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Devoir Surveillé – Chapitre 8

Calcul intégral  |  Tle Bac Pro

🎯 Objectifs du chapitre cliquer pour développer
🕑 Durée : 1 heure
🧮 Calculatrice : autorisée
✍ Barème : 20 points
📄 Documents : non autorisés
Exercice 1 – Primitives et intégrale définie (guidé) 10 points
1. (4 pts) Compléter le tableau des primitives suivant :
Rappel : la primitive de \(x^n\) est \(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\). La primitive d'une constante \(k\) est \(kx\).
\(f(x)\)Primitive \(F(x)\)
\(4\)…………
\(x\)…………
\(3x^2\)…………
\(6x + 2\)…………
2. (3 pts) Calculer \(\displaystyle\int_1^3 (6x + 2)\,dx\) en suivant les étapes :

Étape 1 : La primitive de \(6x + 2\) est \(F(x) = \) …………
Étape 2 : \(F(3) = \) …………
Étape 3 : \(F(1) = \) …………
Étape 4 : \(\displaystyle\int_1^3 (6x + 2)\,dx = F(3) - F(1) = \) …………

3. (3 pts) Calculer \(\displaystyle\int_0^2 3x^2\,dx\) en détaillant les 4 étapes.

1. Primitives : \(4 \to 4x\) ; \(x \to \dfrac{x^2}{2}\) ; \(3x^2 \to x^3\) ; \(6x + 2 \to 3x^2 + 2x\).

2. \(F(x) = 3x^2 + 2x\). \(F(3) = 27 + 6 = 33\). \(F(1) = 3 + 2 = 5\).
\(\displaystyle\int_1^3 (6x + 2)\,dx = 33 - 5 = 28\).

3. Primitive de \(3x^2\) : \(F(x) = x^3\). \(F(2) = 8\), \(F(0) = 0\).
\(\displaystyle\int_0^2 3x^2\,dx = 8 - 0 = 8\).

Exercice 2 – Aire et consommation d'énergie (guidé) 10 points
Contexte : Un technicien chauffagiste mesure la puissance électrique \(P(t)\) (en kW) d'un radiateur électrique pendant 4 heures. Le modèle est : \(P(t) = -t^2 + 4t + 1\) pour \(t \in [0\,;\,4]\).
1. (2 pts) Calculer \(P(0)\) et \(P(2)\). Interpréter.

\(P(0) = -(0)^2 + 4 \times 0 + 1 = \) ……
\(P(2) = -(2)^2 + 4 \times 2 + 1 = \) ……

2. (2 pts) La fonction \(P(t)\) est-elle positive sur \([0\,;\,4]\) ? Vérifier en calculant aussi \(P(4)\).
3. (3 pts) L'énergie consommée est \(E = \displaystyle\int_0^4 P(t)\,dt\). Calculer cette énergie en complétant :

Primitive de \(P(t) = -t^2 + 4t + 1\) :
\(F(t) = -\dfrac{t^3}{\boxed{\phantom{3}}} + \dfrac{4t^2}{\boxed{\phantom{2}}} + t = -\dfrac{t^3}{3} + 2t^2 + t\)
\(F(4) = -\dfrac{64}{3} + 32 + 4 = -\dfrac{64}{3} + 36 = \dfrac{-64 + 108}{3} = \dfrac{44}{3}\)
\(F(0) = 0\)
\(E = F(4) - F(0) = \) …… kWh

4. (3 pts) Calculer la puissance moyenne sur \([0\,;\,4]\). Le prix du kWh est 0,20 €. Calculer le coût.

Puissance moyenne : \(\mu = \dfrac{E}{b - a} = \dfrac{\boxed{\phantom{\frac{44}{3}}}}{4 - 0} = \) …… kW
Coût : \(E \times 0{,}20 = \) …… €

1. \(P(0) = 1\) kW (puissance au démarrage). \(P(2) = -4 + 8 + 1 = 5\) kW (puissance maximale à mi-parcours).

2. \(P(4) = -16 + 16 + 1 = 1\) kW. On vérifie que \(P(t) > 0\) sur \([0\,;\,4]\) (la parabole ne descend pas sous zéro sur cet intervalle).

3. \(F(t) = -\dfrac{t^3}{3} + 2t^2 + t\). \(F(4) = \dfrac{44}{3} \approx 14{,}67\). \(F(0) = 0\). \(E = \dfrac{44}{3} \approx 14{,}67\) kWh.

4. \(\mu = \dfrac{44/3}{4} = \dfrac{44}{12} = \dfrac{11}{3} \approx 3{,}67\) kW. Coût : \(\dfrac{44}{3} \times 0{,}20 \approx 2{,}93\) €.

TOTAL : 20 points
Exercice 1 – Primitives et intégrales définies 7 points
1. (3 pts) Déterminer une primitive \(F(x)\) de chacune des fonctions suivantes :

a) \(f(x) = 3x^2 - 4x + 1\)

b) \(g(x) = \dfrac{1}{x}\) sur \(]0\,;\,+\infty[\)

c) \(h(x) = 2e^{x}\)

2. (2 pts) Calculer l'intégrale \(\displaystyle\int_1^3 (3x^2 - 4x + 1)\,dx\).
3. (2 pts) Calculer l'intégrale \(\displaystyle\int_0^1 2e^{x}\,dx\). Donner la valeur exacte puis la valeur approchée au centième.

