} + 0{,}4 \times 144 + 12 = -28{,}8 + 57{,}6 + 12 =\) \(40{,}8\) kWh

3. Puissance moyenne : \(\mu = \dfrac{E}{12} = \dfrac{40{,}8}{12} =\) \(3{,}4\) kW

4. Coût = \(40{,}8 \times 0{,}18 =\) \(7{,}34\) € sur les 12 heures de fonctionnement.

Exercice 14 Température moyenne d'un local technique Approfondissement

Contexte : Un installateur thermique surveille la température \(T(t)\) (en °C) d'un local technique pendant 8 heures. Le modèle est : \(T(t) = 0{,}1t^2 - 1{,}2t + 22\) pour \(t \in [0\,;8]\), avec \(t\) en heures.

1. Calculer \(T(0)\) et \(T(8)\). Le local s'est-il réchauffé ou refroidi ?
2. La norme exige une température moyenne \(\geq 18\) °C. Calculer la température moyenne \(\mu\) sur \([0\,;8]\).
3. Le local est-il conforme à la norme ?

Réponses : ………………………………

Mes calculs :

1. \(T(0) = 22\) °C, \(T(8) = 0{,}1 \times 64 - 9{,}6 + 22 = 6{,}4 - 9{,}6 + 22 =\) \(18{,}8\) °C.
Le local s'est refroidi de 22 °C à 18,8 °C.

2. Primitive : \(F(t) = \dfrac{0{,}1t^3}{3} - 0{,}6t^2 + 22t\).
\(\displaystyle\int_0^8 T(t)\,dt = \left[\dfrac{0{,}1t^3}{3} - 0{,}6t^2 + 22t\right]_0^8 = \dfrac{0{,}1 \times 512}{3} - 0{,}6 \times 64 + 176\)
\(= 17{,}07 - 38{,}4 + 176 = 154{,}67\)
\(\mu = \dfrac{154{,}67}{8} \approx\) \(19{,}3\) °C

3. \(\mu \approx 19{,}3\) °C \(\geq 18\) °C : le local est conforme à la norme.

Exercice 15 Section et volume d'un élément en bois cintré Approfondissement

Contexte : Un menuisier agenceur fabrique un habillage mural dont le profil supérieur suit la courbe \(y = -0{,}25x^2 + 4\) (en cm), pour \(x \in [-4\,;4]\). La base est au niveau \(y = 0\). L'habillage a une profondeur constante de 30 cm.

Profil du panneau cintré — section = aire sous la courbe

1. Vérifier que la courbe coupe l'axe des abscisses en \(x = -4\) et \(x = 4\).
2. Calculer l'aire de la section transversale \(\displaystyle\mathcal{A} = \int_{-4}^{4} (-0{,}25x^2 + 4)\,dx\).
3. En déduire le volume de l'habillage en cm³, puis en dm³.
4. Le bois utilisé a une masse volumique de 0,6 kg/dm³. Calculer la masse de la pièce.

Réponses : ………………………………

Mes calculs :

1. \(y(-4) = -0{,}25 \times 16 + 4 = -4 + 4 = 0\) ✓ et \(y(4) = 0\) ✓. La courbe coupe bien l'axe en \(x = \pm 4\).

2. Primitive : \(F(x) = -\dfrac{0{,}25x^3}{3} + 4x = -\dfrac{x^3}{12} + 4x\).
\(\mathcal{A} = \left[-\dfrac{x^3}{12} + 4x\right]_{-4}^{4} = \left(-\dfrac{64}{12} + 16\right) - \left(\dfrac{64}{12} - 16\right)\)
\(= \left(-\dfrac{16}{3} + 16\right) - \left(\dfrac{16}{3} - 16\right) = -\dfrac{32}{3} + 32 = \dfrac{64}{3}\)
\(\mathcal{A} = \dfrac{64}{3} \approx 21{,}3\) cm²

3. Volume = section × profondeur = \(\dfrac{64}{3} \times 30 = 640\) cm³.
\(V = 640\) cm³ \(= 0{,}64\) dm³

4. Masse = \(0{,}64 \times 0{,}6 =\) \(0{,}384\) kg ≈ 384 g.

Exercice 18 Aire entre deux courbes — profilé de façade Approfondissement

Contexte : Un technicien d'agencement conçoit un profilé décoratif pour une façade. La section transversale est délimitée par deux courbes : la courbe supérieure \(f(x) = x^2 + 2\) et la courbe inférieure \(g(x) = x + 2\) sur un intervalle à déterminer.