1.a) \(F(x) = x^3 - 2x^2 + x\) (on vérifie : \(F'(x) = 3x^2 - 4x + 1 = f(x)\) ✓).

1.b) \(G(x) = \ln(x)\) sur \(]0\,;\,+\infty[\).

1.c) \(H(x) = 2e^{x}\) (la dérivée de \(e^x\) est \(e^x\)).

2. \(\displaystyle\int_1^3 (3x^2 - 4x + 1)\,dx = \Big[x^3 - 2x^2 + x\Big]_1^3\)
\(= (27 - 18 + 3) - (1 - 2 + 1) = 12 - 0 = 12\).

3. \(\displaystyle\int_0^1 2e^{x}\,dx = \Big[2e^{x}\Big]_0^1 = 2e^1 - 2e^0 = 2e - 2 = 2(e-1)\).
Valeur approchée : \(2(e-1) \approx 2 \times 1{,}7183 \approx 3{,}44\).

Exercice 2 – Aire sous une courbe et entre deux courbes 7 points
1. (3 pts) On considère la fonction \(f(x) = x^2\) sur l'intervalle \([0\,;\,3]\). Calculer l'aire \(\mathcal{A}_1\), en unités d'aire, de la surface comprise entre la courbe de \(f\), l'axe des abscisses et les droites \(x = 0\) et \(x = 3\).
2. (4 pts) On considère les fonctions \(f(x) = x^2\) et \(g(x) = 2x\) sur \([0\,;\,2]\).

a) Vérifier que les courbes se croisent en \(x = 0\) et \(x = 2\).

b) Étudier le signe de \(g(x) - f(x)\) sur \([0\,;\,2]\).

c) Calculer l'aire \(\mathcal{A}_2\) comprise entre les deux courbes sur \([0\,;\,2]\).

1. \(\mathcal{A}_1 = \displaystyle\int_0^3 x^2\,dx = \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3 = \dfrac{27}{3} - 0 = 9\) u.a.

2.a) En \(x = 0\) : \(f(0) = 0\) et \(g(0) = 0\) ✓. En \(x = 2\) : \(f(2) = 4\) et \(g(2) = 4\) ✓.

2.b) \(g(x) - f(x) = 2x - x^2 = x(2 - x)\). Pour \(x \in [0\,;\,2]\), on a \(x \geq 0\) et \(2-x \geq 0\), donc \(g(x) - f(x) \geq 0\) : la courbe de \(g\) est au-dessus de celle de \(f\).

2.c) \(\mathcal{A}_2 = \displaystyle\int_0^2 (g(x) - f(x))\,dx = \int_0^2 (2x - x^2)\,dx = \left[x^2 - \dfrac{x^3}{3}\right]_0^2\)
\(= \left(4 - \dfrac{8}{3}\right) - 0 = \dfrac{12 - 8}{3} = \dfrac{4}{3} \approx 1{,}33\) u.a.

Exercice 3 – Énergie consommée par une chaudière (contexte professionnel) 6 points
Contexte : Un technicien chauffagiste étudie la consommation d'une chaudière au gaz pendant une journée d'hiver. La puissance en kW absorbée par la chaudière entre \(t = 0\) h et \(t = 8\) h (période de chauffage matinal) est modélisée par : \[P(t) = -0{,}5t^2 + 4t + 12 \quad \text{(en kW, pour } t \in [0\,;\,8]\text{)}\]
1. (1,5 pt) Calculer la puissance à \(t = 0\) h et à \(t = 4\) h. Interpréter.
2. (1,5 pt) Vérifier que la puissance maximale est atteinte à \(t = 4\) h en calculant \(P'(t)\) et en cherchant quand \(P'(t) = 0\).
3. (3 pts) L'énergie totale consommée (en kWh) sur les 8 heures est donnée par \(\displaystyle E = \int_0^8 P(t)\,dt\). Calculer cette énergie. Arrondir au dixième.

1. \(P(0) = 0 + 0 + 12 = 12\) kW : la chaudière démarre à 12 kW.
\(P(4) = -0{,}5 \times 16 + 16 + 12 = -8 + 16 + 12 = 20\) kW : la puissance maximale est de 20 kW à 4 h.

2. \(P'(t) = -t + 4\). On résout \(P'(t) = 0\) : \(-t + 4 = 0\) soit \(t = 4\).
Pour \(t < 4\), \(P'(t) > 0\) (croissante) et pour \(t > 4\), \(P'(t) < 0\) (décroissante). Le maximum est bien atteint en \(t = 4\).

3. Une primitive de \(P(t) = -0{,}5t^2 + 4t + 12\) est :
\(F(t) = -\dfrac{0{,}5}{3}t^3 + 2t^2 + 12t = -\dfrac{t^3}{6} + 2t^2 + 12t\).
\(E = \Big[F(t)\Big]_0^8 = F(8) - F(0)\)
\(F(8) = -\dfrac{512}{6} + 2 \times 64 + 96 = -85{,}33 + 128 + 96 = 138{,}67\)
\(F(0) = 0\)
\(E \approx 138{,}7\) kWh.
La chaudière consomme environ 138,7 kWh sur les 8 heures de chauffage matinal.