1. Trouver les points d'intersection de \(f\) et \(g\) en résolvant \(f(x) = g(x)\).
2. Sur l'intervalle trouvé, déterminer quelle courbe est au-dessus.
3. Calculer l'aire entre les deux courbes.
4. Le profilé a une longueur de 2 m. Calculer le volume de matière (en cm³), sachant que la section est en cm².

Mes calculs :

1. \(x^2 + 2 = x + 2\) → \(x^2 - x = 0\) → \(x(x-1) = 0\)
\(x = 0\) ou \(x = 1\)

2. Pour \(x \in ]0\,;\,1[\), tester en \(x = 0{,}5\) : \(f(0{,}5) = 2{,}25 > g(0{,}5) = 2{,}5\)... non. \(g(0{,}5) = 2{,}5 > f(0{,}5) = 2{,}25\). Donc \(g\) est au-dessus de \(f\) sur \([0\,;\,1]\).

3. \(\mathcal{A} = \displaystyle\int_0^1 [g(x) - f(x)]\,dx = \int_0^1 (x + 2 - x^2 - 2)\,dx = \int_0^1 (x - x^2)\,dx\)
Primitive : \(F(x) = \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^3}{3}\).
\(F(1) = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}\) ; \(F(0) = 0\)
\(\mathcal{A} = \dfrac{1}{6} \approx 0{,}167\) cm²

4. Volume = Section × Longueur = \(\dfrac{1}{6}\) cm² × 200 cm = \(\dfrac{200}{6} \approx 33{,}3\) cm³

Exercice 19 Intégrale et bilan thermique journalier Approfondissement

Contexte : Un ingénieur thermicien calcule le bilan thermique d'un bâtiment de bureaux sur une journée. Les apports solaires \(A(t)\) (en kW) et les pertes thermiques \(P(t)\) (en kW) sont modélisés par des fonctions du temps \(t\) (en heures, de 0 à 24 h).

Sur la plage \([8\,;\,18]\) heures (heures d'occupation) :

\(A(t) = -0{,}1(t-13)^2 + 8\) (apports solaires maximaux à 13 h)
\(P(t) = 2\) (pertes constantes)

1. Calculer \(A(8)\), \(A(13)\) et \(A(18)\).
2. Calculer l'énergie solaire totale captée : \(E_A = \displaystyle\int_8^{18} A(t)\,dt\).
3. Calculer l'énergie perdue : \(E_P = \displaystyle\int_8^{18} P(t)\,dt\).
4. Calculer le bilan net \(E_{\text{net}} = E_A - E_P\). Le bâtiment est-il en excédent ou en déficit thermique ?
5. Pour quel(s) intervalle(s) les apports sont-ils supérieurs aux pertes ?

Mes calculs :

1. \(A(8) = -0{,}1 \times 25 + 8 = 5{,}5\) kW ; \(A(13) = 8\) kW (maximum) ; \(A(18) = 5{,}5\) kW.

2. Primitive de \(A(t) = -0{,}1(t-13)^2 + 8\) : on pose \(u = t-13\), primitive de \(-0{,}1u^2 + 8\) est \(-\dfrac{0{,}1u^3}{3} + 8u\).
\(E_A = \left[-\dfrac{0{,}1(t-13)^3}{3} + 8(t-13)\right]_8^{18}\)
En \(t=18\) : \(u=5\) → \(-\dfrac{0{,}1 \times 125}{3} + 40 = -4{,}167 + 40 = 35{,}833\)
En \(t=8\) : \(u=-5\) → \(-\dfrac{0{,}1 \times (-125)}{3} + 8 \times (-5) = 4{,}167 - 40 = -35{,}833\)
\(E_A = 35{,}833 - (-35{,}833) = 71{,}67\) kWh

3. \(E_P = 2 \times (18 - 8) =\) \(20\) kWh

4. \(E_{\text{net}} = 71{,}67 - 20 =\) \(51{,}67\) kWh → excédent thermique. Le bâtiment reçoit plus d'énergie qu'il n'en perd.

5. \(A(t) > P(t)\) quand \(-0{,}1(t-13)^2 + 8 > 2\) → \((t-13)^2 < 60\) → \(|t-13| < \sqrt{60} \approx 7{,}75\)
\(t \in [5{,}25\,;\,20{,}75]\), soit pratiquement toute la plage d'occupation \([8\,;\,18]\).

Exercice 20 Calcul de volume par intégration — solide de révolution simplifié Approfondissement

Contexte : Un menuisier agenceur tourne une colonne décorative sur son tour à bois. Le profil de la colonne (rayon en cm en fonction de la hauteur \(x\) en cm) suit la loi \(r(x) = 2 + 0{,}5\,\sqrt{x}\) pour \(x \in [0\,;\,16]\).

Le volume d'un solide de révolution est : \(V = \pi \displaystyle\int_0^{16} [r(x)]^2\,dx\)

1. Calculer \(r(0)\) et \(r(16)\). Interpréter (rayon en bas et en haut de la colonne).
2. Développer \([r(x)]^2 = (2 + 0{,}5\sqrt{x})^2\).
3. Calculer \(\displaystyle\int_0^{16} [r(x)]^2\,dx\).
Rappel : une primitive de \(\sqrt{x}\) est \(\dfrac{2}{3}x^{3/2}\) et de \(x\) est \(\dfrac{x^2}{2}\).
4. En déduire le volume \(V\) en cm³, puis en dm³. (Prendre \(\pi \approx 3{,}14159\))

Mes calculs :

1. \(r(0) = 2\) cm (rayon en bas), \(r(16) = 2 + 0{,}5 \times 4 = 4\) cm (rayon en haut).
La colonne s'élargit de 2 cm à 4 cm de rayon sur 16 cm de hauteur.

2. \([r(x)]^2 = 4 + 2\sqrt{x} + 0{,}25x\)

3. Primitive : \(F(x) = 4x + 2 \times \dfrac{2}{3}x^{3/2} + 0{,}25 \times \dfrac{x^2}{2} = 4x + \dfrac{4}{3}x^{3/2} + \dfrac{x^2}{8}\)
\(F(16) = 64 + \dfrac{4}{3} \times 64 + \dfrac{256}{8} = 64 + 85{,}33 + 32 = 181{,}33\)
\(F(0) = 0\)
\(\displaystyle\int_0^{16} [r(x)]^2\,dx \approx 181{,}33\) cm²·cm

4. \(V = \pi \times 181{,}33 \approx 3{,}14159 \times 181{,}33 \approx\) \(569{,}7\) cm³ ≈ 0,570 dm³

Exercice 21 Intégrale avec changement de signe — puissance nette Approfondissement

Contexte : Un technicien en énergies renouvelables analyse une éolienne. La puissance nette (en kW) — différence entre la puissance produite et les pertes du réseau — suit le modèle \(P(t) = t^2 - 8t + 12\) pour \(t \in [0\,;\,8]\) heures.

1. Calculer les racines de \(P(t) = 0\). Étudier le signe de \(P\) sur \([0\,;\,8]\).
2. Calculer l'intégrale algébrique \(\displaystyle\int_0^8 P(t)\,dt\). Interpréter le résultat.
3. Calculer l'énergie effectivement produite (en valeur absolue) : \(\displaystyle\int_0^2 P(t)\,dt + \left|\displaystyle\int_2^6 P(t)\,dt\right| + \displaystyle\int_6^8 P(t)\,dt\).
4. Comment interpréter l'intervalle \([2\,;\,6]\) en termes d'exploitation de l'éolienne ?

Mes calculs :

1. \(t^2 - 8t + 12 = 0\) → \(\Delta = 64 - 48 = 16\) → \(t = 2\) ou \(t = 6\)
Signe : \(P(t) > 0\) sur \([0\,;\,2[\) et \(]6\,;\,8]\), \(P(t) < 0\) sur \(]2\,;\,6[\).

2. Primitive : \(F(t) = \dfrac{t^3}{3} - 4t^2 + 12t\).
\(F(8) = \dfrac{512}{3} - 256 + 96 = 170{,}67 - 160 = 10{,}67\) ; \(F(0) = 0\)
\(\displaystyle\int_0^8 P(t)\,dt \approx 10{,}67\) kWh (bilan global légèrement positif)

3.
\(\displaystyle\int_0^2 P(t)\,dt = F(2) - F(0) = (\dfrac{8}{3} - 16 + 24) = \dfrac{8}{3} + 8 = \dfrac{32}{3} \approx 10{,}67\) kWh
\(\displaystyle\int_2^6 P(t)\,dt = F(6) - F(2) = (72 - 144 + 72) - \dfrac{32}{3} = 0 - \dfrac{32}{3} \approx -10{,}67\) kWh → valeur absolue : 10,67 kWh
\(\displaystyle\int_6^8 P(t)\,dt = F(8) - F(6) = \dfrac{32}{3} \approx 10{,}67\) kWh
Énergie totale = \(\dfrac{32}{3} + \dfrac{32}{3} + \dfrac{32}{3} = 32\) kWh

4. Sur \([2\,;\,6]\), \(P(t) < 0\) : l'éolienne consomme plus qu'elle ne produit (vent faible, pertes réseau dominantes). Cette période correspond à une exploitation déficitaire.