TOTAL : 20 points
Exercice 1 – Volume d'un réservoir par intégration 10 points
Contexte : Un bureau d'études conçoit un réservoir d'eau chaude dont la section transversale varie le long de sa longueur \(x\) (en dm), pour \(x \in [0\,;\,6]\). L'aire de la section à la position \(x\) est modélisée par \(S(x) = -\dfrac{1}{3}x^2 + 2x + 3\) (en dm²).
1. (2 pts) Calculer \(S(0)\), \(S(3)\) et \(S(6)\). Interpréter l'évolution de la section.
2. (3 pts) Le volume du réservoir est donné par \(\displaystyle V = \int_0^6 S(x)\,dx\). Calculer ce volume en dm³.
3. (2 pts) Convertir ce volume en litres. Le réservoir est-il adapté pour une installation domestique nécessitant au minimum 30 litres ?
4. (3 pts) On souhaite connaître le débit moyen \(Q_m\) (en dm³/dm) de la section le long du réservoir. Calculer la section moyenne \(\mu_S\) de \(S\) sur \([0\,;\,6]\). En déduire si la conception est homogène (section moyenne proche de la section médiane).

1. \(S(0) = 3\) dm², \(S(3) = -3 + 6 + 3 = 6\) dm², \(S(6) = -12 + 12 + 3 = 3\) dm². La section augmente jusqu'au milieu puis revient à sa valeur initiale : le réservoir est plus large au centre.

2. Primitive : \(F(x) = -\dfrac{x^3}{9} + x^2 + 3x\).
\(V = F(6) - F(0) = \left(-\dfrac{216}{9} + 36 + 18\right) - 0 = -24 + 36 + 18 = 30\) dm³.

3. \(V = 30\) dm³ \(= 30\) litres. Le réservoir atteint juste le minimum requis ; il est limité pour une installation domestique.

4. \(\mu_S = \dfrac{V}{6} = \dfrac{30}{6} = 5\) dm². La section médiane est \(S(3) = 6\) dm². L'écart est modéré (\(5\) vs \(6\)) : la conception est relativement homogène avec un léger renflement central.

Exercice 2 – Optimisation d'un coût énergétique 10 points
Contexte : Un gestionnaire de bâtiment analyse la consommation électrique d'un système de climatisation. La puissance (en kW) sur une période de 10 heures est modélisée par \(P(t) = 0{,}1t^2 - t + 4\) pour \(t \in [0\,;\,10]\). Le tarif heures pleines (de \(t = 0\) à \(t = 6\)) est de 0,22 €/kWh et le tarif heures creuses (de \(t = 6\) à \(t = 10\)) est de 0,15 €/kWh.
1. (2 pts) Vérifier que \(P(t) > 0\) pour tout \(t \in [0\,;\,10]\). On pourra étudier le discriminant de \(P(t) = 0\).
2. (3 pts) Calculer l'énergie consommée en heures pleines : \(\displaystyle E_1 = \int_0^6 P(t)\,dt\).
3. (3 pts) Calculer l'énergie consommée en heures creuses : \(\displaystyle E_2 = \int_6^{10} P(t)\,dt\). Utiliser la relation de Chasles : \(E_2 = \displaystyle\int_0^{10} P(t)\,dt - E_1\).
4. (2 pts) Calculer le coût total de fonctionnement sur les 10 heures. Quel pourcentage du coût est dû aux heures pleines ?

1. Discriminant de \(0{,}1t^2 - t + 4 = 0\) : \(\Delta = 1 - 4 \times 0{,}1 \times 4 = 1 - 1{,}6 = -0{,}6 < 0\). Pas de racine réelle, et \(P(0) = 4 > 0\), donc \(P(t) > 0\) sur \(\mathbb{R}\).

2. Primitive : \(F(t) = \dfrac{0{,}1t^3}{3} - \dfrac{t^2}{2} + 4t\).
\(E_1 = F(6) - F(0) = \dfrac{0{,}1 \times 216}{3} - 18 + 24 = 7{,}2 - 18 + 24 = 13{,}2\) kWh.

3. \(\displaystyle\int_0^{10} P(t)\,dt = F(10) - F(0) = \dfrac{100}{3} - 50 + 40 = 33{,}33 - 50 + 40 = 23{,}33\) kWh.
\(E_2 = 23{,}33 - 13{,}2 = 10{,}13\) kWh.

4. Coût HP : \(13{,}2 \times 0{,}22 = 2{,}90\) €. Coût HC : \(10{,}13 \times 0{,}15 = 1{,}52\) €.
Coût total : \(2{,}90 + 1{,}52 = 4{,}42\) €.
Part des HP : \(\dfrac{2{,}90}{4{,}42} \approx 65{,}6\) %. Les heures pleines représentent environ les deux tiers du coût.

TOTAL : 20 points